Statica. Basilio Bona. DAUIN-Politecnico di Torino. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

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1 Statica Basilio Bona DAUIN-Politecnico di Torino 2008 Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

2 Statica - Introduzione La statica studia le relazioni di equilibrio e/o di equivalenza tra le forze e i momenti cartesiani e le forze e i momenti applicati ai giunti di un manipolatore Spazio Cartesiano I vettori 3 1 di forza f e di momento N f = f x fy N = N x fz che agiscono sulla punta di un manipolatore vengono raccolti in un unico vettore, detto forza generalizzata cartesiana o forza cartesiana F [ f F = N] N y N z Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

3 Statica - Introduzione Spazio dei Giunti Si dicono forze generalizzate ai giunti τ τ 1 τ =. τ n le forze o i momenti attivi che vengono applicati dai motori ai giunti. Per attivi si intendono solo le componenti delle forze/momenti lungo gli assi di movimento, e precisamente (considerando le convenzioni DH) τ i = k T i 1N i 1,i se giunto prismatico τ i = k T i 1f i 1,i se giunto rotoidale Le altre componenti sono assorbite dai vincoli strutturali. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

4 Principio dei Lavori Virtuali Il lavoro è una grandezza reale ottenuta dal prodotto di una forza per uno spostamento lineare oppure di un momento per uno spostamento angolare. Il prodotto è quello scalare tra vettore forza e vettore spostamento L = f T x L = N T α Considerando le forze generalizzate, avremo il lavoro cartesiano L p = F T p e il lavoro ai giunti L g = τ T q Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

5 Principio dei Lavori Virtuali Il lavoro virtuale è ottenuto considerando degli spostamenti virtuali. Gli spostamenti virtuali sono tutti i possibili spostamenti geometrici, ma compatibili (cioè ammissibili) con i vincoli sul sistema. Gli spostamenti virtuali cartesiani si indicano con δ p, gli spostamenti virtuali ai giunti si indicano con δq. Il lavoro virtuale cartesiano è pertanto mentre il lavoro virtuale ai giunti è δl p = F T δp δl g = τ T δq Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

6 Principio dei Lavori Virtuali Il principio dei lavori virtuali afferma che in una situazione di equilibrio statico, i lavori virtuali delle forze generalizzate cartesiane e ai giunti devono essere uguali. δl p = δl g τ T δq = F T δp Ricordando la relazione cinematica ṗ = J q, e quindi le seguenti identità dp = Jdq δp = Jδq avremo δl p = δl g τ T δq = F T Jδq Poichè l ultima identità deve essere vera per ogni δ q, deve risultare τ T = F T J oppure, che è la stessa cosa τ = J T F Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

7 Relazione cineto-statica Abbiamo coì la relazione cineto-statica τ = J T F che lega le forze generalizzate cartesiane alla punta del manipolatore con le forze generalizzate ai giunti. In realtà la relazione dovrebbe essere scritta come τ = ±J T F dove il segno ± indica il fatto che il lavoro può essere assunto positivo o negativo, a seconda della convenzione scelta per rappresentare il lavoro fatto SUL corpo dall ambiente esterno o fatto DAL corpo sull ambiente esterno. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

8 Relazione cineto-statica In estrema sintesi diciamo che si assume una convenzione per cui mentre τ = J T F τ = J T F è la relazione di equivalenza tra τ e F è la relazione di equilibrio tra τ e F Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

9 Spazio Immagine e Spazio Nullo di J e J T La relazione cineto-statica è particolarmente significativa per le implicazioni sulle velocità e forze generalizzate in condizioni di singolarità. La singolarità cinematica si ha quando detj = 0. Geometricamente ciò segnala una caduta di rango della trasformazione q ṗ rappresentata dalla matrice (quadrata, per semplicità) J. La trasformazione cade di rango quando la dimensione dello spazio nullo di J cresce da 0 a un valore > 0. Ricordiamo che, data una trasformazione lineare rappresentata dalla matrice quadrata M, si definisce spazio immagine o codominio (range) R(M) l insieme dei vettori y, tali per cui y = Mx,x D(M), dove D(M) è il dominio della trasformazione. Si definisce spazio nullo o kernel (null-space) N (M) di una trasformazione l insieme dei vettori x, tali per cui 0 = Mx,x N (M) D(M) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

10 Spazio Immagine e Spazio Nullo di J e J T Poiché, data una trasformazione M n n : D(M) R(M) valgono le seguenti relazioni n = ρ + ν dove ρ = dimr e ν = dimn, se ν = 0 la trasformazione non è singolare e M non cade di rango se 0 < ν ρ la trasformazione e singolare e M cade di rango tante volte quante ν 0. Inoltre è sempre vero che per trasformazioni tra spazi vettoriali finiti si hanno le seguenti relazioni R(M) = N (M T ) N (M) = R(M T ) R(M T ) = N (M) N (M T ) = R(M) (1) Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

11 Spazio Immagine e Spazio Nullo di J e J T Applicando le relazioni (1) alle matrici J e J T, possiamo affermare quanto segue Quando J è singolare si hanno velocità non nulle ai giunti q s N (J) che producono velocità cartesiane nulle. In questo caso vi sono coppie τ s N (J), che appartenendo al complemento ortogonale di R(J T ) non possono essere compensate da nessuna forza generalizzata cartesiana F R(J) Quando J T è singolare si possono applicare alla punta delle forze generalizzate F s N (J T ) che non richiedono alcuna coppia ai giunti per essere bilanciate, ossia τ s = J T F s = 0. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

12 Esempio Figura: manipolatore 2R planare. Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

13 Esempio Scriviamo le equazioni cinematiche del manipolatore planare in Figura: x = l 1 c 1 + l 2 c 12 y = l 1 s 1 + l 2 s 12 quad p 3 = l 1c 1 + l 2 c 12 l 1 s 1 + l 2 s 12 θ z = q 1 + q 2 q 1 + q 2 dove abbiamo indicato con p 3 i soli tre gradi di libertà del piano. La matrice jacobiana delle velocità risulta essere l 1 s 1 l 2 s 12 l 2 s 12 l J = 1 c 1 + l 2 c 12 l 2 c = [ ] JL J A Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

14 Esempio Limitandoci alla solo parte lineare J L, ossia considerando solo la cinematica lineare e non quella angolare, e facendo la semplificazione l 1 = l 2 = 1m, avremo [ ] s1 s J L = 12 s 12 c 1 + c 12 c 12 calcolando il determinante otteniamo det(j L ) = s 2 per cui la singolarità si ha quando sin(q 2 ) = 0, ovvero quando q 2 = kπ,k = 0,±1,±2,... Nelle condizioni di singolarità si ha [ẋ ] [ ] s1 = (2 q ẏ c 1 + q 2 ) 1 Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

15 Esempio Lo jacobiano, in singolarità, si riduce al seguente [ ] [ ] 2s1 s J s = 1 J 2c 1 c T 2s1 2c s = 1 1 s 1 c 1 Se vogliamo studiare spazi nulli e spazi immagine delle due trasformazioni, è più agevole supporre che sia q 1 = 0; in questo modo si possono calcolare i seguenti sottospazi { [ } 0 R(J) = x = λ ;λ R 1] } R(J T ) = { x = λ [ 2 1] ;λ R { N (J) = x = λ N (J T ) = { x = λ [ 1 2] } ;λ R } [ 1 0] ;λ R Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16

16 Esempio Ad esempio, la coppia ai giunti τ T = k [ 1 2 ] non può essere bilanciata da nessuna forza generalizzata sulla punta, e la forza generalizzata F T = k [ 1 0 ] non ha bisogno di coppia ai giunti per essere bilanciata. Figura: gli spazi di singolarità della matrice jacobiana. Figura: quale forza può bilanciare contemporaneamente le due τ i? Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Statica / 16