Indice. 1 Vibrazioni libere e forzate di oscillatori elementari 1

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1 Indice Prefazione xiii 1 Vibrazioni libere e forzate di oscillatori elementari Vibrazioni libere non smorzate l 1.2 Vibrazioni libere smorzate Vibrazioni forzate per forzante sinusoidale Equazioni del moto e risposta in termini di variabili di stato Funzioni risposta al gradino unitario e all'impulso unitario Risposta a una forzante qualunque Formulazione integrale Formulazione incrementale Analisi dinamica nel dominio della frequenza Funzione di trasferimento e considerazioni sulla risposta Spazio delle variabili di stato Spettri di risposta per forzanti rappresentate da leggi analitiche (a cura di Alba Soft) Considerazioni preliminari Gradino con rampa iniziale Impulso rettangolare di durata e intensità finite Forzante periodica 59

2 ii Indice 1.9 Metodi per la determinazione dello smorzamento (a cura di Antonina Pirrotta) 66 2 Vibrazioni libere di strutture a più gradi di libertà Equazione del moto di strutture non smorzate Considerazioni preliminari Le equazioni di equilibrio in statica Le equazioni di equilibrio in dinamica Considerazioni sulle matrici di rigidezza e d'inerzia La matrice di rigidezza La matrice delle masse Equazioni del moto Condensazione statica delle equazioni del moto Vibrazioni libere non smorzate Modi propri di vibrare Proprietà di ortogonalità degli autovettori Vibrazioni libere mediante la combinazione delle forme modali Equazioni di Lagrange per sistemi dinamici smorzati Considerazioni sulla matrice di dissipazione viscosa La matrice di dissipazione modale Costruzione diretta della matrice di dissipazione col metodo delle velocità Ili La modellazione di Rayleigh della matrice di dissipazione La modellazione di Caughey della matrice di dissipazione Considerazioni sul rapporto di smorzamento Vibrazioni libere di strutture classicamente smorzate Vibrazioni libere di strutture non classicamente smorzate Soluzione dell'omogenea associata Particolarizzazione della soluzione per sistemi non smorzati e classicamente smorzati Soluzione in termini di variabili di stato 131

3 Indice iii 2.8 Considerazioni sulle vibrazioni libere dei sistemi ' classicamente e non classicamente smorzati (a cura di Pierfrancesco Cacciola) Vibrazioni forzate di strutture classicamente e non classicamente smorzate Analisi modale Considerazioni preliminari Spazio nodale e spazio modale II metodo di sovrapposizione delle risposte modali Risposta nel dominio del tempo per strutture classicamente smorzate Formulazione integrale Formulazione incrementale: metodo dell'interpolazione costante o lineare della forzante Risposta nel dominio della frequenza per strutture classicamente smorzate Funzioni di trasferimento Spazio delle variabili di stato Vibrazioni forzate di strutture non classicamente smorzate Analisi modale non classica Formulazione incrementale per il calcolo della risposta nel dominio del tempo Risposta nel dominio della frequenza Metodi di correzione modale Cenni sui metodi alternativi all'analisi modale Considerazioni preliminari II metodo di Newmark II metodo dei vettori di Ritz e di Lanczos Cenni sul controllo delle vibrazioni delle strutture Considerazioni preliminari Dissipatori viscoelastici Isolamento alla base Considerazioni sulle vibrazioni forzate di strutture a due gradi di libertà (a cura di Nicola impollonia) 186

4 iv Indice 4 Elementi di teoria della probabilità e variabili aleatorie l Definizioni di base Teoria assiomatica della probabilità Funzione distribuzione cumulativa e funzione densità di probabilità l Definizione di variabile aleatoria Variabile aleatoria continua Variabile aleatoria discreta Frattili di una variabile aleatoria Media e varianza Operatore media stocastica e momenti di una variabile aleatoria Funzione caratteristica Cumulanti Log-funzione caratteristica e cumulanti Relazioni tra momenti e cumulanti Indici sintetici di una variabile aleatoria Variabili aleatorie gaussiane Variabili aleatorie con densità uniforme Variabili aleatorie bidimensionali Definizioni di base Distribuzioni marginali Variabili aleatorie condizionate, indipendenti e correlate Momenti di una variabile aleatoria bidimensionale Densità di probabilità gaussiana bidimensionale Cambiamento di variabili Variabili aleatorie multidimensionali Funzioni densità di probabilità e distribuzione di probabilità multidimensionali Distribuzioni marginali Variabili aleatorie condizionate e indipendenti Media stocastica di funzioni di vettori di variabili aleatorie Momenti di una variabile aleatoria multidimensionale Funzione caratteristica multidimensionale Log-funzione caratteristica e cumulanti di una variabile aleatoria multidimensionale 240

5 Indice Variabili aleatorie multidimensionali gaussiane Cambiamento di variabili per trasformazioni lineari Media e varianza di combinazioni di variabili aleatorie Considerazioni sulla modellazione aleatoria delle azioni statiche Elementi di teoria dei processi aleatori Descrizione probabilistica dei processi aleatori l Definizioni Medie a tempi multipli e correlazioni Processi aleatori stazionari Processi aleatori gaussiani stazionari Definizioni Funzioni di autocorrelazione Densità spettrale di potenza o autospettro Interpretazione energetica della densità spettrale di potenza Classificazione dei processi gaussiani stazionari attraverso la forma della densità spettrale di potenza Particolari processi aleatori stazionari a media nulla II processo aleatorio contatore di Poisson Operazioni con i processi stocastici Derivata stocastica Integrazione stocastica Ergodicità di processi aleatori stazionari Cenni sui processi aleatori multivariati Definizioni Densità di probabilità di processi aleatori gaussiani multivariali Matrici di correlazione e densità spettrale di potenza di processi aleatori bivariati stazionari gaussiani Matrici di correlazione e densità spettrale di potenza di processi aleatori multivariati stazionari gaussiani Analisi aleatoria di oscillatori lineari forzati da processi gaussiani Introduzione 305

6 vi Indice 6.2 Risposta aleatoria stazionaria dell'oscillatore elementare Considerazioni preliminari Risposta aleatoria nel dominio del tempo Risposta aleatoria nel dominio della frequenza Processo aleatorio forzante bianco Metodi numerici per il calcolo dei momenti spettrali del processo aleatorio risposta Formulazione integrale della risposta aleatoria in termini di variabili di stato Considerazioni preliminari Risposta aleatoria stazionaria Risposta aleatoria non stazionaria Processo aleatorio forzante bianco Formulazione differenziale della risposta aleatoria non stazionaria Considerazioni introduttive Equazioni differenziali dei momenti del primo ordine Equazioni differenziali dei momenti del secondo ordine Equazioni differenziali dei momenti del secondo ordine per forzante processo aleatorio bianco a media nulla Equazioni differenziali dei momenti spettrali per forzante processo aleatorio a media nulla Metodo numerico per la soluzione delle equazioni differenziali dei momenti statistici e dei momenti spettrali Analisi aleatoria di strutture a più gradi di libertà forzate da processi gaussiani Considerazioni preliminari Equazioni che governano il problema per processi aleatori forzante multivariati gaussiani Equazioni del moto Caratterizzazione probabilistica del processo aleatorio risposta 373

7 Indice vii 7.3 Analisi aleatoria stazionaria nel dominio della frequenza di strutture classicamente smorzate per processo forzante multivariato monocorrelato Statistiche della risposta sino al secondo ordine Metodi numerici per il calcolo dei momenti spettrali della risposta Analisi aleatoria stazionaria nel dominio della frequenza di strutture classicamente smorzate per processo forzante multivariato-multicorrelato Formulazione differenziale per l'analisi aleatoria stazionaria e non stazionaria di strutture classicamente smorzate forzate da processi aleatori bianchi.... > Considerazioni introduttive Definizione di processo aleatorio forzante bianco monovariato e multivariato Equazioni differenziali dei momenti statistici del secondo ordine Equazioni differenziali dei momenti spettrali Metodo numerico per la soluzione delle equazioni differenziali Considerazioni sull'analisi aleatoria di strutture non classicamente smorzate Dominio della frequenza Dominio del tempo: formulazione differenziale Cenni sulla analisi aleatoria per processi forzante filtrati Considerazioni preliminari Processo forzante monocorrelato filtrato Cenno sui processi forzanti multivariati multicorrelati filtrati Metodo numerico per la soluzione del sistema di equazioni differenziali governanti l'evoluzione dei momenti del secondo ordine Considerazioni sulla analisi aleatoria di strutture classicamente smorzate a due gradi di libertà (a cura di Ivan Duca) Considerazioni preliminari 421

8 viii Indice Analisi modale e modi propri di vibrare Calcolo della risposta aleatoria stazionaria Calcolo della risposta aleatoria non stazionaria Metodi per la valutazione dell'affidabilità nella dinamica aleatoria Introduzione alla affidabilità strutturale Azioni statiche Azioni dinamiche Numero medio di attraversamenti di una data barriera da parte di un processo aleatorio Formulazione Teorica Numero medio di attraversamenti per processi gaussiani a media nulla Istante di primo passaggio di una data barriera bilaterale da parte di un processo aleatorio Considerazioni generali Ipotesi di attraversamenti indipendenti della soglia Ipotesi di attraversamenti a grappoli della soglia nel caso di processi gaussiani a media nulla Funzione distribuzione di probabilità del picco massimo assoluto di processi aleatori gaussiani stazionari a media nulla Fattori di picco di processi aleatori gaussiani stazionari a media nulla Formulazione teorica Ipotesi di attraversamenti indipendenti Ipotesi di attraversamenti a grappoli Simulazione Monte Carlo Premessa Generazione dei campioni di processi gaussiani stazionari monovariati a media nulla Cenni sulla generazione di processi aleatori gaussiani non stazionari Costruzione delle statistiche del processo aleatorio risposta 471

9 Indice ix Cenni sulla generazione di campioni di processi gaussiani stazionari multivariati a media nulla Cenni sui metodi di valutazione della sicurezza strutturale (a cura di Alessandro Palmeri) Metodo delle tensioni ammissibili Metodo semi-probabilistico agli stati limite Metodi probabilistici Modellazioni dell'azione sismica Introduzione Cenni sulla natura e proprietà dei terremoti Equazioni del moto di un oscillatore elementare soggetto a un moto sismico Spettri di un acceleiogramma Premessa Spettro di Fourier Spettro di Risposta Spettro di progetto elastico e spettro di potenza spettrocompatibile Spettro di progetto elastico Funzione di Husid Spettro di potenza di progetto Spettro di potenza spettrocompatibile Accelerogrammi spettrocompatibili Accelerazione sismica come processo aleatorio stazionario bianco filtrato Modelli nel dominio della frequenza Modelli nel dominio del tempo Modellazioni aleatorie non stazionarie dell'accelerazione sismica Considerazioni generali Modelli non stazionari modulati in ampiezza Modelli non stazionari modulati sia in ampiezza sia in frequenza Calcolo della matrice di transizione del filtro Considerazioni sulla modellazione dell'azione sismica e sulla valutazione della risposta di strutture a un solo grado di libertà (a cura di Pierfrancesco Cacciola) 538

10 x Indice Rappresentazione base dell'azione sismica: Spettro di progetto (risposta) elastico Rappresentazioni alternative dell'azione sismica Influenza del rapporto di smorzamento sulla valutazione della densità spettrale di potenza spettrocompatibile Risposta di oscillatori elementari soggetti a un moto di trascinamento alla base Analisi sismica di strutture classicamente smorzate 555 ÌO.I Introduzione Equazioni del moto di strutture piane Equazione del moto di strutture intelaiate multipiano spaziali Premessa Strutture simmetriche Strutture non simmetriche monopiano Strutture multipiano non simmetriche Considerazioni sul calcolo delle sollecitazioni Analisi modale Considerazioni preliminari Strutture piane Considerazioni sulle strutture multipiano spaziali Calcolo della risposta deterministica Formulazione integrale Formulazione incrementale Calcolo delle sollecitazioni Calcolo della risposta aleatoria stazionaria nel dominio della frequenza Processo forzante multivariato-monocorrelato Processo forzante multivariato-multicorrelato Combinazione dei picchi massimi assoluti modali valutati attraverso lo spettro di progetto Forze statiche equivalenti Calcolo della direzione epicentrale di progetto OConsiderazioni sui principali metodi di analisi nell'ingegneria sismica 607

11 Indice xi bilancio energetico nell'ingegneria sismica (in collaborazione con Claudio Versaci) Oscillatore elementare lineare Strutture a più gradi di libertà Bilancio energetico e progettazione antisismica A Elementi di Algebra di Kronecker (a cura di Pierfrancesco Cacciola e Alba Sofi) 621 A.l Definizioni e proprietà fondamentali 621 A. 1.1 Prodotto di Kronecker 621 A. 1.2 Proprietà del prodotto di Kronecker 622 A. 1.3 Potenza del prodotto di Kronecker di due matrici 623 A. 1.4 Potenza secondo Kronecker 624 A. 1.5 Somma di Kronecker 625 A. 1.6 Operazione di trasposizione 625 A. 1.7 Operazione di inversione 626 A. 1.8 Vettorializzazione di una matrice 627 A. 1.9 Vettorializzata del prodotto di tre matrici 628 A Esponenziale della somma secondo Kronecker di due matrici diagonali 629 A Prodotto di Kronecker a blocchi 630 A Vettorializzazione a blocchi 631 A.2 Matrice di permutazione 631 A.2.1 Definizione 631 A.2.2 Proprietà 631 A.3 Matrici di combinazione e di fattorializzazione 634 A.4 II problema agli autovalori 636 A.5 Determinante e traccia del prodotto secondo Kronecker di due matrici 638 A.6 Derivata rispetto a una matrice 639 A.6.1 Definizioni 639 A.6.2 Derivata del prodotto di due matrici 640 A.6.3 Derivata del prodotto di Kronecker di due matrici 641 A.6.4 Derivata del prodotto di Kronecker tra una matrice e un vettore 641 A.6.5 Derivata del prodotto di Kronecker di due vettori 642

12 xii Indice A.6.6 Derivata del prodotto di uno scalare per una matrice A.7 Derivate rispetto a un vettore 642 Bibliografia 645 Indice Analitico 657