1) In una certa regione di spazio sono presenti i due campi vettoriali. - caso A: E 1 = A z 2 i + B y j + A x 2 Æ

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1 ) In una certa regione di spazio sono presenti i due campi vettoriai Æ - caso A: E = A z 2 i + B y j + A x 2 Æ k e E 2 = B x i + A x y j + C x y z k, dove A, B e C sono costanti. Æ - caso B: E = B y 2 i + B x 2 j + B z 2 Æ k e E 2 = C x y z i + A z j + B y z k, dove A, B e C sono costanti. Determinare a) 'espressione de gradiente dea grandezza ; b) quae dei due campi può essere un campo eettrostatico; c) 'espressione dea corrispondente densità voumetrica di carica. Ø Ø a) - caso A: E E2 = I A z 2 i + B y j + A x 2 kmÿib x i + A x y j + C x y z km = A z 2 B x + B y A x y + A x 2 C x y z = A B x I z 2 + y 2 M + A C x y z Considerando = = 'espressione finae de prodotto scaare è consistente con e 2 dimensioni di AE 2 E.! Ø Ø Ø E ÿe2 = J x i + y j + z kn AA B x I z2 + y 2 M + A C x y ze = = x AA B x I z2 + y 2 M + A C x y ze i + y AA B x I z2 + y 2 M + A C x y ze j + z AA B x I z2 + y 2 M + A C x y ze k = A A B I z 2 + y 2 M + ACx 2 y ze i + I 2 A B x y + A C x zm j + I2 A B x z + A C x ym k Ø Ø - caso B: E E2 = IB y 2 i + B x 2 j + B z 2 kmÿi C x y z i + A z j + B y z km = B y 2 C x y z + B x 2 A z + B 2 y z = BI C x y z + A x 2 z + B y z M Considerando dimensioni di AE 2 E. 2 'espressione finae de prodotto scaare è consistente con e! Ø Ø Ø E ÿe2 = J x i + y j + z kn ABI C x y 2 z + A x 2 z + B y z ME = = B x AC x y z + A x 2 z + B y z E i +B y A C x y z + A x 2 z + B y z E j +B z A C x y z + A x 2 z + B y z E k = B IC y z + 2 A x z M i + BI C x y 2 z + B z M j + BIC x y + A x 2 + B y z 2 M k b) - caso A:! Ø äe Ø = -2 A x + 2 A zl j ;! Ø äe Ø 2 = C x z i - C y z j + A y k - caso B:! Ø äe Ø = 2 B x - 2 B yl k ;! Ø äe Ø 2 = -A + B zl i + C x y j - C x z k

2 2!! Ø äe Ø =0 ñ x = 2y, o per a souzione banae x = z = 0;! Ø äe Ø 2 ¹ 0 tranne che per a souzione banae. Ne consegue che nessuno dei campi è un campo conservativo e quindi può essere un campo eettrico. c) vista a risposta aa domanda precedente, non è possibie appicare a reazione r =! Ø ÿe Ø per determinare a densità di carica: non esistendo nessun campo eettrico, non esiste nessuna carica. ) Su un condensatore a facce piane e paraee di area S poste ad distanza d è presente una quantità di carica - caso A: Q - caso B: 2 Q. Ad un certo istante neo spazio tra e armature e paraeamente ad esse viene inserita una astra di metao di spessore - caso A: d'=d/ - caso B: d'= d/5 (vedi figura). Determinare a'equiibrio: a) a quantità di carica Q' presente sue due facce dea astra; b) 'energia finae immagazzinata ne sistema. c) i rapporto tra a differenza di potenziae iniziae tra A e B e quea finae. S La capacità de condensatore a facce piane e paraee prima de'inserimento dea astra è data da. d Dopo 'inserimento ho due condensatori in serie, C con distanza tra e armatura pari ad x e C 2 con distanza tra e armature pari a d - x - d a- = di M - x, dove con a si è indicato a frazione di d che rappresenta o spessore dea a a astra. a) La quantità di carica totae sua astra vae zero, per a conservazione dea carica e per i fatto che a astra è iniziamente neutra. Pero', per i fenomeno de'induzione si ha una redistribuzione dee cariche in modo che sue facce dea astra sia presente una carica Q' = ±Q ( 2Q). b) La capacità totae dopo 'inserimento dea astra vae C tot = C C 2 C+C2 = S SL 2 x d a- -x a + a- x d-x a = S xjdj a- N-xN a xjdj a- N-xN a = a x+dj a- N-x a- a S d. Quindi, tenendo conto che 'energia de sistema di condensatori vae W = 2 - caso A : W = 2 - caso B : W = 2 Q 2 d = Q 2 d e 2 0 S S 4 Q 2 d = 8 Q 2 d 5 e 4 0 S 5 S Q tot 2 C tot, si hanno i due casi: c) DV i DV f = Q i C i C f Q f = C f C i = a S a- d S d = a, e quindi, nei due casi: a-

3 - caso A: DV i DV f = 2 - caso B: DV i DV f = 5 4 ) A'interno di un conduttore di resistività r' si muovono dei portatori di carica sotto 'azione di un campo eettrico che può essere espresso come: - caso A: E Æ = CI yz i + z 2 j + x 2 km, dove A è una costante nota. - caso B: E Æ = AI 2 x y z i - y 2 z j + x km, dove A è una costante nota. Determinare: a) se a corrente che circoa ne conduttore è stazionaria; b) a potenza dissipata per unità di voume in funzione dee coordinate x,y,z; c) e dimensioni dea costante A/C Per 'ipotesi costitutiva (aias egge di Ohm in forma differenziae) E Ø = r j Ø, da cui - caso A: j Ø = - caso B: j Ø = C I yz i + z2 j r + x 2 km A r I 2 x y z i - y2 z j + x km a) Se a corrente è stazionaria, deve essere! Ø ÿ j Ø = 0. Ricordando che in coordinate cartesiane! Ø = J x i + y j + z kn, si ha: - caso A:! Ø ÿ Ø j = C L, e quindi a corrente è ovunque stazionaria. r - caso B:! Ø ÿ Ø j = A 2 y z - 2 y z L = 0, e quindi a corrente è ovunque stazionaria. r b) La potenza dissipata per unità di voume si ricava tenendo conto che a potenza vae I 2 R. Quindi P =Ÿ Ø S j ÿ Ø S Ø Ÿ S j ÿ Ø r Ø SŸ L f considerando i caso in cui e superfici sono normai a j, dp = j Sj S r S = j2 r V, da cui dp dv = j2 r. - caso A: dp dv = A2 r Iy2 z 2 + z 4 + x 4 M - caso B: dp dv = A2 r I4 x2 y 2 z 2 + y 4 z 2 + x 6 M S c) Tenendo con to D = = = - caso A: [C] 2 = D 4 = Q - caso B: [A] = D 5 = Q Q2 = Q2 m s -2 2 m s -2 4 Q 2 m t -2 = m - t -2 Q - 5 Q 2 m t -2 = m -2 t -2 Q -. Caso A:

4 4 Caso A: I circuito in regime stazionario mostrato in figura è composto da sei resistenze de vaore R =60W ed R 2 =80W, da quattro condensatori di capacità C = C 2 = C = C 4 = 5mF, e da un generatore di resistenza interna trascurabie che fornisce una tensione DV = 60 V. Si determini: a) 'energia accumuata ne circuito; b) a potenza dissipata nee resistenze R; c) i potenziae ne punto A; Ne regime stazionario, non passa corrente attraverso e resistenze R, sia quea in serie a condensatore C che quea connessa con i condensatori C e C 2. Di conseguenza: i) sue suddette resistenze R non c'è caduta ohmica. ii) ai capi dei condensatori C c C c'è a d.d.p. DV. iii) ai capi de condensatore C 2 non c'è d.d.p. iv) 'unica caduta ohmica si ha ai capi dea resistenza risutante de paraeo tra R 2 e a serie dee R, pari a = 9 R 2 R +R 2 R tot = R R 2 = R 6 R 2 = 90 W, e vae ancora una vota DV. v) ai capi de condensatore C 4 c'è ancora una vota a d.d.p. DV. Di conseguenza : a) L'energia si accumua soo nei condensatori C, C e C 4, quindi W tot = i 2 V i 2 C i, con i=, e 4. W tot = 2 DV2 C + C + C 4 L = 2 DV2 C = J b) Le soe resistenze R in cui c'è dissipazione di potenza sono e resistenze in paraeo con R 2. La resistenza compessiva vae R, posta ad una d.d.p. di DV, quindi a potenza dissipata vae P diss = V2 R = 602 V 80 W = 20 W c) i potenziae ne punto A è pari a DV = 60 V. Caso B: I circuito in regime stazionario mostrato in figura è composto da sei resistenze de vaore R=40W ed R2=20W, da quattro condensatori di capacità C=C2=C=C4=0mF, e da un generatore di resistenza interna trascurabie che fornisce una tensione DV = 60 V. Si determini: d) 'energia accumuata ne circuito; e) a potenza dissipata nee resistenze R; f) i potenziae ne punto A;

5 5 Ne regime stazionario, 'unica resistenza attraverso cui non passa corrente è a R connessa con a stessa estremità ai condensatori C e C 2. Di conseguenza: i) sua suddetta resistenza R non c'è caduta ohmica. ii) ai capi de condensatore C 2 non c'è d.d.p. iii) C e C possono considerarsi in paraeo e quindi dare a capacità risutante pari a C = C + C = 20 mf. iv) a C è in paraeo con a C 4, dando una capacità risutante pari a C 4 = C + C 4 = 0 mf. v) e uniche cadute ohmiche si hanno ai capi dea resistenza risutante de paraeo tra R 2 e a serie dee R ( = 9 R 2 R +R 2 pari a R eff = R R 2 = R 6 R 2 = 60 W) e aa R connessa aa f.e.m.. Per i partitore di tensione a d.d.p. ai capi di - R eff vae V eff = DV R eff = 60 V 60 = 6 V; R eff + R 00 - R vae V = DV R = 60 V 40 = 24 V; R eff + R 00 v) ai capi de condensatore C 4 c'è a stessa d.d.p. di R eff, ovvero 6 V. Ne segue quindi che : a) W = 2 V eff 2 C 4 = J = J b) Le soe resistenze R in cui c'è dissipazione di potenza sono e resistenze in paraeo con R 2 e a R connessa aa f.e.m., otre che ai condensatori C e C 2. La resistenza compessiva vae R, posta ad una d.d.p. di DV, quindi a potenza dissipata vae P diss = V eff 2 + V = 62 V V = 25.2 W R R 20 W 40 W c) i potenziae ne punto A è pari aa d.d.p. ai capi di C 4, ovvero 6 V. 4) Sia data una distribuzione di carica uniforme di densità r, disposta in una caotta ciindrica indefinita di raggio interno R e raggio esterno 2R. Determinare: a) e espressioni dea carica per unità di unghezza QrL e de campo eettrostatico in funzione dea distanza r da centro O; b) 'energia immagazzinata in una porzione di caotta ciindrica di atezza. a.) Poiché i ciindro è indefinito nea sua estensione ungo i suo asse, ha senso di parare di carica per unità di unghezza. I testo de'esercizio indica a carica da'asse, ovvero si deve vautare a carica (per unità di unghezza) integrando tutto queo che c'è entro un certo voume, ovviamente ciindrico, coassiae co ciindro stesso. L'eemento infinitesimo di voume vae dt = dr r dq dz, ma poiché a simmetria è ciindrica e a distribuzione di carica ha una r uniforme, ovvero non dipende né da'angoo poare q, né da'atezza dea sezione de ciindro considerata, si trova sempicemente che dt = 2p r dr. Q(r) = Ÿ q = Ÿ r t = 2 p Ÿ 0 r r r r, Ricordiamo che 'integrae va fatto partendo da'asse de ciindro fino ad una o più zone significative. In questo caso e zone significative sono : Risuta che : - r R, non essendoci carica, QrL = 0 ;

6 6 - R r 2R, Q(r) = Ÿ 0 r r d Ÿ 0 z Ÿ 0 2 p q = 2 p Ÿ R r r d = r p Ir 2 - R 2 M e quindi - r 2R, QrL a.2) i campo eettrico = r p Ir2 - R 2 M QrL = r p I4 R2 - R 2 M = r p R 2 - r R, E Ø è nuo - R r 2R, per i teorema di Gauss, si trova QrL = E 2p r, quindi E Ø = QrL r` = rl r`, avendo posto (r) = QrL 2 p r 2 p r = r p Ir2 - R 2 M, ovvero i campo equivae a queo dato da un fio indefinito con densità di carica ineare (r) posto su'asse de ciindro. - r 2R, E Ø Q2 RL = r` 2 p r = 2 r R 2 r r`. b) Ci proponiamo di determinare 'energia contenuta nea porzione di ciindro di atezza utiizzando e formue b.) U = Ÿ voume r V accr t, con V accr i potenziae de guscio di accrescimento; b.2) U = 2 Ÿ voume r V tot t, con V tot i potenziae dovuto a tutta a distribuzione in un dato punto dea stessa; b.) U = 2 Ÿ sup. chiusa V E Ø ÿ Ø s + Ÿ voume E 2 t Ancora una vota, in tutti e i casi dt = dr r dq dz, ma come si è detto, per a simmetria in questione e 'uniformità di r, dt = 2p r dr. b.) U = Ÿ voume r V accr t Considerariamo 'accrescimento dea distribuzione aggiungendo gusci infinitesimi 'uno dopo 'atro. Immaginiamo di aver accresciuto a distribuzione fino ad una distanza r da'origine; i sistema può essere descritto ne caso di un fio carico equivaente con densità ineare (r) = QrL. In questo modo posso cacoarmi i potenziae come V accr rl = -Ÿ r0 r QrL 2 p = - QrL Ÿ r 0 r 2 p = - QrL 2 p nj r r 0 N = r Ir2 -R 2 M 2 ni r 0 r M =, dove r 0 è un punto di riferimento per i potenziae, che possiamo porre uguae a R, e quindi V accr rl = r Ir2 -R 2 M 2 ni R r M Di conseguenza 2 R r Ir U = Ÿ R r 2 -R 2 M ni R M 2p r dr = 2 r = r2 p ponendo r R U = r2 p 2 R Ÿ R R 2 J r2 - N ni R M r dr = r2 p R 4 2 R r R 2 r Ÿ R J - 2 N ni r M r d r R 2 R R R = y, si ha: R 4 Ÿ 2 I - y 2 M nyl y d y = r2 p Verifichiamo e dimensioni: R 4 I - n 4M 6

7 7 Verifichiamo e dimensioni: ricordando D = = = Q2 = Q2 m s -2 2 m s -2 B r2 p R 4 F = Q2 6 Q 2 m s -2 5 = m 2 s -2 che risuta essere un'energia. b.2) U = 2 Ÿ voume r V tot t; In questo caso occorre cacoarsi i potenziae in un punto quasiasi dea distribuzione posto aa distanza r da'asse de ciindro. Questo potenziae è dato da due contributi: V tot = V g.i + V g.e., dove con g.i. si intende i guscio interno a raggio r, e con g.e. si intende i guscio esterno compreso tra r e 2R. - Potenziae dato da guscio interno: V g.i. (r) = r Ir2 -R 2 M 2 ni R r M, cacoato in precedenza per i potenziae di accrescimento fino ad un raggio r. - Potenziae dato da guscio esterno Si determina V g.e. rl in base aa seguente considerazione: prendiamo un guscio ciindrico di atezza indefinita, di raggio tae che r 2R, e spesso di una quantità infinitesima pari a d; i potenziae a suo interno è costante ( i campo eettrico è, come accennato prima, nuo e deve vaere E Ø = -! Ø V, quindi V deve essere costante) e vae quanto i potenziae su guscio stesso. Ma in, i potenziae dato da guscio infinitesimo di spessore d in questione è infinitesimo ed è quivaente a queo generato da un fio indefinito carico con densità ineare () = dq = r 2p d, per cui è possibie scrivere un campo eettrico i cui moduo cacoato ad una distanza x da'asse de ciindro vae E(x)= r 2 p d = r d ; 2 p x x Quindi i potenziae in de fio equivaente vae: dv fio L = -Ÿ 0 r d x x = r d nj 0 N. dove 0 è un punto di riferimento da scegiere ad hoc. Possiamo quindi scrivere V g.e. rl come a somma continua (e quindi 'integrae) di tutti i contributi dati dagi infiniti gusci infinitesimi tra r e 2R. V g.e. rl = Ÿ r 2 R V fio = Ÿ r 2 R r nj 0 N = - r Ÿ r 2 R nj 0 N = - r 0 2 Ÿr 2 R 0 nj 0 N 0, Si pone 0 = 2 R in modo da avere un contributo nuo per V g.e. 2 RL. Infatti, per r = 2R, i guscio esterno non avrebbe spessore, e quindi nessun voume e pertanto non avrebbe carica. I tutto diventa aora: V g.e. rl = - r 4 R 2 Ÿ r 2 R dove si è posto y = ni 2 R M = - r 4 R 2 y f 2 R 2 R Ÿ yi y nyl y,, da cui y 2 R i = r, e y 2 R f =. Integrando per parti si ottiene: V g.e. rl = r 4 R2 : - I r 4 2 R M2 An I r M - + n 4LE> R 2 I potenziae totae si scrive quindi come: V tot rl = V g.i. + V g.e. = r Ir2 -R 2 M ni R M + r 4 R2 : - I r 2 r 4 2 R M2 An I r M - + n 4LE>. R 2 E pertanto 'energia si trova risovendo i seguente integrae:

8 8 2 Ÿ voume r V tot t = p r2 R 4 I - n 4M, come cacoato in precedenza. 6 b.) U = K 2 Ÿ sup. chiusa V E Æ Æ s + Ÿ voume E 2 to = I superficie + I voume. Occorre avere i campo eettrico in tutti i punti dea regione in cui si chiede 'energia immagazzinata, e questo 'abbiamo cacoato prima e vae E Ø = r Ir2 -R 2 M r`, 2 r In più occorre avere, otre nuovamente i campo eettrico, anche i potenziae, ma questa vota cacoati sua superficie chiusa che racchiude i voume in esame. La superficie sceta è i ciindro di atezza di raggio 2R, coassiae aa distribuzione, che "seziona" a porzione richiesta di carica. I prodotto scaare V E Ø ÿ Ø s cacoato sua superficie è diverso da zero soo per E Ø êê Ø s, ovvero sua superficie aterae de ciindro. Su tae superficie sia i potenziae che i campo eettrico, dipendendo sotanto daa distanza da'asse de ciindro, sono costanti. Quindi : I superficie = 2 Ÿ sup. chiusa V EØ ÿ Ø s = = V2 RL E2 RL Ÿ sup. aterae s = V2 RL E2 RL 2 p 2 RL ; E(2R) = 4 r R ; V(2R) = r I4 R2 -R 2 M 2 ni R 2 R M = r R2 2 ni 2 M I primo integrae vae quindi I superficie = 2 4 r R r R 2 ni M 4 R p = - 9 p R4 r 2 Log2L Passiamo adesso a'integrae di voume: I voume = 2 Ÿ voume E2 t = 2 Ÿ 2 R r Ir R K 2 -R 2 M O 2 2 p r r = 2 r = 2 Ÿ 2 R r 2 Ir 2 -R 2 M 2 2 p r r = r2 p R 4 e 2 0 r 2 p R 4 r 2 +2 n 4L 6 2 R Ir 2 -R 2 2 M 4 Ÿ R r r = Di conseguenza: U = I superficie + I voume = - 9 p R4 r 2 n 2 + p R4 r 2 +2 n 4L = = p R4 r 2-6 n 4L = r2 p R 4 I - n 4M come cacoato nei casi precedenti.