La dinamica della vorticità

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1 3 La dinamica dea vorticità Per comprendere a portata de ipotesi di moto irrotazionae, è utie considerare equazione che descrive a dinamica dea vorticità. Si vede così che i campo di vorticità è cacoabie in forma chiusa quando è noto i campo di veocità. Ne caso di fondamentae interesse pratico in cui a infinito si hanno condizioni di quiete o di moto uniforme (e quindi a vorticità è nua), a souzione in forma chiusa consente in particoare di determinare che i moto rimane irrotazionae in tutti i punti de campo di moto che possono essere raggiunti a partire da infinito attraverso una inea di corrente. Questo escude soo a scia, che peratro ha dimensioni trascurabii se i corpo immerso ne fuido ha uno spessore moto piccoo rispetto aa dimensione ongitudinae e un bordo di uscita aguzzo (corpo aerodinamico). Indice de capitoo 3.1 L equazione per a vorticità I caso incomprimibie I caso comprimibie e isoentropico L equazione di continuità in coordinate agrangiane Proprietà integrai dea vorticità I teorema di Kevin I teoremi di Hemhotz L equazione per a vorticità Ne caso non viscoso, sia per fuido incomprimibie che comprimibie in moto isoentropico, equazione di stato presenta a dipendenza da non più di una variabie di stato termodinamico, mentre atra è boccata. In queste ipotesi abbiamo scritto equazione di biancio dea quantità di moto nea forma di Crocco (2.12).

2 36 Capitoo 3 Consideriamo ora i rotore dea (2.12). Con ipotesi addizionae che a forza di massa f sia irrotazionae (come accade, ad esempio, per a forza di gravità) e ricordando a proprietà (B.6) per cui i rotore di un gradiente è sempre nuo, si ricava immediatamente, invertendo ordine dee derivate spaziae e temporae, a seguente equazione per evouzione temporae de vettore vorticità ω: ω t + (ω V) = 0 La pressione è scomparsa da biancio per a quantità di moto, che si è trasformato ne seguente sistema di sei equazioni scaari in sei incognite, costituito da equazione per a vorticità, e daa definizione dea vorticità in termini dea veocità: ω t + (ω V) = 0 V = ω (3.1) Anche se apparentemente più compicato de equazione di partenza, i sistema (3.1) ha comunque una struttura utie, in quanto consente di vedere che, se si suppone noto i campo di veocità, equazione per a vorticità ammette una souzione in forma chiusa. Condizione di equivaenza Bisogna però osservare che i sistema (3.1) non è sempre equivaente a equazione (2.12) di partenza. Infatti esso è stato ricavato mediante operazioni di derivazione, che come è noto fanno in modo che fra e souzioni de nuovo sistema, che è di ordine più eevato, esistano anche funzioni che non sono souzioni de equazione iniziae. Perché ci sia equivaenza fra (3.1) e (2.12), occorre che a souzione di (3.1) permetta comunque di risaire ad una pressione, ovvero deve accadere che a quantità V/ t + ω V sia uguae ad un gradiente. Come è noto dai corsi di Anaisi, se i dominio in cui si vogiono risovere e equazioni (3.1) è monoconnesso, e (3.1) stesse sono sufficienti ad assicurare questa condizione. Se invece i dominio non è monoconnesso, deve anche vaere a seguente condizione integrae: ( ) V t + ω V t dc = 0 che va imposta su un cammino che circonda ciascuna parte convessa de contorno I caso incomprimibie L equazione per a vorticità può essere uteriormente trasformata, utiizzando un atra vota identità vettoriae (B.4), e tenendo inotre conto che ora compare a derivata di un prodotto. I termine (ω V) diviene:

3 La dinamica dea vorticità 37 (ω V) = + ( V) ω + (V ) ω ( ω) V (ω ) V (3.2) In questa espressione, grazie ae proprietà (B.5) di soenoidaità de campo di un rotore, i termine ω, in quanto divergenza di un rotore, è senz atro nuo. Se i fuido è anche incomprimibie, anche i fattore V nea (3.2) è nuo, e, ricordando a definizione (2.3) de operatore di derivata sostanziae, equazione per a vorticità si riduce a: ω = (ω ) V (3.3) Passaggio in coordinate agrangiane Questa equazione ha una souzione in forma chiusa, cui si perviene operando i passaggio a coordinate agrangiane, a cui convenienza è suggerita da fatto che a derivata materiae a primo membro è una sempice derivata temporae ne sistema agrangiano. Si introduce aora, a fianco dea terna x = (x 1, x 2, x 3 ) de sistema di riferimento fisso, uteriore terna mobie ξ che si muove ocamente con a veocità de fuido, definita da equazione differenziae (2.1). Una trasformazione di questo tipo consente di scrivere a derivata dea componente V dea veocità rispetto aa direzione x h secondo a (2.2a), come: V = V x h x h in cui gi indici ripetuti sottintendono i segno di sommatoria (convenzione di Einstein). L equazione (3.3) viene aora anzitutto scritta per componenti ω = ω V h (3.4) x h e successivamente si passa ae coordinate agrangiane ξ i : ω = ω V h x h Per a trasformazione in coordinate agrangiane (2.1), si ha che x / = V. Si può quindi scrivere: ( ) ω = ω x ξi h x h Poiché a derivata sostanziae è una derivata effettuata a ξ costante, e ξ e t sono quindi variabii indipendenti, a secondo membro è ecito scambiare ordine di derivazione fra a derivata sostanziae e a derivata rispetto a ξ i : ( ) ω = ω x ξi h x h

4 38 Capitoo 3 Occorre ora scrivere i due membri de equazione in maniera simie; a ta fine si motipichi ω a primo membro per i tensore identità, ovvero I primo membro diviene dunque δ h = x x h = x x h (δ hω h ) = ( ) x ω h x h e sviuppando questa derivata sostanziae come derivata di un prodotto, si ottiene per intera equazione (3.4) a forma ( x ) ξi ω h + x ( ) ξi ω h = ω h x h x h ( ) x ξi iviene così evidente che due addendi si eidono. a momento che, poi, a matrice jacobiana x / è certamente non singoare, equazione (3.3) per a vorticità si riduce in definitiva a equazione ω (0) i ( ) ξi ω h = 0 x h x h Se ne deduce che a quantità / x h ω h è costante ne tempo. enominata tae costante, si può scrivere: ω h = ω (0) i x h La souzione in forma chiusa Questa reazione può essere espicitata rispetto ad ω h, mediante a motipicazione di ambo i membri per inversa dea matrice jacobiana. Si giunge quindi aa souzione in forma chiusa: ω h = ω (0) x h i in cui ω (0) i = ω i (0, ξ) sono e componenti de vettore vorticità a istante iniziae. In forma vettoriae si ha: ω = ω (0) x (3.5) ξ

5 La dinamica dea vorticità 39 Significato geometrico ed importanza pratica dea souzione La (3.5) è una reazione di notevoe importanza. Essa anzitutto costituisce una souzione in forma chiusa de equazione di partenza (3.3), da momento che non vi compaiono più derivate rispetto a tempo. Essa inotre assume anche un significato geometrico, in quanto descrive evouzione ne tempo di un vettore infinitesimo dx tracciato fra due particee macroscopiche di fuido. Infatti questa evouzione è descritta da: dx h = x h dξ i Si può quindi concudere che i vettore vorticità evove ne tempo esattamente come un segmento materiae infinitesimo trasportato da fuido. La vorticità non può essere creata o distrutta. La souzione (3.5) fornisce importante informazione che se ω (0) = 0 a infinito aora a vorticità resta nua in tutti i punti de campo di moto raggiungibii da infinito tramite una inea di corrente. I cassici casi di corpo in moto uniforme in un fuido in quiete o di corpo fermo e investito da una corrente uniforme rappresentano due esempi importanti in cui tae informazione permette di affermare che i moto resta irrotazionae in tutto i campo, fatta eccezione per regioni (quai a scia) che non sono raggiungibii da infinito con una inea di corrente I caso comprimibie e isoentropico Come visto ne paragrafo 2.3.2, per un fuido comprimibie in moto isoentropico equazione di biancio dea quantità di moto si può scrivere in forma anaoga a quea de caso incomprimibie, pur di utiizzare, invece dea pressione, a funzione scaare P definita daa reazione (2.9). L equazione per a vorticità si ricava quindi in maniera identica a quanto visto ne paragrafo precedente. L unica differenza è che nea formua (3.2) i termine V non è nuo, e in uogo dea (3.3) si ottiene invece equazione ω + ( V) ω = (ω ) V (3.6) Osserviamo però che i primo membro può essere riscritto, utiizzando equazione di continuità nea forma non conservativa (2.5b), come ω 1 ρ ρ ω = ρ ( ) ω ρ Con i sempice cambio di variabie da ω ad ω/ρ, si può quindi trasformare equazione (3.6) in ( ) ( ) ω ω = ρ ρ V che è anaoga aa (3.3) vaida ne caso incomprimibie. Anche ne caso comprimibie isoentropico, dunque, si arriva ad una souzione anaoga aa (3.5), cioè:

6 40 Capitoo 3 o, in forma vettoriae: ω h ρ = ( ) (0) ωi x h ρ ω ρ = ω(0) ρ x ξ (3.7) L interpretazione geometrica di questa reazione è invariata: questa vota però è i vettore ω/ρ a trasformarsi come i segmento infinitesimo dx. 3.2 L equazione di continuità in coordinate agrangiane Anche equazione di continuità può essere scritta in forma agrangiana. I procedimento è simie a queo sviuppato ne paragrafo precedente. Si parte da equazione di biancio per a massa, scritta nea forma convettiva (2.5c). La divergenza dea veocità si esprime in coordinate agrangiane, e si inverte ordine di derivazione, sfruttando ancora una vota i fatto che t e ξ sono variabii indipendenti nea rappresentazione agrangiana: V = V i = V i ξ j ξ j = Si giunge così a equazione: ρ + ρ ξ j ( ) xi ξj ξ j ( ) xi = 0 ξ j erivata di un determinante Occorre ora utiizzare a formua generae che fornisce a derivata di un determinante rispetto ad un parametro t (i simboo : indica i doppio prodotto scaare fra due tensori, definito ne Appendice B): ( A 1 ) T da : dt = d [ ] A 1 1 da A = tr A (3.8) dt dt Questa reazione si dimostra sfruttando a proprietà che i determinante di un prodotto è uguae a prodotto dei determinanti. Aora, dopo aver dato un incremento δa aa matrice A, i determinante dea matrice incrementata è: A + δa = A ( I + A 1 δa ) = A I + A 1 δa I secondo fattore è i determinante di una matrice, poco diversa daa matrice unità, in cui soo i termini diagonai danno contributi ineari ne incremento. i conseguenza risuta:

7 La dinamica dea vorticità 41 A + δa = A [ 1 + tr ( A 1 δa )] e δ A = A tr ( A 1 δa ) da cui, sostituendo a derivata a incremento, si ottiene a formua (3.8). Significato de equazione in coordinate agrangiane Ne nostro caso, eemento A ij dea matrice A è dato da / ξ j. etto J = A i determinante jacobiano dea trasformazione, appicando a (3.8) si ottiene: ξ j ( ) xi = 1 ξ j J J e quindi, motipicando per J intera equazione, a si trasforma in: che non è atro che J ρ + ρj = 0 (ρj) = 0 (3.9) La quantità ρj resta costante ne tempo e pari a vaore iniziae, i quae a sua vota è esattamente ρ (0), in quanto per t = 0 e terne x e ξ coincidono, e o jacobiano è unitario. I significato fisico dea (3.9) si comprende ricordando che o jacobiano J = x/ ξ rappresenta i rapporto fra gi eementi di voume neo spazio x (a tempo t) e neo spazio ξ (a tempo 0). L equazione (3.9) descrive quindi evouzione ne tempo de voume infinitesimo, e si imita ad affermare che a densità evove ne tempo in maniera inversamente proporzionae a evouzione de voume. 3.3 Proprietà integrai dea vorticità L equazione di evouzione per a vorticità (3.3), e a sua souzione in forma chiusa (3.5), così come e oro controparti comprimibii, sono reazioni differenziai che vagono soamente per e souzioni sufficientemente regoari. Esse presentano quindi acuni imiti di appicabiità, in presenza di situazioni (per esempio a presenza di una scia, oppure esistenza di una regione di fusso separato) in cui questi imiti non sono soddisfatti. In questi casi è possibie comunque ricorrere a proprietà integrai de vettore vorticità.

8 42 Capitoo 3 S d S n PSfrag repacements Figura 3.1 Teorema di Stokes: a circoazione di un vettore V intorno ad un cammino chiuso eguagia i fusso de rotore di V attraverso a superficie S che ha come contorno. Teorema di Stokes Anzitutto, per i soo fatto di essere definito da un operatore rotore, i campo di ω è soenoidae, e a vorticità soddisfa i teorema di Stokes. Sua base di considerazioni puramente cinematiche, quindi, si può affermare che: ω n ds = V t dc (3.10) S in cui i secondo membro ha senso anche in presenza di discontinuità. Questa formua afferma che i fusso di vorticità attraverso una superficie S eguagia a circoazione dea veocità ungo una curva chiusa S che sia i contorno dea superficie stessa, e mette in uce i egame fra a circoazione dea veocità ed un integrae dea vorticità. (Notiamo che, se i dominio è sempicemente connesso, si può dedurre da teorema di Stokes che a circoazione è anche nua, e che esiste una funzione scaare ϕ continua e a un so vaore di cui V è i gradiente.) S I teorema di Kevin È possibie mostrare, attraverso un procedimento dovuto a ord Kevin (1869), che a circoazione dea veocità non varia, quando a si cacoi ungo un cammino che si muove con a veocità de fuido. Questo equivae a dire che a derivata sostanziae de integrae di circoazione è zero: V t dc = 0 (3.11) Sia i cammino chiuso di integrazione sia a funzione integranda dipendono, in generae, da tempo. I passaggio in coordinate agrangiane rende però fisso i

9 La dinamica dea vorticità 43 cammino di integrazione, ed è per questo che dimostreremo ne seguito i teorema di Kevin utiizzando e coordinate agrangiane. Pasaggio in coordinate agrangiane Consideriamo dunque un contorno chiuso che si muova con i fuido, per a precisione con a veocità di massa de fuido in ciascun punto che o compone. Questo contorno è fisso se espresso in coordinate agrangiane. Cacoiamo dunque: V t dc = V i dx i = V i dξ j ξ j Potendo eseguire a derivata sostanziae sotto i segno di integrae, in quanto t e ξ sono variabii indipendenti, si ha: ( ) V i xi V t dc = dξ j + V i dξ j (3.12) ξ j ξ j Ne utimo addendo si può invertire ordine di derivazione: ( ) ( ) xi V i V 2 V i dξ j = V i dξ j = dξ j ξ j ξ j ξ j 2 Questo termine è nuo in quanto integrae di un differenziae esatto ungo a curva chiusa. Osserviamo che, sino a questo punto, sono state utiizzate sotanto considerazioni di natura cinematica. Per mostrare che anche i primo addendo è nuo, devono invece entrare in gioco anche e equazioni dea fuidodinamica, ed in particoare equazione di biancio dea quantità di moto di un fuido ideae, scritta nea forma convettiva (2.6c). Se esiste i potenziae termodinamico P definito daa reazione (2.9), equazione dea quantità di moto scritta per componenti, supponendo nua a forza di voume, è V i + P = 0 Utiizzando questa formua i primo addendo dea (3.12) diviene: V i P P dξ j = dξ j = dξ j ξ j ξ j ξ j Anche questo integrae è nuo in quanto integrae di un differenziae esatto ungo una inea chiusa. Resta così dimostrato, nee medesime ipotesi che garantiscono esistenza de potenziae termodinamico P, i teorema di Kevin (noto anche come teorema di conservazione dea circoazione): in un fuido non viscoso e soggetto a forze di voume irrotazionai a circoazione dea veocità, cacoata attorno ad un circuito in moto con a veocità di massa de fuido, rimane costante ne tempo.

10 44 Capitoo I teoremi di Hemhotz Uteriori interessanti proprietà integrai de campo di vorticità sono enunciate attraverso i teoremi di Hemhotz su moto dei vortici. Essi discendono in parte da considerazioni puramente cinematiche, mentre in atra parte fanno ricorso anche ae equazioni de moto, e costituiscono un eaborazione di quanto già contenuto ne teorema di Kevin, affermando ne compesso un insieme di regoe dinamiche per evouzione de vettore vorticità. Acune definizioni Le inee di campo de campo vettoriae di ω prendono i nome di inee vorticose, definite anaiticamente daa reazione differenziae ω t dc = 0 in cui t dc è un segmento infinitesimo di una inea vorticosa. Le inee vorticose hanno quindi tangente in ogni punto paraea ad ω. Una superficie vorticosa si definisce poi immaginando di tracciare una inea arbitraria ne campo di moto, e spiccando da essa e inee vorticose che passano per ciascuno dei suoi punti. Quando questa inea è chiusa, operazione genera un tubo vorticoso. Quando a sezione de tubo vorticoso tende a zero, siamo in presenza di un fiamento vorticoso. I primo teorema di Hemhotz I campo di vorticità è per definizione soenoidae, e di conseguenza i fusso di ω attraverso quasiasi superficie chiusa è nuo. Conseguenze dirette di questa proprietà puramente cinematica sono e seguenti, che tavota vengono indicate gobamente con i nome di primo teorema di Hemhotz. I fusso di vorticità attraverso cacoato attraverso quasiasi sezione S di un tubo vorticoso è costante: ω n ds = cost S Grazie a teorema di Stokes (3.10) che ega a circoazione dea veocità attorno ad una inea chiusa a fusso dea vorticità attraverso una superficie aperta che abbia come contorno, a stessa proprietà si può anche esprimere dicendo che a circoazione dea veocità attorno a quasiasi inea chiusa che circonda un tubo vorticoso è costante. Questo suggerisce idea che i tubi vorticosi sono permanenti. Infine, considerando un tubo vorticoso di sezione variabie, a vorticità media in ogni sezione de tubo è inversamente proporzionae a area dea sezione stessa. Una conseguenza importante di queste affermazioni, che compessivamente asseriscono a conservazione spaziae dea vorticità, sta ne fatto che i tubi e i fiamenti vorticosi non possono iniziare o terminare a interno di un fuido. Essi devono o richiudersi su se stessi, oppure terminare a infinito o su una superficie soida.

11 La dinamica dea vorticità 45 I secondo teorema di Hemhotz Utiizzando i teorema di Kevin (3.11), non è difficie mostrare che una superficie che ad un dato istante è una superficie vorticosa resta tae per tutti gi istanti successivi. In atre paroe, se iniziamente ω n = 0 per ogni eemento superficiae n ds dea superficie, in seguito sarà sempre ω n ds = 0, anche se, in generae, sia ω sia n ds potranno variare. In un fuido non viscoso quindi un tubo vorticoso si muove con i fuido e a sua intensità rimane costante. I terzo teorema di Hemhotz Segue dae considerazioni precedenti che, essendo costante ne tempo a circoazione dea veocità cacoata ungo una inea chiusa quasiasi che circonda un tubo vorticoso, intensità de tubo vorticoso è costante ne tempo, indipendentemente da evouzione de tubo vorticoso.

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