Lezione 4: Principi di Conservazione Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto

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1 Lezione 4: Principi di Conservazione Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto Claudio Tamagnini Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università degli Studi di Perugia Dottorato Internazionale Congiunto Firenze Braunschweig Firenze, Febbraio 2014

2 Sommario 1 Forze agenti ed equazioni di equilibrio globale 2 3 Forma Euleriana Forma Lagrangiana 4 Forma Euleriana Forma Lagrangiana

3 Forze agenti su un mezzo bifase saturo Durante il moto di un corpo, le interazioni meccaniche tra le sue parti o tra il corpo e l ambiente esterno sono descritte da forze. In meccanica dei continui si distinguono due tipi di forze: i) Forze di volume; ii) Forze di superficie, o di contatto. In un continuo multifase è inoltre necessario prendere in considerazione le azioni esercitate sulla generica fase α dalle rimanenti fasi. Tali azioni sono descritte dalle cosiddette: iii) Forze di interazione (forze interne).

4 Forze di volume Le forze di volume sono esercitate dall ambiente esterno. Tipicamente sono definite dalla densità b per unità di massa nella configurazione corrente: b(x) : S t V Se le forze di massa derivano dalla sola azione della gravità, b = g grad(z) = cost. Per una miscela bifase satura si ha: f s v = (1 n)ρ s b dv S t f w v = nρ w b dv S t } f v = f s v + f w v = {(1 n)ρ s + nρ w b dv = ρb dv S t S t

5 Forze di interazione Le forze di interazione rappresentano a livello macroscopico le azioni trasmesse alla generica fase α dagli altri costituenti della miscela. Tipicamente sono descritte come forze per unità di volume totale mediante il campo vettoriale: ˆp α int(x) : S t V n ˆp α int = 0 α=1 La seconda relazione discende dai postulati (i) e (iii) di Truesdell. Per una miscela bifase satura, le risultanti delle forze di interazione sono date da: f s int = ˆp s int dv S t f w int = ˆp w int dv S t { } f int = f s int + f w int = ˆp s int + ˆp w int dv = 0 S t

6 Forze di contatto Tra le forze di contatto è possibile distinguere: le forze esercitate dall ambiente esterno, agenti sul contorno esterno del corpo S t ; le forze trasmesse tra parti separate del corpo, lungo la superficie di separazione.

7 Ipotesi di Cauchy: il vettore sforzo specifico Postulato di Cauchy Esiste una densità di forze di superficie t(x, t, n) : S t R N V, dipendente dal versore n della normale esterna nel punto x, tale che la forza di contatto trasmessa attraverso da con normale n N è pari a: df c = t(x, t, n) da (1) Il vettore t è detto sforzo specifico.

8 Sforzi specifici parziali In un mezzo bifase, è possibile estendere il postulato di Cauchy alle singole fasi, assumendo che: df c = df s c + df w c df s c = t s (x, t, n) da df w c = t w (x, t, n) da (2) dove: t s = sforzo specifico nella fase solida (per unità di area totale) t w = sforzo specifico nella fase liquida (per unità di area totale)

9 Sistemi di forze agenti sulla miscela e sulle fasi Si definisce sistema di forze agenti su un mezzo bifase nella configurazione corrente S t della traiettoria T la coppia di funzioni: (b, t) t : T N V b : T V con t(x, t, n) funzione regolare di x S t per ogni t ed n N, e b(x, t) funzione continua di x S t per ogni t. I sistemi di forze agenti sulle fasi solida e liquida nella configurazione corrente S t della traiettoria T sono dati dalle terne: (b, t s, ˆp s int) t s : T N V b : T V ˆp s int : T V (b, t w, ˆp w int) t w : T N V b : T V ˆp w int : T V con le stesse caratteristiche di continuità e regolarità.

10 Conservazione della quantità di moto Il principio di conservazione della quantità di moto per la fase solida richiede che per ogni parte P t S t ed ogni t sia: d (1 n)ρ s v s dv = {(1 n)ρ s b + ˆp s dt int} dv + t s da (3) P t P t P t Il principio di conservazione della quantità di moto per la fase liquida richiede che per ogni parte P t S t ed ogni t sia: d w nρ w v s dv = {nρ w b + ˆp w dt int} dv + t w da (4) P t P t P t

11 Conservazione della quantità di moto Il principio di conservazione della quantità di moto per la miscela si ottiene come conseguenza delle eq. (3) e (4). Osservando che: d (1 n)ρ s v s dv dv = (1 n)ρ s dt P t Pt s dv = (1 n)ρ s a s dv dt P t d w nρ w v w d dv = nρ w dt P t Pt w v w dv = nρ w a w dv dt P t t s + t w = t ˆp s int + ˆp w int = 0 Si ha: P t { (1 n)ρ s a s + nρ w a w} dv = ρb dv + t da (5) P t P t

12 Conservazione del momento della quantità di moto Il principio di conservazione del momento della quantità di moto per la fase solida richiede che per ogni parte P t S t ed ogni t sia: d (1 n)ρ s r v s dv = dt P t {(1 n)ρ s r b + r ˆp s int} dv + r t s da (6) P t P t Il principio di conservazione del momento della quantità di moto per la fase liquida richiede che per ogni parte P t S t ed ogni t sia: d w dt nρ w r v w dv = P t {nρ w r b + r ˆp w int} dv + r t w da (7) P t P t

13 Conservazione del momento della quantità di moto Il principio di conservazione del momento della quantità di moto per la miscela si ottiene come conseguenza delle eq. (6) e (7). Osservando che, per α = s, w: d α n α ρ α r v α dv = n α ρ α {r dα v α } + v α v α dv dt P t P t dt = n α ρ α r a α dv P t Si ha: P t r { (1 n)ρ s a s + nρ w a w} dv = ρ r b dv + r t da (8) P t P t

14 Principio di azione e reazione Il principio di azione e reazione impone che per ogni x S t la funzione t(x, t, n) sia continua in N, e soddisfi la condizione: t(x, t, n) = t(x, t, n) La dimostrazione si ottiene a partire dal principio di conservazione della quantità di moto, applicato ad un elemento di volume cilindrico con generatrici parallele ad n, di base da ed altezza δh 0.

15 Teorema di Cauchy (per il mezzo bifase) Teorema (esistenza del tensore delle tensioni) Sia (t, b) un sistema di forze agenti sul corpo S t durante il moto. Esiste un tensore del secondo ordine σ(x, t) tale che, per ciascun elemento di superficie da, con normale esterna n si ha: t(x, t, n) = σ(x, t)n t i (x k, t, n j ) = σ ij (x k, t)n j (9) Il tensore σ è detto tensore delle tensioni di Cauchy (totali). La funzione σ è un campo spaziale, essendo definita sulla configurazione corrente del corpo.

16 Teorema di Cauchy (per la fase solida) Teorema Sia (t s, b, ˆp s int) un sistema di forze agenti sulla fase solida del corpo S t durante il moto. Esiste un tensore del secondo ordine σ s (x, t) tale che, per ciascun elemento di superficie da, con normale esterna n si ha: t s (x, t, n) = σ s (x, t)n t s i = σ s ij(x k, t)n j (10) Il tensore σ s è detto tensore di Cauchy delle tensioni parziali per la fase solida. La funzione σ s è un campo spaziale, essendo definita sulla configurazione corrente del corpo.

17 Teorema di Cauchy (per la fase liquida) Teorema Sia (t w, b, ˆp w int) un sistema di forze agenti sulla fase liquida del corpo S t durante il moto. Esiste un tensore del secondo ordine σ w (x, t) tale che, per ciascun elemento di superficie da, con normale esterna n si ha: t w (x, t, n) = σ w (x, t)n t w i = σ w ij (x k, t)n j (11) Il tensore σ w è detto tensore di Cauchy delle tensioni parziali per la fase liquida. La funzione σ w è un campo spaziale, essendo definita sulla configurazione corrente del corpo.

18 Tensori delle tensioni totali e parziali: osservazioni i) Per la relazione esistente tra i vettori sforzo specifico, si ha: t = t s + t w σ = σ s + σ w ii) (Ipotesi costitutiva). Di norma, il tensore delle tensioni parziali nella fase liquida è assunto isotropo: σ w = p w 1 (12) con p w positiva in compressione. Ciò equivale ad assumere che gli effetti della viscosità del liquido siano messi in conto unicamente nelle forze di interazione ˆp α int.

19 Tensori delle tensioni totali e parziali: osservazioni iii) Il modulo della forza di contatto trasmessa dal liquido lungo un elemento di superficie da è pari a: df w c = t w da = p w da iv) Se u è la pressione interstiziale del liquido nel punto x all istante t, e da w è la frazione di area totale da occupata dai pori (saturi), si ha anche: df w c = t w da = u da w v) Assumendo valida la legge di Delesse: da w /da = dv w /dv = n w = n p w = nu σ w = un 1 σ = σ s un 1 (13)

20 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Euleriana del PCQM: fase solida Tenendo conto dell eq. (10), il principio di conservazione della quantità di moto per la fase solida eq. (3) si modifica come segue: 0 = {(1 n)ρ s (b a s ) + ˆp s int} dv + P t σ s n da P t 0 = {div σ s + (1 n)ρ s (b a s ) + ˆp s int} dv P t Poichè tale relazione deve valere P t S t, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale del principio di conservazione della quantità di moto per la fase solida: div σ s + (1 n)ρ s (b a s ) + ˆp s int = 0 (14)

21 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Euleriana del PCQM: fase liquida Tenendo conto dell eq. (11), il principio di conservazione della quantità di moto per la fase liquida eq. (4) si modifica come segue: 0 = {nρ w (b a w ) + ˆp w int} dv + P t σ w n da P t 0 = {div σ w + nρ w (b a w ) + ˆp w int} dv P t Poichè tale relazione deve valere P t S t, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale del principio di conservazione della quantità di moto per la fase liquida: div σ w + nρ w (b a w ) + ˆp w int = 0 (15) grad(nu) + nρ w (b a w ) + ˆp w int = 0 (16)

22 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Euleriana del PCQM: mezzo bifase Tenendo conto dell eq. (9), il principio di conservazione della quantità di moto per il mezzo bifase eq. (5) si modifica come segue: 0 = {(1 n)ρ s (b a s ) + nρ w (b a w )} dv + P t σn da P t 0 = {div σ + (1 n)ρ s (b a s ) + nρ w (b a w )} dv P t Poichè tale relazione deve valere P t S t, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale del principio di conservazione della quantità di moto per il mezzo bifase: div σ + (1 n)ρ s (b a s ) + nρ w (b a w ) = 0 (17)

23 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Lagrangiana del PCQM: mezzo bifase La forma Lagrangiana (riferita alla configurazione di riferimento del solido) del principio di conservazione della quantità di moto per il mezzo bifase si ottiene considerando che: 1) (1 n)ρ s (b a s ) dv = J(1 n)ρ s (B A s ) dv P t P 2) nρ w (b a w ) dv = Jnρ w (B A w ) dv P t P 3) σn da = JσF T N da P t P dove: B = b ϕ 1 = b A s = a s ϕ 1 A w = a w ϕ 1

24 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Lagrangiana del PCQM: mezzo bifase Ponendo: m s := J(1 n)ρ s m w := Jnρ w P(X, t) := JσF T l eq. (9) richiede che, per ogni parte P B della configurazione di riferimento del solido, si abbia: 0 = {m s (B A s ) + m w (B A w )} dv + PN da P P 0 = {div P + m s (B A s ) + m w (B A w )} dv P

25 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Lagrangiana del PCQM: mezzo bifase Poichè quest ultima relazione deve valere P B, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma Lagrangiana locale del principio di conservazione della quantità di moto per il mezzo bifase: div P + m s (B A s ) + m w (B A w ) = 0 (18) Il tensore materiale (a due punti): P(X, t) := JσF T P ia = Jσ ij (F 1 ) Aj è definito primo tensore delle tensioni di Piola Kirchhoff.

26 Tensori di Piola Kirchhoff parziali Forma Euleriana Forma Lagrangiana Dalla decomposizione del tensore delle tensioni totali di Cauchy: σ = σ s + σ w deriva immediatamente una analoga decomposizione del primo tensore di Piola Kirchhoff: P = P s + P w dove: P s (X, t) := Jσ s F T P w (X, t) := Jσ w F T P s ia = Jσ s ij(f 1 ) Aj P w ia = Jσ w ij (F 1 ) Aj Nel caso in cui si adotti per σ w l espressione (13), si ha: P w (X, t) := uφf T P w ia = uφ(f 1 ) Ai

27 Interpretazione fisica di P Forma Euleriana Forma Lagrangiana Tenendo conto della relazione che lega gli elementi di area nda S t ed N da B, si ha: df c = σn da = JσF T N da = PN da Il tensore P trasforma la normale N nel punto X = ϕ 1 t (x) di B nel vettore sforzo specifico T = PN che esprime la forza di contatto per unità di area nella configurazione di riferimento.

28 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Euleriana del PCMQM: mezzo bifase Tenendo conto dell eq. (9), il principio di conservazione del momento della quantità di moto per il mezzo poroso eq. (8) si modifica come segue: { r (1 n)ρ s a s +nρ w a w} dv = ρ r b dv+ r σn da (19) P t P t P t L integrale di superficie è esprimibile come: { r σn da = div(r σ) dv = r div σ + e σ T } dv P t P t P t Dimostrazione (div(r σ)) i = (e ijk r j σ kl ) / x l = e ijk r j σ kl / x l + e ijk δ jl σ kl = e ijk r j σ kl / x l + e ijk σ kj

29 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Euleriana del PCMQM: mezzo bifase Tenendo conto del risultato precedente, l eq. (19) si modifica in: P t r { } div σ + (1 n)ρ s (b a s ) + nρ w (b a w ) dv + e σ T dv = 0 P t Poichè tale relazione deve valere P t S t ed il primo integrale è nullo, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale del principio di conservazione del momento della quantità di moto per il mezzo bifase: e σ T = 0 σ = σ T (20)

30 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Euleriana del PCMQM: fasi solida e liquida Seguendo un ragionamento analogo, le eq. (6) e (7) si modificano in: e σ st dv = 0 e σ wt dv = 0 P t P t per ogni parte P t S t. Il teorema di localizzazione fornisce le seguenti forme locali del principio di conservazione del momento della quantità di moto per la fase solida: e per la fase liquida: e σ st = 0 σ s = σ st (21) e σ wt = 0 σ w = σ wt (22)

31 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Lagrangiana del PCMQM Il primo tensore di Piola Kirchhoff è un tensore a due punti; pertanto per P il concetto di simmetria è privo di senso. La simmetria del tensore delle tensioni di Cauchy trasmette a P le seguenti proprietà di simmetria: PF T = FP T F 1 P = P T F T (23) Dimostrazione 1) PF T = JσF T F T = Jσ = JFF 1 σ T = FP T 2) F 1 P = JF 1 σf T = JF 1 σ T F T = P T F T

32 Forma Euleriana Forma Lagrangiana Forma locale Lagrangiana del PCMQM Tali caratteristiche di simmetria si applicano anche ai tensori P s e P w : P s F T = FP st F 1 P s = P st F T (24) P w F T = FP wt F 1 P w = P wt F T (25) Nel caso in cui si adotti per σ w l espressione (13), si ha inoltre: P w F T = FP wt = uφ 1 (26) F 1 P w = P wt F T = uφ F 1 F T = uφ C 1 (27)