Lezione 2: Cinematica dei continui porosi

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1 Lezione 2: Cinematica dei mezzi continui porosi Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università degli Studi di Perugia Dottorato Internazionale Congiunto Firenze Braunschweig Firenze, Febbraio 2014

2 Sommario Introduzione 1 Introduzione 2 3 4

3 La meccanica dei mezzi porosi La meccanica dei mezzi porosi o poromeccanica (Coussy 2004) è la branca della meccanica applicata che si occupa della descrizione del comportamento di mezzi porosi multifase, nei quali si individua uno scheletro solido, composto da particelle solide, ed uno o più fluidi interstiziali (liquido, gas). La risposta meccanica dei mezzi porosi multifase è influenzata in misura significativa dalla interazione tra le fasi (solida e fluide).

4 Campi di applicazione La meccanica dei mezzi porosi (MMP) riguarda una vasta gamma di materiali, tra i quali è possibile includere: Materiali di origine geologica (terreni e rocce); Materiali compositi (es., calcestruzzo); Materiali biologici (tessuti ed ossa). La MMP ha dunque numerosi campi di applicazione nell ingegneria e nelle scienze applicate. Ad es., la geotecnica, l ingegneria mineraria (idrocarburi), la geofisica, l ingegneria dei materiali e la biomeccanica. Nonostante tali campi di applicazione siano molto distanti tra loro, i processi di deformazione e diffusione accoppiati che hanno luogo quando i materiali porosi vengono sollecitati (in vario modo) risultano sostanzialmente simili.

5 Il mezzo poroso come continuo multifase L elemento chiave che consente di estendere la MMC classica ai mezzi porosi multifase consiste nel considerare il mezzo come una miscela di più continui sovrapposti nel medesimo spazio e che interagiscono tra loro scambiando forze, massa ed energia.

6 Teorie delle Miscele Le moderne teorie che inquadrano il comportamento dei mezzi porosi nell ambito della MMC possono essere suddivise in tre classi: 1) Teorie Macroscopiche Biot (1941,1956); Coussy (1995,1997,2004); 2) Teorie delle Miscele con frazioni di volume Bowen (1976,1980,1982); Prevost (1980); de Boer et al. (1991); de Boer (1996,1998); Bluhm & de Boer (1996,1997); Svendsen & Hutter (1995); Wilmanski (1996,1998). 3) Teorie delle Miscele Ibride Hassanizadeh & Gray (1979a,b); Zienkiewicz et al. (1988, 1990); Schrefler et al. (1990); Lewis & Schrefler (1998).

7 Il concetto di REV L applicazione della MMC a materiali con microstruttura discontinua evidente quali i mezzi porosi richiede l introduzione del concetto di volume elementare rappresentativo, o REV.

8 Il concetto di REV Il REV deve risultare sufficientemente piccolo (l B) da ritenere che i valori medi delle grandezze fisiche in tale volume rappresentino i valori puntuali dei campi che caratterizzano il mezzo continuo, ma anche sufficientemente grande (l d) da risultare rappresentativo del comportamento del mezzo poroso alla scala macroscopica.

9 Frazioni di volume Un elemento comune a tutte le teorie delle miscele per i mezzi porosi è il concetto di frazioni di volume, impiegato per descrivere (al livello più semplice possibile) la microstruttura del materiale. In ciascun punto materiale del mezzo, si definisce frazione di volume n α del costituente α la quantità: n α := dv { α dv ; dv 1 if r α; α := χ α (r)dv ; χ α (r) := 0 altrimenti. dv

10 Frazioni di volume Il volume V α occupato dal costituente α nel corpo S è dato da: v α = n α dv mentre il volume totale della miscela è la somma dei volumi parziali dei costituenti: m m [ m ] v = v α = n α dv = n α dv = dv α=1 α=1 S S S α=1 Pertanto, le quantità n α sono soggette alla seguente condizione di saturazione: m n α = 1 α=1 S

11 Mezzo poroso saturo. Porosità In geomeccanica, un mezzo poroso è definito saturo quando tutti i vuoti sono occupati da acqua (mezzo bifase). Si definisce porosità n del mezzo il rapporto tra il volume occupato dai vuoti nel REV, dv v, ed il volume totale del REV, dv. n := dv v dv Dunque, in un mezzo saturo, si ha: n w = n n s = 1 n

12 Porosità euleriana e lagrangiana La porosità n è una grandezza euleriana, perchè è riferita alla configurazione corrente S t dello scheletro solido.

13 Porosità euleriana e lagrangiana Si definisce porosità lagrangiana φ la grandezza (materiale): φ := Jn φ dv = ndv La porosità lagrangiana φ rappresenta il volume dei vuoti corrente per unità di volume nella configurazione di riferimento B dello scheletro solido.

14 Cinematica dello scheletro solido Nelle teorie macroscopiche per i continui porosi derivanti dall approccio di Biot, il moto dello scheletro solido assume un ruolo predominante. La sua descrizione non differisce in alcun modo da quella di un continuo monofase. Tipicamente si adotta un approccio Lagrangiano.

15 Variazione di volume dello scheletro solido La variazione di volume dello scheletro solido è definita dal Jacobiano J = det F = dv/dv. Si indichi con: J s := det(f s ) dv s = J s dv s = J s (1 φ 0 ) dv lo Jacobiano della deformazione dei grani solidi, che quantifica la variazione del volume occupato dalla sola fase solida. Si ha allora: dv s = J s (1 φ 0 ) dv = (J φ) dv = (1 n) dv J = φ + J s (1 φ 0 )

16 Variazione di volume dello scheletro solido Nel caso di piccole deformazioni, si ha: J 1 + ɛ kk = 1 + ɛ v J s 1 + ɛ s v Dunque: 1 + ɛ v = φ + (1 φ 0 )(1 + ɛ s v) ɛ v = φ φ 0 + (1 φ 0 )ɛ s v Se i grani solidi sono incompressibili, J s = 1 ed ɛ s v = 0. Pertanto: ɛ v = φ φ 0 Lo scheletro solido può variare di volume solo a seguito di variazioni della porosità.

17 Cinematica della fase liquida Il moto della fase liquida è tipicamente descritto impiegando un approccio Euleriano, data l impossibilità di definire una configurazione di riferimento B w per tale fase.

18 Cinematica della fase liquida Si definisce: v w (x, t) = ( ϕ w / t) ϕ 1 w l w (x, t) = grad v w d w (x, t) = sym(grad v w ) velocità (media) del liquido gradiente della velocità del liquido velocità di deformazione del liquido Nello studio del moto del liquido nel mezzo poroso, spesso la velocità relativa del liquido rispetto al solido è più rilevante. Si definisce velocità di filtrazione o di d Arcy il vettore: v(x, t) := n (v w v s ) v i := n (v w i v s i )

19 Velocità di filtrazione Euleriana Interpretazione fisica della velocità di filtrazione: dq w = (v w v s ) n (nda) = v n da è la portata per unità di area totale che attraversa la superficie solida da. Si definisce velocità di filtrazione di massa (Euleriana) la quantità: Dunque: m := ρ w n (v w v s ) = ρ w v dm w = m n da è la portata in massa per unità di area totale che attraversa la superficie solida da.

20 Velocità di filtrazione Lagrangiana Descrivendo la cinematica del mezzo poroso in base al moto della fase solida, ha senso definire velocità di filtrazione Lagrangiana la trasformazione di Piola di v: V := JF 1 v Si definisce velocità di filtrazione di massa Lagrangiana la quantità: M := JF 1 m Per le proprietà della trasformazione di Piola, si ha: V N da = v n da M N da = m n da

21 Derivate materiali Si definisce derivata temporale materiale rispetto al moto della fase α di un campo spaziale (scalare, vettoriale o tensoriale) regolare ψ(x, t) la quantità: d α ψ dt = [ ] t ψ (ϕ α(x α, t), t) = ψ X α =ϕ 1 α (x,t) t + grad ψ[vα ] La derivata materiale d α ψ/dt misura la variazione nel tempo della grandezza ψ nella particella X α della fase α.

22 Derivate materiali Casi particolari Derivata temporale materiale rispetto al moto della fase solida: dψ dt = ψ t + grad ψ[vs ] Derivata temporale materiale rispetto al moto della fase liquida: d w ψ dt Relazione tra le due derivate materiali: = ψ t + grad ψ[vw ] d w ψ dt = dψ dt + grad ψ [vw v s ] = dψ dt + 1 n grad ψ[v]

23 Derivate materiali Casi particolari Accelerazione (spaziale) della fase solida: a s := dvs dt = vs t + (grad v s ) v s Accelerazione (spaziale) della fase liquida: a w := dw v w dt = vw t + (grad v w ) v w

24 Teorema di Reynolds per la fase solida Sia f un campo spaziale scalare regolare. Per una qualunque parte P t di S t e ad ogni istante t, si ha: d f f dv = dt P t t dv + f v n da P t Dimostrazione P t Trasformando l integrale su P t in un integrale su P B si ha: d f dv = d d (f ) m J dv = dt P t dt P P dt [(f ) m J] dv [ḟ ] = + f div v J dv = [ f / t + div(f v)] m m J dv P P = [ f / t + div(f v)] dv = f / t dv + f v n da P t P t P t

25 Teorema di Reynolds per la fase liquida Sia f un campo spaziale scalare regolare. Per una qualunque parte P t di S t e ad ogni istante t, si ha: d w f f dv = dt P t t dv + f v w n da P t Dimostrazione P t Trasformando l integrale su P t in un integrale su P w B w si ha: d w f dv = dt Pt dw Pw d w (f ) m J w dv = dt P dt [(f ) m J w ] dv w = [d w f /dt + f div v w ] m J w dv P w = [ f / t + div(f v w )] dv = f / t dv + f v w n da P t P t P t