Appunti di Meccanica dei Fluidi M. Tregnaghi

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1 M. regnaghi 0. CINEMAICA: ENSORE DELLE VELOCIÀ DI DEFORMAZIONE ENSORE DEVIAORE DEGLI SFORZI Il tensore degli sfori può essere scritto come la somma di un tensore sferico (caso idrostatico) e di un tensore deviatore degli sfori. Il legame tra deviatore degli sfori e tensore delle velocità di deformaione rappresenta la legge costitutiva del fluido. ENSORE DEGLI SFORZI y p y y yy y 0 p 0 0 yy 0 y 0 y y 0 0 p y = tensore degli pi = tensore sferico D = tensore deviatore E = tensore sfori (stato idrostatico) sfori normali sfori tangeniali ensore deviatore degli sfori ii p pi ij ij ii sfori normali sfori tangeniali LEGGE COSIUIVA (fluidi newtoniani) Per una singola componente: d dv dt dy In forma tensoriale: r( ) I fluido comprim. 3 fluido incomprim. Il tensore rappresenta il tensore delle velocità di deformaione. POSSIBILI MOVIMENI/DEFORMAZIONI DUE MOVIMENI RIGIDI raslaione Rotaione DUE DEFORMAZIONI Deformaione lineare Deformaione angolare Il tensore delle velocità di deformaione dipende dalle deformaioni lineari ed angolari cui è sottoposto il fluido. ali deformaioni sono legate agli scorrimenti relativi tra particelle e quindi alla loro differena di velocità. 4

2 M. regnaghi ENSORE GRADIENE DI VELOCIÀ Lo spostamento relativo di un generico punto P di un volumetto di fluido rispetto a G è descritto dal tensore gradiente di velocità (valutato in G). Pertanto tale tensore deve "contenere" sia le velocità di deformaione che le velocità di rotaione. RASLAZIONE + DEFORMAZIONE (caso unidimensionale) RASLAZIONE + ROAZIONE (caso unidimensionale) SPOSAMENI RELAIVI (scalare) Spostamento Relativo L' L y y' y Deformaione/Rotaione LL yl y L Velocità di Deformaione/Rotaione d dt d dt MOVIMENI E DEFORMAZIONI DI UN VOLUMEO DI FLUIDO SPOSAMENI RELAIVI (vettore) Vettore Spostamento Relativo s s' s ensore Deformaione/Rotaione (confronta caso unidimensionale) s s s Velocità di Deformaione/Rotaione s t t s ENSORE GRADIENE DI VELOCIÀ GP s GG' vgt GP ' ' s' PP' vpt GP' s' vgt s vpt s' s vp vg t v v vp v y v v s y vy vy vpy vy y vy vy s y P G 3 v v v s RELAZIONE RA ENSORE GRADIENE E SPOSAMENI RELAIVI P G 3 s v v t vp vg v s s v s t spostamenti relativi per unità di tempo 4 tensore gradiente di velocità stato non deformato utte le informaioni riguardanti i possibili spostamenti relativi delle particelle di fluido sono contenute nel tensore gradiente di velocità. RELAZIONE RA ENSORE GRADIENE E ENSORE VELOCIÀ DI DEFORMAZIONE Vettore Spostamento Relativo s s' s v s t ensore Deformaione/Rotaione v t Velocità di Deformaione/Rotaione v t t Quest'ultima relaione si ottiene direttamente confrontando () e (4). 43

3 M. regnaghi ENSORE DELLE VELOCIÀ DI DEFORMAZIONE Il tensore gradiente di velocità può essere decomposto nella somma di un tensore antisimmetrico ed uno simmetrico. Il primo descrive una velocità di rotaione rigida; il secondo descrive una velocità di deformaione (lineare ed angolare). v symv skewv D E v v i j ij vij vji j i v v i j ij vij v ji j i ij, y,, ENSORE SIMMERICO v v v y v v y vy v v y vy v y y y v v v v y v y ENSORE ANISIMMERICO v v y v v 0 y vy v v y v 0 y y v v v v y 0 y ENSORE DELLE VELOCIÀ DI DEFORMAZIONE v v v v v v y v v v v y v v 0 0 y 0 0 y y vy vy vy vy vy v v y v vy v v y v 0 0 y y 0 0 y y y y v v v v v vy 0 0 v v v y 0 v v v y 0 y y tensore gradiente D( ) = tensore associato a E( ) = tensore associato a = tensore associato a trasposto delle velocità deformaione lineare deformaione angolare rotaione rigida ensore delle velocità di deformaione () RASLAZIONE v 0 v cost v 0 vy cost v cost 44

4 M. regnaghi DEFORMAZIONI E ROAZIONI Il moto può essere considerato come la somma di () una traslaione; () una deformaione lineare descritta dal tensore E ; (4) una rotaione rigida descritta dal tensore. D ; (3) una deformaione angolare descritta dal tensore () DEFORMAZIONE LINEARE COEFFICIENI DI DEF. LINEARE v y v y 0 s v s D s t 0 0 d d 0 yy 0 dy yydy 0 0 d d v v t t dw W v yy W dt W t r La divergena della velocità (traccia di ε) assume il significato di tasso di variaione volumetrica. Per un fluido non comprimibile la divergena è nulla. (3) DEFORMAZIONE ANGOLARE COEFFICIENI DI DEF. ANGOLARE v v y y 0 s v s E s t 0 y y 0 y y y 0 yy yy yy vy vy t t v v y y t y t y vy v y y t y Nota: ε y = ε y (4) ROAZIONE COEFFICIENI VEL. DI ROAZIONE v v y y 0 s v s s t 0 y 0 y y 0 y y y y v yvy y y v v v v y y y vy vy t t v v y y t y t y vy v y y t y Posto ω = ω y = ω y, e confrontando la definiione di rotore, si ottiene: v velocità di rotaione 45

5 M. regnaghi. CINEMAICA: APPLICAZIONE A PARICOLARI CAMPI DI MOO MOO IN UN CONVERGENE E MOO DI RASCINAMENO Per descrivere il moto di un volumetto di fluido è necessario analiare le componenti dei tensori velocità di deformaione e velocità di rotaione. In generale, i quattro tipi fondamentali di moto e deformaione sono presenti contemporaneamente. () MOO IN UN CONVERGENE IN COMPONENI SCALARI DEFINIZIONE CAMPO DI MOO (PIANO) v, y v0 C vy, y Cy VELOCIÀ MEDIA IN OGNI SEZIONE h/ vm, v0 Cdyv0 C h h/ h/ vym, Cydy 0 h h/ DEFORMAZIONI ANGOLARI/ROAZIONI vy v y 0 y vy v y 0 y DEFORMAZIONI LINEARI v C v y yy C y Il moto di un volumetto di fluido risulta dalla sovrapposiione di una traslaione e di una deformaione lineare. La condiione di incomprimibilità del fluido impone inoltre una condiione di vincolo alla variaione locale delle componenti di velocità: cost C C r v 0 () MOO DI RASCINAMENO DEFORMAZIONI ANGOLARI/ROAZIONI vy v y C y vy v y C y DEFORMAZIONI LINEARI v 0 yy v y y 0 DEFINIZIONE CAMPO DI MOO (PIANO) v, y Cy vy, y 0 Il moto di un volumetto di fluido risulta dalla sovrapposiione di una traslaione, una deformaione angolare e una rotaione rigida (uguale e contraria). 46

6 M. regnaghi MOO ROAZIONALE E IRROAZIONALE Esiste una corrispondena biunivoca tra vorticità (= rotore del campo di moto) e la velocità di rotaione del campo di moto. I campi di moto a vorticità nulla si dicono irrotaionali. I moti irrotaionali si possono descrivere come moti a poteniale. DEFINIZIONI PROPRIEÀ CONSEGUENZA = velocità di rotaione v = vorticità La vorticità è uguale al doppio della velocità di rotaione del fluido. v v 0 Moto irrotaionale Se il campo di moto è conservativo, ovvero esiste una funione poteniale delle velocità φ, l'integrale di linea del campo lungo un percorso chiuso (cioè la sua circolaione) è nullo: Se t.c.: v 0 Per il teorema di Stokes: vds v nda Se il moto è irrotaionale (in un dominio semplicemente connesso), allora il campo è conservativo ed esiste una funione poteniale delle velocità: Se v 0 t.c.: v dominio S.C. ale proprietà dà origine ad una particolare classe di moti definita moti a poteniale. MOO ROAZIONALE vn vs b s n vn vs s r vs vs r r Cr Cr C r r Cb Crrd r v C MOO IRROAZIONALE 0 0 che non racchiude O v 0 vn vs b s n vn vs s r vs vs r r C C r r r C C 0 r r 47

7 M. regnaghi RAPPRESENAZIONE DEL CAMPO DI MOO Il campo di moto di un fluido, sia in moto permanente sia in moto vario, può essere visualiato sperimentalmente mediante la definiioni di particolari linee geometriche: linee di corrente, traiettorie e linee di fumo. LINEE DI CORRENE Sono tangenti al vettore velocità in ogni istante (osservaione euleriana). In generale non possono essere visualiate sperimentalmente. RAIEORIE Una traiettoria è la linea dei punti occupati da una singola particella. Le traiettorie rappresentano un'osservaione lagrangiana. Possono essere visualiate con particelle traccianti (PIV). In moto permanente le traiettorie coincidono con le linee di corrente. LINEE DI FUMO (O DI EMISSIONE) Definiione: preso un punto P come riferimento, la linea di emissione è il luogo dei punti occupati da tutte le particelle che sono passate per tale punto. Le linee di emissione possono essere visualiate con traccianti colorati. In moto permanente coincidono con le linee di corrente e con le traiettorie. 48