Lezione 9 - Le equazioni indefinite di equilibrio

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1 Leione 9 - Le equaioni indefinite di equilibrio [Ultimarevisione: revisione:11 11dicembre dicembre8] In questa leione si deducono le cosiddette equaioni indefinite dellequilibrio, e si dimostra limportante proprieta di simmetria della matrice delle tensioni. Ambedue questi risultati vengono raggiunti imponendo lequilibrio di un tetraedro elementare isolato allinterno del corpo [Cauchy] Le fore agenti Si consideri un corpo B e si isoli, idealmente, al suo interno, un parallelepipedo infinitesimo, con gli spigoli paralleli agli assi coordinati x 1, x, x. Le componenti di tensione agenti sulle sei facce del parallelepipedo sono riportate in Figura 1, positive secondo la convenione illustrata nelle leioni precedenti. Ad esempio, la faccia EFGH ha normale uscente discorde allasse coordinato x 1, e di conseguena le tre componenti s 11, s 1 e s 1 sono positive se controverse agli assi coordinati, come riportato in figura. Se gli spigoli del parallelepipedo sono lunghi 1, e, rispettivamente, allora sulla faccia EFGH agiranno le fore di intensita s 11, s 1, s 1. Sulla faccia parallela ABCD la normale uscente e equiversa allasse x 1, e quindi le componenti di tensione saranno positive se equiverse agli assi. Le fore agenti su questa faccia saranno s 11, s 1 e s 1, dove le tensioni s 11, s 1, s 1 sono legate alle s 11, s 1 e s 1 dalle relaioni: σ 11 = σ 11 + σ 11 x 1 1 σ 1 = σ 1 + σ 1 x 1 1 σ 1 = σ 1 + σ 1 x 1 1 Analogamente, sulla faccia ACEF agiranno le fore s 1 1, s 1, s 1, mentre sulla faccia parallela BDHG agiranno le s 1 1, s 1, s 1, con: (1) σ 1 = σ 1 + σ 1 x σ = σ + σ x σ = σ + σ x Infine, sulla faccia ABGF agiranno le fore s 1 1, s 1, s 1, mentre sulla faccia parallela CDEH agiranno le s 1 1, s 1, s 1, con: ()

2 55 Leione 9 - Le equaioni indefinite di equilibrio.nb σ 1 = σ 1 + σ 1 x σ = σ + σ x σ = σ + σ x Le relaioni (1-) sono giustificate nellambito di uno sviluppo in serie troncato al primo termine. () x C s s 1 s s 1 O E s 1 s 1 s s s 1 D s 1 s 1 s s 11 s s H G x A s 11 s 1 B s x 1 Figura 1. - Le componenti di tensione positive agenti sulle facce del tetraedro Le equaioni di equilibrio alla traslaione Se il parallelepipedo infinitesimo e soggetto alla fora di massa X, di componenti X 1, X ed X, dovra essere garantito lequilibrio alla traslaione tra le fore esterne e quelle interne. In direione x 1, ad esempio, sara: σ 11 σ 1 1 σ σ 11 + σ σ X 1 1 = ed utiliando le (1) si ha: (4) σ 11 x 1 + σ 1 1 x 1 + σ 1 x 1 +X 1 1 = Poiche la quantita 1 e sicuramente non nulla, dovra essere necessariamente: (5)

3 Leione 9 - Le equaioni indefinite di equilibrio.nb 56 σ 11 + σ 1 + σ 1 +X x 1 x x 1 = Del tutto analogamente, lequilibrio alla traslaione in direione x ed in direione x conduce alle altre due equaioni di equilibrio: (6) σ 1 + σ + σ +X x 1 x x = σ 1 + σ + σ +X x 1 x x = Le tre equaioni (6-8) vanno sotto il nome di equaioni indefinite dellequilibrio. (7) (8) Le equaioni di equilibrio alla rotaione Si imponga ora che il parallelepipedo sia in equilibrio rispetto alle rotaioni intorno ai tre assi, scegliendo come polo dei momenti il baricentro del parallelepipedo. Questa scelta elimina dal gioco le fore di massa, applicate proprio nel baricentro, ed anche le tensioni s 11, s e s, il cui braccio e nullo, dato che le tensioni si suppongono applicate nei baricentri delle facce del parallelepipedo. Cio premesso, si consideri ad esempio lequaione di equilibrio alla rotaione intorno allasse x. Si ha: σ σ 1 1 σ 1 1 σ 1 1 = ed utiliando le (1) e () si ha: (9) σ 1 1 +Jσ 1 + σ 1 x 1 N 1 1 σ 1 1 Jσ 1 + σ 1 x N 1 = Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore si giunge alla relaione: (1) σ 1 = σ 1 Imponendo lequilibrio alla rotaione anche intorno agli altri due assi si ha, del tutto analogamente: (11) σ 1 = σ 1 (1) σ = σ (1) Ne segue, in definitiva, che la matrice delle tensioni e simmetrica, e che le componenti di tensioni si riducono a sei. Le tre tensioni ad indici uguali, s 11, s e s si dicono tensioni normali, mentre le tre tensioni ad indici disuguali, s 1, s 1 e s si dicono tensioni tangeniali. La notaione matriciale ed indiciale Come si e visto, le equaioni di equilibrio alla rotaione implicano la simmetria della matrice delle tensioni S, e di conseguena si potra scrivere:

4 57 Leione 9 - Le equaioni indefinite di equilibrio.nb S = i σ 11 σ 1 σ 1 y j σ 1 σ σ k σ 1 σ σ { Molto conveniente risulta lintroduione del vettore s delle sei componenti di tensioni: (14) σ = i j k σ 11 σ σ σ 1 σ 1 σ y { (15) Utiliando tale notaione, le equaioni indefinite dellequilibrio potranno sinteticamente scriversi come: δσ +X = avendo introdotto la matrice di operatori differeniali: δ = i j k x 1 x x x x 1 x x x x ed il vettore delle fore di massa: y { (16) (17) X = i j k X 1 X X y { (18) Alternativamente, le equaioni indefinite dellequilibrio potranno scriversi, in notaione indiciale, come: σ ij x j +X i = (19) Un approccio alternativo Le equaioni di equilibrio appena dedotte in modo diretto possono anche trarsi - in modo matematicamente piu corretto - facendo uso del teorema della divergena [Divergena]. Ed infatti, si consideri un volume, con frontiera d, contenuto allinterno del corpo, e si esprimano le condiioni di equilibrio alla traslaione ed alla rotaione: X + t n s = δ r X + s t n s = δ Si espliciti la (), utiliando il teorema di Cauchy-Poisson: () (1) X i + σ ji n i s =, i = 1,... δ ed utiliando il teorema della divergena: () X i + σ ji =, i =1,... x j ()

5 Leione 9 - Le equaioni indefinite di equilibrio.nb 58 Per larbitrarieta del volume, ne seguono le (19). Esplicitando le (1) si hanno invece le tre equaioni scalari: Hr X r X L + Hs t n s t n L s = δ Hr X 1 r 1 X L + Hs t n1 s 1 t n L s = δ Hr 1 X r X 1 L + Hs 1 t n s t n1 L s = δ Utiliando il teorema di Cauchy-Poisson, la (4) diviene: (4) (5) (6) Hr X r X L Hσ 1 n 1 + σ n + σ n L s Hσ 1 n 1 + σ n + σ n LD s = δ e per il teorema della divergena: (7) Hr X r X L + A Hr σ 1 L + Hr σ L + Hr σ L x 1 x x Hr σ L Hr σ L E = x x Hr σ 1 L x 1 (8) Svolgendo i prodotti si ha: Hr X r X L + Ar σ 1 σ +r x + σ 1 x +r σ r σ 1 x x 1 σ r r σ x σ x E = Infine, utiliando le (19) si ottiene, per larbitrarieta del volume: σ = σ (9) () Dalle altre due equaioni si ottiene s 1 = s 1 e s 1 = s 1 Note [Cauchy] - La deduione delle condiioni di equilibrio si trova in "Sur les relations qui existent, dans létat déquilibre dun corp solide ou fluide, entre les pressions ou tensions et les forces accélératrices" Exercises de Mathématiques,, pp [Torna al testo] [Divergena] - Se e una regione dello spaio, e se f e un campo scalare continuo e derivabile, si ha fn i s = f x j (1)

6 59 Leione 9 - Le equaioni indefinite di equilibrio.nb dove n e il versore della normale uscente al contorno. [Torna al testo]