8. Rotazioni e moto relativo

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1 8. Rotaioni e moto relativo Il gruppo delle rotaioni consiste nelle trasformaioni tra riferimenti cartesiani ortogonali e su di esso si fonda la cinematica del corpo rigido e la cinematica relativa. Si analia la rappresentaione del gruppo tramite le matrici ortogonali 3 3 e la loro parametriaione attraverso gli angoli di Eulero. gni rotaione è caratteriata da un asse ed un angolo, per valori infinitesimi del quale la trasformaione di un vettore assume una forma semplice. Da questa discendono le formule di Poisson, che esprimono la variaione dei versori del sistema rotante e consentono di ricavare le trasformaioni di velocità ed acceleraioni tra due sistemi di riferimento. Le equaioni del moto in un sistema non ineriale vengono scritte anche partendo dalla formulaione lagrangiana e risolte per un punto soggetto ad un campo di fora costante quando la rotaione è uniforme. Nel riferimento terrestre si analiano la caduta del grave ed il pendolo di Foucault MATRICI DI RTAZINE Si dicono ortogonali le trasformaioni tra basi ortonormali, formate cioè da vettori ortogonali e normaliati, in uno spaio euclideo. Nel tero paragrafo del capitolo 1 abbiamo definito ortogonali le trasformaioni, che lasciano invariante la norma di un vettore ed abbiamo provato che esse trasformano tra loro riferimenti cartesiani ortogonali. Sia R l operatore lineare che trasforma una base ortonormale e i in un altra base ortonormale e i e R la matrice che lo rappresenta. In forma intrinseca o matriciale si scrive e i = Re i = R ji e j, e 1 = R 11 j= R 21 + R (8.1.1) 1

2 Rotaioni e moto relativo c Le colonne della matrice R sono le componenti degli e i sulla base iniiale. La condiione di ortogonalità dell operatore R e della matrice R che lo rappresenta segue dalla ortonormalità dei nuovi vettori di base, vedi (1.3.13). Trasformaioni ortogonali. Una trasformaione tra basi ortogonali è ortogonale. Una trasformaione che lascia invariati i prodotti scalari è ortogonale. L operatore R che genera una trasformaione ortogonale soddisfa le relaioni RR = I e R R = I, che esprimono la ortonormalità e la completea della base. L equivalena delle prime due definiioni di trasformaione ortogonale è stata provata nel capitolo 1 (il prodotto scalare è invariante se e solo se lo è la norma). Si è anche mostrato (1.3.13) che l ortogonalità della nuova base si esprime nella forma RR = I. La completea della base esprime la possibilità di decomporre un qualsiasi vettore u sulla base stessa u = e i u i = e i (e i u) = (e i ẽ i )u (8.1.2) Con ỹ si indica il duale di un vettore y, vedi paragrafo 1.2, rappresentato dalla matrice riga (y 1, y 2, y 3 ) e con L = ỹ un operatore lineare rappresentato dalla matrice L di componenti L ij = i y j. Per una base e i le condiioni che esprimono la ortogonalità e la completea si scrivono e i e j ẽ i e j = δ ij, e i ẽ i = I (8.1.3) dove la seconda relaione segue da (8.1.2) per l arbitrarietà di u. Le condiioni di ortonormalità e completea per la base trasformata implicano pertanto RR = I e R R = I. Si noti che RR = I implica R = R 1 da cui segue R R = I. Definiamo rotaione una trasformaione ortogonale, rappresentata da una matrice R il cui determinante sia 1. Si noti che la condiione di ortogonalità implica (detr) 2 = 1 e quindi detr = ±1. L inversione degli assi r = r è rappresentata dalla matrice I con determinante 1 ed una qualsiasi trasformaione ortogonale con determinante 1 è esprimibile come il prodotto di una rotaione e di una inversione degli assi. Asse e angolo di rotaione Una rotaione è completamente determinata da un asse, ossia una retta orientata, definita da un versore n e da un angolo α, secondo il teorema di Eulero che sotto dimostriamo. Un vettore r = P si trasforma allora nel vettore r = P ottenuto ruotando di un angolo α attorno all asse il piano contenente l asse ed il vettore, vedi figura Una rotaione è individuata dal vettore αn, cioè da tre parametri reali; la condiione di ortogonalità fornisce infatti 6 condiioni di vincolo indipendenti tra i 9 parametri reali che sono le componenti della matrice R. Il vettore dr = r r = P P, vedi figura 7.1.1, ha modulo 2 r sin θ sin(α/2), dove θ è l angolo tra r e con l asse n, ed appartiene al piano ortogonale a n.

3 c Matrici di rotaione 181 α y y α y y y α Figura Rotaioni nel verso antiorario attorno agli assi coordinati, y,. Per α è infinitesimo il vettore dr diventa ortogonale al piano dei vettori r e n con dr = r dα sinθ. Si può quindi scrivere dr = dαn r (8.1.4) notando che dα > 0 corrisponde al verso di rotaione antiorario per un osservatore orientato nel verso di n. Le rotaioni finite hanno una espressione semplice quando l asse di rotaione coincide con uno degli assi del riferimento cartesiano, vedi figura Le matrici che ruotano un vettore di un angolo α nel verso orario rispetto all asse di rotaione sono espresse da R (α) = 0 cosα sin α R y (α) = 0 sinα cosα cos α sinα 0 R (α) = sinα cos α cos α 0 sinα sinα 0 cos α (8.1.5) Poiché l asse non viene alterato dalla rotaione, i versori degli assi sono autovettori rispettivamente delle tre matrici di rotaione con autovalore 1. Gli autovalori di ciascuna matrice, soluione della equaione (λ 1)(λ 2 2λcos α + 1) = 0 (8.1.6) valgono 1, e iα, e iα e la traccia di ciascuna matrice è 1+2cos α. Tali risultati valgono per una generica matrice ortogonale.

4 Rotaioni e moto relativo c Teorema di Eulero. gni operatore di rotaione R ha un autovalore reale uguale a 1 con autovettore reale n e due autovalori complessi coniugati e ±iα. L autovettore n è l asse di rotaione e l angolo di rotaione α è dato da Tr R = 1 + 2cos α. Gli autovalori λ 1, λ 2, λ 3 di una matrice di rotaione sono vincolati da λ 1 λ 2 λ 3 = 1 ed hanno tutti modulo unitario. Infatti gli autovalori ed i corrispondenti autovettori possono essere complessi Rn = λn (8.1.7) Ne segue che (λn) (λn) = λ 2 n n = (Rn) Rn = n RRn = n n (8.1.8) e quindi λ = 1. Poiché d altronde R è reale, se λ è un autovalore, anche λ è un autovalore; perciò gli autovalori sono espressi da λ 1 = 1 λ 2 = e iα λ 3 = e iα (8.1.9) L autovettore n corrispondente a λ = 1 definisce l asse di rotaione. L angolo di rotaione è dato da α ed è calcolabile direttamente mediante la relaione Tr R = 1 + 2cos α (8.1.10) Notiamo che gli autovalori, la traccia ed il determinante sono definiti per un operatore lineare. Infatti risultano indipendenti dalla base scelta per rappresentare l operatore, poiché un cambiamento di base corrisponde ad una trasformaione di similitudine sulla matrice che lo rappresenta. Se si sceglie quindi come base quella in cui il vettore n coincide con l asse, l operatore R è rappresentato necessariamente dalla matrice di rotaione R (φ) e l invariana della traccia implica φ = α; quindi α va identificato con l angolo di rotaione RTAZINI INFINITESIME E ANGLI DI EULER Sia R l operatore di rotaione di un angolo α nel verso orario attorno ad un asse n. Se ruotiamo il vettore posiione r, le componenti del vettore ruotato Rr nella base iniiale e i, cui ci riferiremo come sistema fisso, sono i = 3 j=1 R ij j che scriviamo con notaione matriciale = R. Se invece ruotiamo il riferimento nel verso antiorario, il vettore r ha = R come componenti sulla base ruotata e i = R 1 e i. Rr = (R) i e i rotaione oraria del vettore (8.2.1) r = (R) i R 1 e i rotaione antioraria del riferimento

5 c Rotaioni infinitesime e angoli di Eulero 183 I due punti di vista sono equivalenti e adotteremo d ora in poi il secondo indicando con R(α) la rotaione del riferimento di un angolo α attorno ad n nel verso antiorario. In un moto continuo di rotaione l operatore R dipende con continuità dal tempo; i tre parametri indipendenti da cui dipende la corrispondente matrice di rotaione R diventano funioni continue del tempo e tali risultano l asse e l angolo di rotaione. Definiamo solidale col sistema rotante un vettore r(t) che sia fisso rispetto a questo sistema; le componenti = R di un vettore solidale sono quindi costanti. Se i (t) sono le componenti sul sistema fisso di un vettore r(t) solidale col sistema rotante e se per t = 0 i due sistemi coincidono, si ha = (0) da cui segue (t) = R 1 (t) = R 1 (t)(0). Il vettore solidale r(t) = R 1 (t)r(0) ruota ovviamente nel verso antiorario. Rotaioni infinitesime Sia r un vettore solidale con il sistema rotante e = R(t)(t) le componenti costanti sul sistema solidale dove = (0) se R(0) = I. La variaione di (t) in un intervallo di tempo infinitesimo è data da d(t) = Ω(t), Ω ij = ǫ ikj ω k (8.2.2) k=1 dove ǫ ikj è il tensore di Ricci, vedi (1.2.23). In forma vettoriale intrinseca si ha dr(t) = ω r (8.2.3) Infatti riscrivendo (t) = R(t) e derivando rispetto a t si ha d = d R = Ω, Ω = d R R (8.2.4) La matrice Ω è antisimmetrica; infatti da RR = I derivando rispetto a t segue che d R dr R + R = 0, = Ω + Ω = 0 (8.2.5) Una matrice antisimmetrica Ω dipende da tre parametri reali e si rappresenta nella forma 0 ω ω y ω Ω = 0 ω ω y ω 0 (8.2.6)

6 Rotaioni e moto relativo c La matrice Ω si riscrive mediante i generatori infinitesimi Ω, Ω y, Ω delle rotaioni attorno agli assi coordinati Ω = Ω ω + Ω y ω y + Ω ω, (8.2.7) ( d dove Ω k = R ) k R k ha come componenti (Ω k ) ij = ǫ ikj. La variaione infinitesima di un vettore è data da dr(t) = ω r; confrontando con (8.1.4), si riconosce che ω = dαn, se indichiamo con dα l angolo di rotaione infinitesimo. Il vettore velocità angolare ω = n dα (8.2.8) è diretto come l asse di rotaione. Per riscrivere (8.2.2) nella forma intrinseca (8.2.3) notiamo che dr(t) = d i (t) e i (t) = i,j,k=1 ǫ ikj e i (t)ω k j (t) = ω r (8.2.9) Formule di Poisson Se si prendono tre punti sugli assi coordinati del sistema rotante S a distana unitaria dall origine, cioè r = e k, la equaione (8.2.3) fornisce tre espressioni de k = ω e k (8.2.10) note come formule di Poisson. Le componenti di ω nel sistema rotante S sono date da ω i = j R ijω j. La matrice antisimmetrica Ω, le cui componenti sono ω i, è la trasformata della matrice Ω Ω = RΩ R = R d R (8.2.11) Infatti usando la convenione di somma sugli indici ripetuti se Ω ij = ε ikjω j = ε ikjr kl ω l dalla identità ε ikj R kl = ε mkn (R ms R is )(R nr R jr )R kl = ε slr R is R jr detr segue la (8.2.11) tenendo conto che detr = 1. Angoli di Eulero Siano θ, φ, ψ i tre angoli angoli di Eulero chiamati rispettivamente nutaione, longitudine della linea nodale e aimut. La definiione di θ, φ, ψ è evidente nella figura 8.2.1; la semiretta L, detta linea dei nodi, è l interseione dei piani y e y mentre L è la retta ottenuta ruotando L di π 2 attorno a nel piano y.

7 c Rotaioni infinitesime e angoli di Eulero 185 y θ L φ ψ L y φ L M y θ L y M L ψ L L Figura Angoli di Eulero. Il passaggio da y a y si effettua in tre tappe successive: con una rotaione di φ attorno a nel verso antiorario, vedi figura 8.2.1, si passa dagli assi (, y, ) a (L, M, ), con una rotaione di θ attorno a L si passa al sistema L, L, e con una rotaione di ψ attorno a si passa al sistema, y,. Introducendo il versore e L dell asse L definito da e L = e e e e i coseni degli angoli di Eulero sono sono espressi da (8.2.12) cos φ = e L e, cosψ = e L e, cos θ = e e (8.2.13) Le rotaioni formano un gruppo, e le matrici R di rotaione ne danno una rappresentaione dove la legge di composiione è il prodotto. La matrice R(φ, θ, ψ) relativa a una rotaione definita dai tre angoli di Eulero si esprime quindi come prodotto di rotaioni attorno agli assi coordinati R(φ, θ, ψ) = R (ψ)r (θ)r (φ) (8.2.14)

8 Rotaioni e moto relativo c Per la cinematica e la dinamica del corpo rigido occorre calcolare le componenti di ω su S, che sono elementi della matrice Ω : Ω = R d R = Ω ψ + R (ψ)ω R (ψ) θ + R (ψ)r (θ)ω R (θ) R (ψ) φ (8.2.15) La valutaione della espressione precedente fornisce 0 ω ω y ω = θ cos ψ + φ sinθ sinψ Ω ω = 0 ω ω y = θ sinψ + φ sinθ cosψ ω y ω 0 ω = ψ + φ cosθ (8.2.16) In modo analogo le componenti di ω in S si calcolano a partire da Ω = d R R. Alla espressione (8.2.16) per le componenti di ω nel sistema S si giunge anche osservando che ω si ottiene componendo tre rotaioni infinitesime attorno agli assi, L, cioè ω = φe + θe L + ψe. Riesprimendo e = cos θ e +sinθ e L si hanno le componenti di ω sugli assi L, L, che sono date da ( θ, φ sinθ, φcos θ+ ψ). Il passaggio agli assi, y, si effettua tramite una rotaione di ψ attorno all asse ossia e L = cos ψ e sinψ e y, e L = sinψ e + cos ψ e y e quindi la (8.2.16) si può riscrivere nella forma ω ω y ω = R (ψ) θ φ sinθ φ cos θ + ψ (8.2.17) 8.3. CINEMATICA RELATIVA Se un riferimento S ruota rispetto al riferimento fisso S le derivate temporali di un vettore rispetto ad S e S differiscono per un termine, che esprime il cambiamento tra le rispettive basi. Dalla relaione tra le derivate temporali si ottiene la trasformaione tra le velocità e le acceleraioni di un punto P rispetto ai due riferimenti. Derivate temporali Indichiamo con dr ( ) e dr le derivate temporali in S e S del vettore posiione r definite da: dr ( ) = d i dr e i = e d i i, (8.3.1)

9 c Cinematica relativa 187 dove la prima derivata è calcolata considerando e i costanti, la seconda considerando costanti e i. La relaione tra le due espressioni si ottiene derivando in S il vettore r scritto nella forma r = e i ove sia le coordinate sia i versori dipendono da t: dr = ( de i i + e i d ) i (8.3.2) e usando le formule di Poisson (8.2.9) si ottiene dr = Le derivate seconde di r nei due sistemi sono definite da ( ) dr + ω r (8.3.3) d 2 r 2 = e i d 2 i 2 ( d 2 ) r 2 = e i d 2 i 2, (8.3.4) Derivando la (8.3.3) nel sistema S otteniamo d 2 r 2 = d ( ) dr + ω dr + dω r (8.3.5) dove il primo termine sul lato destro si può riesprimere nella forma seguente d ( ) dr = ( d 2 ) r 2 + ω Utiliando la (8.3.3) la trasformaione tra le derivate seconde diventa d 2 r 2 = ( d 2 ) r 2 + 2ω ( ) dr (8.3.6) ( ) dr + ω (ω r) + dω r (8.3.7) Notiamo che il doppio prodotto vettoriale si riesprime nella forma ω (ω r) = ω 2 [ r ω ω ( r ω ω )] = ω 2 r (8.3.8) dove r è la componente di r ortogonale all asse di rotaione. Le equaioni (8.3.4) e (8.3.7) sono il punto di partena per la cinematica relativa.

10 Rotaioni e moto relativo c Trasformaione di velocità e acceleraione La trasformaione più generale tra due riferimenti S ed S consta di una rotaione e di una traslaione. Se S ed S hanno l origine in e rispettivamente, detti r ed r i vettori posiione di un punto P in S ed S, ed r 0 il vettore posiione di rispetto ad S, si ha r = r + r 0 (8.3.9) Il vettore r 0 determina la traslaione tra i due riferimenti. Perciò, a patto di introdurre un altro sistema S con l origine in e gli assi paralleli ad S, possiamo ripetere per il vettore r le consideraioni fatte in precedena sulle derivate temporali rispetto ad S (che sostituisce S di cui ha gli stessi versori) e ad S, vedi figura P * r r y r 0 y* y * Figura Moto tra riferimenti cartesiani. Si ha quindi dr ( dr ) = + ω r (8.3.10) e poiché v = dr ( e v = dr ) sono le velocità di P in S ed S e v 0 = dr 0 è la velocità di rispetto ad S, da (8.3.9) e (8.3.10) segue che v = v + v 0 + ω (r r 0 ) (8.3.11) Alla somma del secondo e tero termine in (6.3.10) si dà il nome di velocità di trascinamento v t e si scrive sinteticamente v = v + v t (6.3.12)

11 c Dinamica relativa 189 La velocità di trascinamento è quella che avrebbe il punto P se fosse rigidamente collegato al sistema S ; infatti, se P è fermo in S, v = 0 e v = v t. Per ottenere le formule di trasformaione per le acceleraioni deriviamo due volte r = r r 0 usando la formula (8.3.7) e posto a 0 = d 2 r 0 / 2 abbiamo a = a + 2ω v + a 0 + dω (r r 0) + ω [ω (r r 0 )] (8.3.13) Il secondo termine in (8.3.12) vien detto acceleraione di Coriolis a c, la somma dei tre termini restanti vien detta acceleraione di trascinamento a t e si scrive sinteticamente a = a + a c + a t (8.3.14) L acceleraione di trascinamento è quella che ha un punto P rigidamente collegato con S poiché se v = 0 si ha a = a t DINAMICA RELATIVA Se S è un sistema ineriale, la seconda legge della dinamica si scrive ma = F + F vinc (8.4.1) per un punto soggetto a una fora attiva F e a una reaione vincolare F vinc. Passando a un sistema S non ineriale le acceleraioni si trasformano secondo (8.3.13) e l equaione del moto diventa ma = F ma t ma c + F vinc (8.4.2) Ai termini ma t e ma c si danno i nomi di fore di trascinamento e di Coriolis. Se le condiioni iniiali sono date in S, come accade per il moto di un punto sulla superficie terrestre, è conveniente risolvere l equaione del moto nella forma (8.4.2). Altrimenti per usare la (8.4.1), si debbono prima trasformare le condiioni iniiali da S a S, risolvere l equaione del moto e trasformare di nuovo il risultato ottenuto in S. Nel formalismo lagrangiano il passaggio da S a S si effettua usando la formula di composiione delle velocità (6.3.11). La lagrangiana di un punto non vincolato si riesprime tramite la posiione r e velocità v nel sistema S L = m 2 v2 V (r) (8.4.3) L = m 2 (v + v 0 + ω r ) 2 V = L + d (v 0 r ) (8.4.4) Tralasciando l ultimo termine, che non contribuisce alle equaioni del moto essendo una derivata totale rispetto a t, vedi paragrafo 7.3, la lagrangiana si riesprime nella forma L = m 2 v 2 Vt V c V (8.4.5)

12 Rotaioni e moto relativo c dove V t = ma 0 r m 2 (ω r ) 2 V c = mv ω r (8.4.6) sono rispettivamente il poteniale della fora di trascinamento e il poteniale generaliato della fora di Coriolis. Per provare la (8.4.5) basta riscrivere il termine v 0 (v + ω r ), che viene dallo sviluppo dell energia cinetica in (8.4.3), nella forma seguente mv 0 [v + ω r ] = mv 0 (v v 0 ) = mv 0 d (r r 0) = = mv 0 dr = m d (v 0 r ) ma 0 r ; (8.4.7) notando che la derivata temporale di un prodotto scalare è la stessa in S e in S MTI IN UN SISTEMA RTANTE Come applicaione delle equaioni della dinamica relativa studiamo il moto di un punto soggetto ad un campo di fora costante F in un riferimento che ruota con velocità angolare ω. Scelto l asse = nella direione di ω, le equaioni del moto nel sistema rotante sono { mẍ = 2mωy + mω 2 + F mÿ = 2mω + mω 2 y (8.5.1) + F y Il moto nel piano, y e nel piano, y del sistema fisso si descrive più facilmente introducendo le coordinate complesse w = + iy e w = + iy. Infatti la rotaione del riferimento, y di un angolo ωt > 0 nel verso antiorario rispetto al riferimento, y espressa in coordinate reali da un matrice ortogonale diventa la moltiplicaione per un fattore di fase e iωt in coordinate complesse ( ) ( ) ( ) cos ωt sinωt y =, w = e iωt w (8.5.2) sinωt cosωt y Le equaioni del moto in coordinate complesse sono ẅ + 2iω w ω 2 w = f, f = F + if y m (8.5.3) Il polinomio caratteristico della equaione omogenea associata a (8.5.3) ha uno ero doppio iω e la soluione di (8.5.3) è quindi w = (c 1 + c 2 t)e iωt, vedi paragrafo 10.1 ed imposte le condiioni iniiali diventa w (t) = ( w (0) + [ w (0) + iωw (0)] t ) e iωt + f ω 2 e iωt( 1 + iωt e iωt) (8.5.4)

13 c Moti in un sistema rotante 191 Se f = 0 la soluione (8.5.4) esprime la trasformaione al sistema rotante di un moto rettilineo uniforme w(t) = w(0) + ẇ(0)t nel sistema fisso, dove w(0) = w (0) e ẇ(0) = w (0) +iωw (0) è la velocità iniiale; quest ultima segue del teorema di composiione delle velocità v(0) = v (0) + ω r(0) usando la notaione complessa. Per ω 1 la soluione al primo ordine in ω si scrive [ ] w = w (0)+( w (0) + iωw (0))t+f t2 2 + iωf t3 e iωt =w (0)+ w 6 (0)t(1 iωt)+f t2 2 ifωt3 3 (8.5.5) ove il contributo della fora f consta di due termini di cui il secondo dovuto alla sua rotaione rispetto al sistema fisso. Consideriamo ora un sistema il cui asse è parallelo all asse ed il cui piano y ruota con velocità angolare ω attorno all asse, vedi figura ωt y y Figura Riferimento che ruota attorno all asse con asse che dista R da questo. Se R è la distana tra gli assi e, le equaioni del moto sono le stesse del problema con assi, coincidenti, con l aggiunta della fora di trascinamento a τ dovuta al moto circolare uniforme dell origine. Scegliendo l asse y diretto come se la fora è dovuta alla attraione gravitaionale di una massa M posta nell origine le equaioni del moto se P R si scrivono { mẍ = 2mωy + mω 2 mÿ = 2mω + mω 2 y GmMR 2 + mω 2 R (8.5.6) Queste sono le equaioni di un grave che cade all equatore rispetto ad un riferimento con asse y verticale e diretto lungo un parallelo. Detta g = GMR 2 ω 2 R l acceleraione di gravità, le equaioni del moto (8.5.1) dove F = 0, F y = mg sono approssimate da

14 Rotaioni e moto relativo c ẍ = 2ωy, ÿ = 2ω g poiché ω 1. Se approssimiamo ulteriormente la seconda equaione con ÿ = g e scegliamo (0) = y (0) = 0 la soluione = (0) 1 3gω t3 e y = y (0) 1 2 gt2 coincide ancora con lo sviluppo al primo ordine in ω della soluione delle equaioni esatte (8.5.6), data da (8.5.5), ove si ponga f = ig. Se il grave è fermo iniialmente ad una altea h, il suo punto di caduta dista 2 3 hωt dalla verticale, dove t = (2h/g) 1/2 è il tempo di caduta. Nel tempo t lo spostamento del punto iniiale dovuto alla rotaione di un angolo ωt è hωt ; il fattore 2 3 è dovuto al fatto che durante il moto la quota y cambia da h a 0. Moti in un riferimento terrestre Sulla terra, schematiata da una sfera di centro e raggio R, si scelga, in un punto di latitudine θ e longitudine φ, un riferimento con l origine in, l asse normale alla superficie e gli assi y e tangenti agli archi di parallelo e di meridiano passanti per, vedi figura Il riferimento precedente, vedi figura 8.5.1, coincide con il il riferimento terrestre all equatore θ = 0, vedi figura 8.5.2, a patto di cambiare y, y, da cui segue R (ωt) R ( ωt). y π 2 θ y y Figura Riferimento solidale con la terra alla latitudine θ (lato sinistro) e all equatore (lato destro). Se P un punto soggetto ad una fora F e a vincoli solidali con la terra, posto r = P, r 0 =, e r, r 0 la loro componente normale all asse di rotaione, le equaioni del moto sono m dv = 2mω v + mω 2 r + mω 2 r 0 + F + F vinc (8.5.7) Usando l espressione n = sin θi + cosθk del vettore normale per calcolare r = (n r )n

15 c Moti in un sistema rotante 193 e ω = ω cos θi + ω sinθk le equaioni del moto complete sono mẍ = 2mω sinθ y + mω 2 ( sin 2 θ + sincos θ) + mω 2 R sinθ cosθ + F + F vinc mÿ = 2mω cos θ 2mω sinθ ẋ + F y + Fy vinc m = 2mω cosθ y + mω 2 ( sin θ cosθ + cos 2 θ) + mω 2 R cos 2 θ + F + F vinc (8.5.8) Se la sola fora agente è la gravità, ed il moto avviene in una regione limitata, approssimiamo P = R e trascuriamo, y rispetto a R. In questa approssimaione il punto è soggetto ad un campo uniforme, alla fora di Coriolis ed alla reaione del vincolo. Posto g = g i g k e ω = ω i + ω k dove g = ω 2 R sinθ cos θ, g = MGR 2 ω 2 R cos 2 θ e ω = ω cosθ, ω = ω sinθ le equaioni del moto di un punto vincolato su una sfera diventano ẍ = 2ω y + g + λ ÿ = 2ω 2ω ẋ + λy (8.5.9) = 2ω y g + λ dove λ è il moltiplicatore di Lagrange. Il vettore g, che stabilisce la verticale fisica, non coincide con la verticale geometrica dell asse ; conviene ruotare di un angolo α = arctan(g /g ) il riferimento in modo che il nuovo asse sia diretto come g. Nelle equaioni (8.5.8) scompare la componente della acceleraione di gravità e le componenti di ω sono ruotate tramite R (α). In assena di vincolo (λ = 0) il grave che cade da una altea h si si sposta lungo un parallelo di 2 3 hωt cosθ se t è il tempo di caduta e all equatore θ = 0 si ritrova il precedente risultato. Le oscillaioni vicino al punto di equilibrio = l si ottengono lineariando le equaioni. La tera equaione fornisce λ = g/l poiché + l è del secondo ordine in, y. Le equaioni che descrivono il moto sul piano tangente alla sfera nel punto di equilibrio sono {ẍ 2ω y + Ω 2 = 0 ÿ + 2ω ẋ + Ω 2 y = 0 Ω 2 = g l (8.5.10) e posto w = + iy la soluione della equaione caratteristica è iω ± i(ω 2 + Ω 2 ) 1/2 i(ω ± Ω) da cui segue w = e iω t (c 1 e iωt + c 2 e iωt ). Con condiioni iniiali (0) = A, y (0) = 0 e velocità iniiale nulla si trova che le costanti di integraione c 1 e c 2 sono date da c 1 = 1 2 A(1 + ω /Ω) e c 2 = 1 2 A(1 ω /Ω). La soluione ( ) w (t) = e iω t Acos Ωt + i ω Ω AsinΩt (8.5.11) rappresenta una ellisse schiacciata, con rapporto tra i semiassi è ω /Ω, che ruota con velocità angolare ω.