1 Preliminari sugli angoli

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1 26 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Preliminari sugli angoli (Questa seione e inserita per completea ma non e parte del programma del corso) Consideriamo in R 2 la circonferena S 1 di centro (, ) e raggio 1 data dall equaione = 1. Consideriamo l applicaione f : R S 1 data da ( ) f(θ) = vediamo che dato α R la restriione di f all intervallo [α, α + 2π[ e continua e biunivoca da [α, α + 2π[ in S 1 ma l applicaione inversa f 1 non e continua. Se infatti poniamo n = cos(α + 1 n ) sin(α + 1 n ) per n dispari e n = cos(α + 2π 1 n ) sin(α + 2π 1 n ) per n pari abbiamo che n converge a f(α) in S 1 ma f 1 ( n ) non converge in [α, α + 2π[. D altra parte per ogni α R la restriione di f all intervallo aperto ]α, α + 2π[ e una applicaione continua biunivoca con inversa continua da ]α, α + 2π[ ad S 1 \ f(α). Chiaramente essa e continua e biunivoca, resta la dimostrare la continuita di f 1 : S 1 \ f(α) ]α, α + 2π[. Sia n una successione di punti di S 1 \f(α) convergente ad un punto S 1 \f(α), sia n = f 1 ( n ) ]α, α + 2π[ ed = f 1 () ]α, α + 2π[. Dobbiamo provare che n converge ad. Supponiamo per assurdo che questo non sia il caso, esiste allora una sottosuccessione nk ed un ε reale positivo tale che nk > ε per ogni indice n k. Poiche l intervallo chiuso [α, α + 2π] e un sottoinsieme chiuso e limitato di R, esiste una sottosuccessione di nk che indicheremo con nh convergente ad un qualche punto v in [α, α + 2π]. Ne segue che v ε in particolare v non coincide con. Se fosse v = α, per la continuita di f dovremmo avere che f( nh ) converge ad f(v) = f(α). D altra parte sappiamo che f( nh ) = nh converge a e per ipotesi non coincide con f(α), percio v non coincide con α. Per lo stesso motivo non puo essere v = α + 2π, e percio α < v < α + 2π. Ancora dalla continuita di f, poiche nh converge a v deve essere f( nh ) convergente ad f(v). Ma d altra parte f( nh ) converge ad f(), e dato che la restriione di f all intervallo ]α, α + 2π[ e iniettiva concludiamo che = v, il che e in contrasto con quanto affermato sopra. Questo assurdo implica la continuita di f 1 su ]α, α + 2π[. 1

2 2 2 Coordinate polari 2.1 Coordinate polari nel piano Fissiamo un sistema di coordinate ortogonali in R 2 e fissiamo α R. Sia P R 2 un punto diverso dall origine, sia (P ) la distana di P dall origine e sia θ(p) l angolo formato dal dal segmento orientato OP e dalla semiretta delle positive, partendo dalla semiretta e procedendo in senso antiorario. Generalmente si sceglie α = ma puo capitare di aver bisogno di fare altre scelte di α. La coppia ((p), θ(p)) sono le coordinate polari del punto p. Vale < < +. Le regola di passaggio da coordinate cartesiani a coordinate polari e viceversa sono: = = = cos θ = Queste equaioni hanno senso poiche + = In conclusione le coordinate polari sono definite su R 2 \(, ) ma, scelto un numero reale α, il cambiamento di coordinate tra coordinate polari e coordinate cartesiane e continuo e con inversa continua nella regione R 2 \ {(λ cos(α), λ sin(α))} dove λ varia nell insieme dei numeri reali non negativi. In altri termini si toglie del piano una semiretta ( ) chiusa uscente dall origine. Per ricavare (in modo continuo) θ a partire da applichiamo l inversa della restriione di f all intervallo ]α, α + 2π[. 2.2 coordinate cilindriche nello spaio tridimensionale Dato un sistema di coordinate ortogonali in R 3 ed un punto p non appartenente all asse cioe alla retta = = si chiamano coordinate cilindriche di p le coordinate polari (, θ) della proieione ortogonale p di p sul piano = insieme alla coordinata di p. Fissato un numero reale α abbiamo che < < +, R. Le regola di passaggio da coordinate cartesiani a coordinate polari e viceversa sono: = = = = cos θ = = 2 = 2 2 = 2

3 Dispensa Geometria 3 Queste equaioni hanno senso poiche + = Le coordinate cilindriche sono definite su R 3 \ { = = } ma scelto un numero reale α il cambiamento di coordinate tra coordinate cilindriche e coordinate cartesiane e continuo e con inversa continua solo nella regione regioni R 3 \ {(λ cos(α), λ sin(α), µ)} dove λ varia nell insieme dei numeri reali non negativi e µ varia in R. In altri termini si toglie dallo spaio tridimensionale un semipiano ( chiuso ) contenente l asse delle. Per ricavare (in modo continuo) θ a partire da applichiamo l inversa della restriione di f all intervallo ]α, α + 2π[. 2.3 Coordinate polari nello spaio tridimensionale Sia dato un R 3 un sistema di coordinate ortogonali e sia S 2 la sfera di centro (, ) e raggio 1. La sfera S 2 ha equaione cartesiana = 1. Cerchiamo una descriione parametrica di S 2. L interseione di S 2 con il semipiano = e la semicirconferena di equaione = 1 =. Dato un punto P su questa semicirconferena sia ϕ l angolo formato dal segmento orientato OP e dalla semiretta delle positive misurato in senso antiorario. Quando P varia sulla semicirconferena l angolo ϕ varia tra π 2 e π 2. L angolo ϕ = π 2 corrisponde al polo nord di coordinate cartesiane mentre l angolo ϕ = π 2 corrisponde al polo sud di coordinate cartesiane Una equaione parametrica della semicirconferena e = cos(ϕ) = = sin(ϕ) 2 ϕ π 2 Fissato ϕ compreso tra e π consideriamo l interseione della sfera 2 2 S2 con il piano = sin ϕ, ottieniamo una circonferena contenuta nel piano = sin(ϕ) di centro sin(ϕ) 1 1. e di raggio cos(ϕ). Una equaione parametrica di tale circonferena e = cos(ϕ) = cos(ϕ) = sin(ϕ) Notiamo che se il punto P sulla sfera ha coordinate cartesiane = =, cioe se il punto si trova sull asse delle, il piano parallelo al piano = e passante per P

4 4 interseca la sfera nel solo punto P. In questo caso l angolo θ non e percio definito. In fine fissato un numero reale α l equaione parametrica della sfera, definita al di fuori dei poli nord e sud risulta essere = cos(ϕ) = cos(ϕ) = sin(ϕ) < ϕ < π 2 2 Sia ora P e un punto di R 3 di coordinate cartesiane che non si trova sull asse delle. Sia la distana di p dall origine, il punto P di coordinate cartesiane appartiene alla sfere S 2 e non coincide ne con il polo sud ne con il polo nord. Percio esistono opportuni angoli ϕ e θ tali che = cos(ϕ) = cos(ϕ) = sin(ϕ) da cui = cos(ϕ) = cos(ϕ) = sin(ϕ) < < +. La terna, θ, ϕ e la terna delle coordinate polari tridimensionali del punto P. Essendo la distana di P dall origine abbiamo = Sommando i quadrati delle due prime equaioni scritte sopra troviamo = 2 ( cos(ϕ) cos(ϕ) 2 2) = 2 cos 2 (ϕ).

5 Dispensa Geometria 5 Poiche e Inoltre sin(ϕ) = = deve essere cos(ϕ) > e percio cos(ϕ) = cos ϕ = Osserviamo che, poiche P non giace sull asse delle deve essere >, d altra parte = = cos ϕ e = =, riassumendo per cos ϕ 2 +2 P che non giace sull asse delle valgono le equaioni = cos ϕ = sin ϕ = cos θ = Queste equaioni hanno senso poiche + = e ( ) ( ) 2 + = Le coordinate polari tridimensionali sono definite su R 3 \ { = = } ma fissato α numero reale, il cambiamento di coordinate tra coordinate polari e coordinate cartesiane e continuo e con inversa continua solo nella regione del tipo R 3 \ {(λ cos(α), λ sin(α), µ)} dove λ varia nell insieme dei numeri reali non negativi e µ varia in R. In altri termini si toglie dallo spaio tridimensionale un semipiano ( chiuso) contenente l asse delle. Per ricavare (in modo continuo) ϕ a partire da cos(ϕ) applichiamo l inversa della restriione di f all intervallo ] π, π[, poiche sin(ϕ) risulta > sara anche cos(ϕ) > e percio < ϕ < π. Per ricavare ( ) 2 2 invece (in modo continuo) θ a partire da applichiamo l inversa della restriione di f all intervallo ]α, α + 2π[.