FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE

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1 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE La funzione di trasferimento de codice convouzionae fornisce tutte e informazioni riguardo i pesi dei cammini che si dipartono da S 0 e riconfuiscono in esso. Tae funzione di trasferimento si può cacoare a partire da suo diagramma degi stati: scindendo o stato S 0 in due (stati Si 0 e Sf 0 ) riportando, su ogni ramo, a coppia D j B i dove: i è i peso di Hamming dei b bit che è necessario introdurre a ingresso de codificatore per percorrere i ramo in questione; j è i peso di Hamming dea corrispondente n-upa in uscita da codificatore.

2 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE La funzione di trasferimento de codice T(D,B) è quindi definita da: ( D, B) T = S S 0 f 0 i

3 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE Esempio di diagramma degi stati: D2B D B S i 0 :00 S 2 :0 S :0 S f 0 :00 D2 DB D S 3 : DB

4 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE Utiizzando i grafo di figura, possiamo scrivere: S S S S 0 f 2 3 = D = DS = D 2 2 S 2 = DBS 0 i 3 BS + DS BS DBS 2

5 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE Dopo a risouzione di questo sistema di quattro equazioni, a funzione di trasferimento de codice è data da: T ( D, B) = Sviuppandoa in serie si ottiene: 5 D B 2DB T ( ) D, B = k = 0 2 k D k + 5 B k +

6 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE T ( ) D, B = k = 0 2 k D k + 5 B k + Lo sviuppo in serie indica che esistono 2 k percorsi di peso (di Hamming) (k+5) e che questi corrispondono rispettivamente a a dee sequenze d ingresso di peso (k+). L esponente dea variabie D ne primo termine deo sviuppo (k=0) permette di determinare a distanza ibera d free (free distance) de codice (ne esempio d free =5).

7 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE La distanza ibera de codice è uguae aa più piccoa distanza di Hamming che esiste tra due percorsi che divergono per poi nuovamente convergere. Essendo i codici convouzionai ineari, a distanza ibera e anche uguae a minimo peso dei percorsi che divergono per poi nuovamente convergere a cammino nuo. La distanza ibera gioca un ruoo determinante nea vautazione dee prestazioni asintotiche (per grandi rapporti segnae-rumore) di un codice convouzionae.

8 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Iniziamo con i caso di decodifica hard. Ipotizziamo di usare una moduazione binaria antipodae. Di conseguenza i canae discreto equivaente è un BSC con probabiità d errore p. Indichiamo con y a sequenza di n cifre binarie fornite a decodificatore da demoduatore tra i tempi discreti (profondità) e (+). Indichiamo con x a n-upa di cifre de cammino r-esimo ne traiccio de codice tra gi stati S e S +.

9 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI I decodificatore ottimo deve scegiere i cammino r de traiccio per i quae a probabiità condizionata P(y x ) sia massima. Possiamo atresì considerare i ogaritmo di tae probabiità. Pertanto, i codificatore a massima verosimigianza deve trovare i cammino per i quae U N = N n r r = ( ) ( ) ( r max ) ( ) = max ( r S U S P y x ) N 0

10 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Si può anche scrivere: max n r N = 0 ( ( )) N r ( ( r) ) P y x = max n P y x r = 0 N indica a unghezza de cammino ne traiccio o, equivaentemente, Nn è a unghezza dea sequenza binaria ricevuta. La massimizzazione di cui sopra è già formuata in termini adatti a appicazione de agoritmo di Viterbi.

11 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI La metrica per ogni ramo de traiccio de codice è definita come: V ( ) y x ( r ) ( ) ( r) S, S = n P e pertanto: U = max N N, r = 0 ( ) ( r S V ) ( S S )

12 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Se indichiamo con ( r d ) a distanza di Hamming fra a sequenza y e a sequenza ( r x ), e utiizziamo a seguente equazione: possiamo scrivere: ( r ) ( ) ( r) ( ( )) r r d P y x = p p ( ) ( r ) ( ) con αe β costanti positive (se p<0.5). n d ( ) p + ( ) ( r d n nn p d ) V S, S = p = α β

13 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Utiizzando e due equazioni precedenti e traasciando e costanti non essenziai, i probema si riduce aa ricerca de minimo di U = min N r = 0 ( ) ( r S ) N d Questa equazione afferma che a decodifica a massima verosimigianza richiede a minimizzazione dea distanza di Hamming fra a sequenza ricevuta e i cammino sceto ne traiccio de codice. La sua forma è tae che a minimizzazione può essere fatta con agoritmo di Viterbi, essendo a metrica di ogni ramo a distanza di Hamming fra sequenze binarie.

14 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Un importante caratteristica de agoritmo di Viterbi è che a decodifica a decisione soft, a contrario dei codici a bocco, richiede una banae modifica de agoritmo. Infatti, è sufficiente rimpiazzare a metrica di Hamming con a metrica di Eucide e tutte e atre operazioni di decodifica rimangono inaterate. Pertanto, a compessità reaizzativa per a decodifica a decisione soft non è significativamente diversa da quea per a decodifica a decisione hard.

15 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Deriviamo un espressione per a metrica di ramo ne caso di decisioni soft non quantizzate. Se { y } n j è insieme dee uscite de demoduatore j= ricevute ne caso di moduazione binaria antipodae e ramo -esimo, abbiamo per espressione: y ( r x ) è una cifra binaria e è una variabie casuae j ν j gaussiana con media nua e varianza / 2. y j ( ( r) ) = E 2 + ν j j x j N 0

16 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Pertanto otteniamo: ( ( )) n r = ( r P y x P y x ) = j= n ( ) j πn j [ ( ( r) )] y j E 2x j exp N j= 0 0 2

17 IL DECODIFICATORE A MASSIMA VEROSIMIGLIANZA PER I CODICI CONVOLUZIONALI Inserendo tae equazione nea: V ( ) y x ( r ) ( ) ( r) S, S = n P e trascurando tutti i termini comuni a tutte e metriche di ramo, otteniamo V ( ) ( r ) ( ) ( r S, S ) y 2x = n j j j= Questa è a metrica di ramo da usare ne decodificatore di Viterbi con decisione soft.

18 PRESTAZIONI DEI CODICI CONVOLUZIONALI I codici convouzionai sono ineari. La probabiità d errore P eb sui simboi binari non dipende daa sequenza emessa da codificatore. Per cacoare a probabiità d errore si considera che a sequenza emessa da codificatore sia costituita da simboi binari tutti nui.

19 PRESTAZIONI DEI CODICI CONVOLUZIONALI La sequenza di simboi binari tutti nui corrisponde a percorso nuo che congiunge gi stati S 0 ne traiccio di figura. Percorso nuo (di riferimento) Percorso errato

20 PRESTAZIONI DEI CODICI CONVOLUZIONALI Per i codici convouzionai, a probabiità d errore P eb si vauta determinando a probabiità che un percorso diverso da percorso nuo sia i percorso superstite a nodo S 0 per a prima vota. Tae evento è denominato primo evento d errore. Un primo evento d errore si determina se esiste ameno un percorso a distanza d da percorso nuo a cui metrica cumuata sia superiore a quea de percorso nuo. Sia P 2 (d) a probabiità di questo evento.

21 PRESTAZIONI DEI CODICI CONVOLUZIONALI Si prendono in considerazione tutti i percorsi che convergono a percorso nuo a nodo S 0, e cui rispettive metriche siano superiori a quea de percorso nuo. Così si determina a probabiità P E di un primo evento d errore.

22 PRESTAZIONI DEI CODICI CONVOLUZIONALI Poiché i potenziai percorsi superstiti possono possedere dei rami in comune, a probabiità di un primo evento d errore è uguae aa somma di eventi non disgiunti. Poiché d d free, possiamo quindi imitare superiormente tae probabiità con a seguente espressione: P E d = dfree n(d)p 2 ( d )

23 PROBABILITÀ D ERRORE SULLA PAROLA D INFORMAZIONE: PE La probabiità P E è unione di tutti gi eventi di errore dati dai percorsi che convergono a percorso nuo a nodo S 0, e cui rispettive metriche siano superiori a quea de percorso nuo. P E d = dfree n(d)p 2 ( d )

24 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ASSOCIATA A UN CODICE CONVOLUZIONALE La quantità n(d), che compare ne espressione dea probabiità P E può essere ora cacoata a partire daa funzione di trasferimento de codice T(D, B=). Lo sviuppo in serie dee funzione, infatti, permette di scrivere: T ( D, B) n(d) D d B= = d = dfree

25 PRESTAZIONI DEI CODICI CONVOLUZIONALI In P E d = dfree n(d)p 2 ( d ) n(d) è i numero dei percorsi a distanza d da percorso nuo che divergono da esso e poi convergono nuovamente ad esso. I vaore di P 2 (d), nota come pairwise error probabiity, dipende da metodo di decodifica (hard o soft) utiizzato.

26 PROBABILITÀ D ERRORE SULLA PAROLA D INFORMAZIONE: PE Per una decodifica di tipo soft e uno schema di moduazione a segnai antipodai (PSK binaria) si ha: P2 ( d ) = erfc 2 dre N 0 b erfc( ): è a funzione compementare d errore E b : è energia media ricevuta per simboo binario (bit) d informazione trasmesso N 0 : è a densità spettrae di potenza monoaterae de rumore R: è i tasso de codice

27 PROBABILITÀ D ERRORE SULLA PAROLA D INFORMAZIONE: PE Quindi: P E 2 d n = dfree ( d )erfc dre N 0 b Utiizzando un noto imite superiore aa funzione erfc( ) si ha: dre erfc b Rd E e b N 0 2 N 0 2

28 PROBABILITÀ D ERRORE SULLA PAROLA D INFORMAZIONE: PE Quindi: P E dre b n( d ) e N 0 2 d = dfree

29 PROBABILITÀ D ERRORE SULLA PAROLA D INFORMAZIONE: PE Ricordando che: Si ha: P E T ( ) d D, B n(d) D 2 T B= = d = dfree ( D, B) N0 B=, D= e R E b

30 PROBABILITÀ D ERRORE SULLA PAROLA D INFORMAZIONE: PE Per una decodifica di tipo hard si ha: P 2 ( d ) [ 4 p( p) ] d < dove si suppone che a paroa di codice sia trasmessa su un canae simmetrico binario (BSC) con probabiità di transizione p. Si ottiene quindi: P E T 2 ( D, B) B=, D= 4 p( p)

31 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb La probabiità P eb è uguae a numero medio di bit d informazione decodificati errati quando i percorso superstite a nodo S 0 non è i percorso nuo. Ogni quavota un percorso a distanza d da queo nuo viene sceto come superstite, i numero di bit d informazione decodificati errati è uguae a peso di Hamming dea sequenza binaria che è necessario introdurre a ingresso de codificatore per percorrere questo percorso errato.

32 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb n(d, i): numero di percorsi a distanza d da percorso nuo corrispondente a una sequenza binaria in ingresso di peso i R=b/n: tasso de codice P eb b i= d in(d = dfree, i)p 2 ( d )

33 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb P eb con b w( d ) = w( d d = dfree i= in ) P 2 ( d ( d, i) ) I coefficienti w(d) possono essere vautati utiizzando a funzione di trasferimento T(D, B) de codice.

34 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb T ( D, B) = n(d i= d = dfree, i)d d B i L insieme dei coefficienti n(d) e w(d) è detto spettro de codice. I coefficienti w(d) sono ottenuti sviuppando in serie a derivata dea funzione di trasferimento per B=.

35 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb Per cacoare e prestazioni di un codice convouzionae è necessario disporre dei coefficienti w(d) e dea probabiità P 2 (d). Per una decodifica di tipo soft e uno schema di moduazione a segnai antipodai (PSK binaria) si ha: P2 ( d ) = erfc 2 dre N 0 b

36 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb Quindi: P eb 2b w d = dfree ( d )erfc dre N Utiizzando un noto imite superiore aa funzione erfc( ) si ha: dre erfc b Rd E e b N 0 2 N b

37 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb Ora, ricordiamo che: T ( D, B) = n(d i= d = dfree, i)d d B i Derivando T(D, B) rispetto a B e ponendo B=, si ottiene: T ( D, B) B B= = in(d, i= d = dfree i) D d

38 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb Ora, ricordando che: w( d ) = i= in ( d, i) si ottiene: T ( D, B) B B= = d w = dfree ( d ) D d

39 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb Quindi, notando che: si ottiene: P eb dre b w( d ) e N 0 b d = dfree 2 P eb 2b T ( D, B) B B=, D= e R E b N0

40 PROBABILITÀ D ERRORE SUL SIMBOLO BINARIO (BIT) D INFORMAZIONE: Peb Per una decodifica di tipo hard si ha: P 2 ( d ) [ 4 p( p) ] d < dove si suppone che a paroa di codice sia trasmessa su un canae simmetrico binario (BSC) con probabiità di transizione p. Si ottiene quindi: P eb 2b T ( D, B) B=, D= 4 p B ( p)