Comunicazioni Elettriche II

Transcript

1 Comunicazioni Elettriche II Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica Università di Roma La Sapienza A.A

2 Codifica di canale

3 Il codificatore di canale Bits della sorgente Codificatore di canale Bits codificati Formatore di impulsi codifica di linea simboli B k C k A k Filtro di TX canale Il codificatore di canale è progettato allo scopo di Rivelare gli errori e consentire eventualmente la ritrasmissione Correggere gli errori grazie all introduzione di ridondanza Prevenire gli errori combinando rivelazione e decodifica con un operazione di decodifica detta decodifica soft

4 Decodifica Dal canale Ricevitore front-end campioni Decisore a soglie Simboli stimati B k Q k A k Decodificatore di linea Bit codificati stimati Decodificatore di canale Ĉ k Bit decodific ati stimati B^k Decodifica hard Dal canale Ricevitore front-end campioni Q k Decodifica tore soft Bits stimati B^k Decodifica soft

5 Codici a correzione di errore Codici a blocchi: blocchi di k bit sono convertiti in blocchi di n bit, con n>k, in modo da introdurre ridondanza Il rapporto k/n é detto rate del codice Il rate del codice rappresenta la frazione di bit dedicati ai bits di informazione Codici convoluzionali: anche in questo caso aumenta il rate ma i bit di sorgente non sono divisi in blocchi

6 Analisi delle prestazioni L analisi delle prestazioni consiste nel confronto tra sistema non codificato e sistema codificato Si confrontano i SNR al ricevitore necessari a ottenere la probabilità di errore fissata dalle specifiche Il sistema codificato può tollerare un SNR più basso! Guadagno di codice G! SNR cod db SNR uncod db = G

7 Guadagno di codice Canale AWGN Attenzione: aumentando il rate con la codifica di canale, mantenendo la stessa codifica di linea, aumenta la banda e quindi aumenta il rumore al ricevitore Il guadagno di codice deve compensare quindi anche l aumento di potenza di rumore al ricevitore

8 Guadagno di codice Rumore di tipo jamming In questo caso il segnale di disturbo gaussiano ha banda limitata a quella del segnale utile e aumentare la banda non provoca l aumento della potenza di rumore Il guadagno di codice è sfruttato completamente dato che non deve anche in parte compensare la riduzione di SNR dovuta all aumento di potenza di rumore Tanto accade per esempio nella tecnica spread spectrum alla base del CDMA (Code Division Multiple Access)

9 Codifica a blocchi Un codice a blocchi (n,k) associa blocchi di k bit di sorgente con blocchi di n bit codificati C (1) Bit di sorgente B k Registro a scorrimento Convertitore serie-parallelo B (1) B (2) B (3) B (4) Codificatore a blocchi C (7) Registro a scorrimento Convertitore parallelo-serie Bit codificati C k al codi ficat ore di linea Il codificatore a blocchi è formato da sommatori modulo 2

10 Esempio: codice a controllo di parità con 1 bit Controllo di parità: il numero di 1 deve essere pari Nella parola codificata i primi k bit coincidono con quelli di sorgente Nella parola di codice si inserisce un bit extra per garantire un numero di 1 che sia pari C (1) = B (1),,C (k) = B (k)! C (n) = C (k+1) = B (1) B (2) B (k)

11 Codici a controllo di parità In generale in un codice a controllo di parità le parole di codice sono somme mod2 di sottoinsiemi di bit della sorgente Rappresentando tutti i bit di sorgente in un vettore b e tutti i bit codificati in un vettore c si può scrivere!c = bg dove tutte le somme sono mod2 G è la matrice di generazione del codice Nei codici a controllo di parità la forma di G è con I k matrice identità! G = I P k Codici con matrici G di questo tipo sono detti sistematici

12 Il codice di Hamming (7,4) Esempio il codice di Hamming (7,4) G =!

13 Definizioni e proprietà Dato b, c=bg è detta parola di codice L insieme di tutte le parole di codice è detto codice Ogni parola di codice può essere ottenuta come somma mod2 di righe della matrice di generazione Quindi la somma mod2 di due parole di codice è una parola di codice I codici a controllo di parità formano insiemi chiusi rispetto all operazione di somma mod2 Si può mostrare che tutti i codici a controllo di parità sono codici lineari e che tutti i codici lineari sono codici a controllo di parità con una qualche matrice di generazione G Inoltre tutti i codici lineari sono equivalenti ai codici sistematici, dopo opportuno riordino di G

14 Distanza e peso di Hamming Distanza di Hamming La distanza di Hamming è il numero di componenti diverse tra due stringhe La distanza di Hamming è quindi il numero di variazioni da effettuare per convertire una stringa in un altra Peso di Hamming Il peso di Hamming è la distanza di Hamming dalla stringa composta da soli 0 Per i codici lineari la minima distanza di Hamming è il minimo peso di Hamming tra tutte le parole non nulle d H,min = minw c C H (c) c 0!

15 Decodifica soft vs. hard Nel caso di decodifica soft il decodificatore sceglie la parola di codice più vicina in termini di distanza Euclidea misurata in simboli Nel caso di decodifica hard il decodificatore sceglie la parola di codice più vicina in termini di distanza di Hamming misurata in bit Si consideri una codifica di linea su due livelli +a e -a Si ha quindi! d E = 2a d H Nel caso dell esempio di codice a controllo di parità con 1 bit si ha! d H,min = 2 d E,min = 2a 2

16 Prestazioni della decodifica Soft Canale tempo-discreto con rumore additivo gaussiano C è una parola di codice trasmessa come vettore a con componenti antipodali I campioni di rumore hanno varianza σ c (il pedice c indica codificato ) I campioni ricevuti Q k sono posti in un vettore q q = a + n Il ricevitore a massima verosimiglianza seleziona un vettore â in Ω a tale che la distanza euclidea tra â e q sia minima Detta d E,min la distanza euclidea minima tra il vettore trasmesso a e tutti gli altri vettori in Ω Pe bloccobit Q d a si ha E,min 2σ! c Q X = 1 2 erfc X 2 Se ci sono poche parole di codice a distanza d E,min allora la probabilità di errore è vicina a questo limite

17 Prestazioni della decodifica Soft Un limite superiore corrisponde al caso in cui tutte le parole di codice sono a distanza d E,min Pe bloccobit ( 2 k 1)Q d E,min 2σ! c Nell esempio del controllo di parità con 1 bit si ha Q a 2 σ! c Pe bloccobit ( 2 k 1)Q a 2 σ c Q X = 1 2 erfc X 2

18 Guadagno di codice Nel caso non codificato non ci si riferisce al simbolo ma alla P e sul bit Caso della trasmissione antipodale +a e a P b (uncoded)= Q a σ u σ! u : varianza rumore gaussiano all'ingresso del decisore a soglie Attenzione: σ c e σ c potrebbero essere diversi a seconda del mezzo, della tecnica di modulazione, del bit rate

19 Guadagno di codice Per il sistema codificato ogni blocco produce k bit, alcuni dei quali sono eventualmente corrotti. Un errore sul simbolo produce almeno un errore sul bit! P b (decodificasoft) 1 k Pe bloccobit (decodificasoft)..ma un errore di simbolo non può produrre + di k errori di bit! P b (decodificasoft) Pe bloccobit (decodificasoft)

20 Esempio Codice a controllo di parità con 1 bit Si può ottenere una stima della probabilità di errore sul bit uguagliando gli argomenti di Q(.) e ignorando le costanti a c 2 σ c = a u σ u E quindi SNR u = 2SNR c Il guadagno di codice è quindi d 3 db

21 Guadagno di codice Nel caso in cui il rumore è indipendente dalla banda del segnale utile, il guadagno rappresenta bene la differenza tra sistema codificato e non codificato Attenzione alla larghezza di banda! Il sistema codificato ha una velocità di simbolo pari a n/(n-1) σ c 2 = n 2 n 1 σ u Quindi se n=3 la potenza richiesta per il sistema codificato è 1.25 db più piccola che per il sistema non codificato Il guadagno di codice è di 3 db ma 1.75 db sono persi a causa della presenza di rumore

22 Prestazioni per i decodificatori Hard La decisione avviene dopo il decisore a soglie a=0 1-p a=1 y=1 p(y/a)=1-p p p y=0 Un decisore a massima verosimiglianza selezione la parola di codice ĉ più vicina a c* in termini di distanza di Hamming

23 Esempio: il codice di Hamming (7,4) c= c*= ĉ= È la parola + vicina a c* in termini di distanza di Hamming da tutte le parole diverse da 0 Ma qual è la capacità di correzione di questo codice?

24 Capacità di correzione Quanti errori possono essere rivelati da un decodificatore a massima verosimiglianza? t = ( d H,min 1) / 2 Per esempio per il codice a controllo di parità con 1 bit t=0 Mentre per il codice di Hamming (7,4) t=1 Certezza di correggere fino a t errori di bit, benché sia possibile correggere alcune configurazioni di errore con più di t bit, a meno che il codice non sia un codice perfetto

25 Il codice perfetto Un codice perfetto é tale che Tutte le combinazioni di n bit sono entro la distanza di Hamming t da una parola di codice Nessuna combinazione di n bit è a distanza inferiore o uguale a t da + di 1 parola di codice Il codice di Hamming (7,4) è un codice perfetto I 7 bit sono in una combinazione tale che corrisponde a una parola di codice oppure è a distanza 1 bit da 1 parola di codice Quindi se si trasmette c e vi sono 2 errori di bit allora c* è a distanza 1 da un codice ĉ c e quindi si ha errore Utilizzando un codice perfetto su un BSC si minimizza la probabilità di errore rispetto a tutti gli altri codici con stessi n e k

26 Il codice perfetto Nel caso di codice perfetto è possibile determinare facilmente le prestazioni di un decodificatore a massima verosimiglianza In particolare la probabilità di avere m errori di bit in un blocco di n bit è la distribuzione binomiale P(m,n) =! n m pm (1 p) n m = n! m!(n m)! pm (1 p) n m Nel caso di codici perfetti si ha errore di decodifica di simbolo se più di t bit sono errati n t Pe bloccobit = P(m,n)= 1 P(m,n)! m=t+1 m=0

27 Esempio Il codice di Hamming (7,4) è un codice perfetto! Pe bloccobit = 1 (1 p)7 7p(1 p) 6 Per p=10-2 la probabilità di errore sul simbolo è circa Sembrerebbe quindi che con il codice la probabilità di errore si sia ridotta di un fattore 5 Tuttavia il sistema codificato richiede una banda 7/4 volte più grande del sistema non codificato e una valutazione più accurata mostra che il guadagno ottenuto è molto piccolo

28 Per codici non perfetti Nel caso di codici non perfetti alcuni casi con più di t bit sono errati potranno essere corretti Pe bloccobit! n m=t+1 P(m,n) In pratica per molti codici detti quasi perfetti è possibile correggere alcuni casi di t+1 errori ma nessun caso di più di t+2 errori e si ha Pe bloccobit! n m=t+2 P(m,n)