Informazione binaria: Codici per la rilevazione e correzione di errori

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1 Informazione binaria: Codici per la rilevazione e correzione di errori Ingegneria Meccanica e dei Materiali Università degli Studi di Brescia Prof Massimiliano Giacomin

2 Tipologie di codici Per la rappresentazione di: caratteri alfabetici e testi valori logici numeri naturali numeri interi relativi [val assoluto e segno, complemento a due] numeri reali [virgola fissa e virgola mobile] suoni, immagini e sequenze video Codici per la rilevazione e correzione di errori Codici di compressione (senza con perdita) Informatica e Programmazione Università di Brescia 2

3 UN ESEMPIO: MEMORIZZAZIONE DI INFORMAZIONI Informazioni da memorizzare (ad esempio: in un CD) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 3

4 UN ESEMPIO: MEMORIZZAZIONE DI INFORMAZIONI Informazioni da memorizzare (ad esempio: in un CD) ??? Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 4

5 UN ALTRO ESEMPIO: TRASMISSIONE DI INFORMAZIONE ??? Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 5

6 IL PROBLEMA Errore: modifica di un bit (0 diventa 1 oppure 1 diventa 0) Posso avere uno o più errori LA SOLUZIONE Su una sequenza di bit, usare dei codici particolari che permettono: Di rivelare la presenza di errori: CODICI RILEVATORI Di correggere gli errori, ricostruendo la sequenza originaria: CODICI CORRETTORI Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 6

7 COME? O 1 O codominio O 2 11 dominio O 4 01 insieme delle codifiche 4 oggetti, 2 bit: il codice è non ridondante Impossibile rilevare né correggere errori Per rilevare o correggere errori dobbiamo introdurre della ridondanza Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 7

8 Codice ridondante: l insieme delle codifiche è un sottoinsieme proprio del codominio l insieme delle non codifiche è non nullo dominio O 3 O 4 O 1 O insieme delle codifiche insieme delle non codifiche codominio Per esempio: se codifico O 1 e ho un errore sul primo bit ottengo 100 rivelazione dell errore Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 8

9 IL CONCETTO DI DISTANZA errori Distanza tra due sequenze: numero di posizioni con bit diversi IDEA DI BASE DEI CODICI RIVELATORI (E CORRETTORI) Usare codifiche distanziate tra loro, in modo che partendo da una codifica non si arrivi mai ad un altra codifica (assumendo che il numero di errori non superi un MAX e) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 9

10 QUANTO? Voglio un codice che, per qualunque codifica sia in grado di rilevare/correggere fino ad e errori comunque siano distribuiti Esempio: un semplice codice per due entità, 5 bit Atalanta Brescia Distanza tre le codifiche: 5 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 10

11 Rilevazione: l idea di base (1) d = Fino a 4 errori Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 11

12 Rilevazione: l idea di base (2) d = 5 e Fino a e=4 errori Per poter rivelare fino ad e errori: d e+1 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 12

13 Correzione: l idea di base (1) d = Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 13

14 Correzione: l idea di base (2) e=2 d = 5 2e+1 e 1 e e+1 Per poter correggere e errori: d 2e+1 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 14

15 QUANTO IN GENERALE? Distanza di un codice: minimo valore delle distanze tra ogni coppia di codifiche Rilevazione e correzione di errori Per rilevare fino ad e errori, un codice deve avere distanza d: d e+1 Per correggere fino ad e errori, un codice deve avere distanza d: d 2e+1 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 15

16 ESERCIZIO Per codificare i tre simboli D, F, I si utilizza il seguente codice a 5 bit: D à F à I à Errori di trasmissione possono dar luogo alla modifica di uno o più bit a) Quanti errori è in grado di rilevare il codice in generale? b) E quanti errori è in grado di correggere? Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 16

17 Soluzione: d 12 = 3 d 23 = 4 d 13 = 3 la distanza del codice è pari a 3 a) Errori rilevati: d e+1 quindi e max = 2 (possono essere rilevati 2 errori) b) Errori corretti: d 2e+1 quindi e max = (3-1)/2=1 (può essere corretto 1 errore) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 17

18 ESERCIZIO Si consideri il codice a 3 valori originari 1 à à à a) Trovare quanti errori può correggere e rilevare in generale b) Si supponga di ricevere la sequenza Assumendo che possano essere stati compiuti al più 2 errori, è possibile decodificare correttamente la sequenza? Come si giustifica la risposta in relazione al risultato trovato nel punto a)? Soluzione a) Risulta: d 12 = 1 d 23 = 5 d 13 = 6 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 18

19 quindi la distanza del codice è 1 il codice non può (in generale) rivelare né tantomeno correggere alcun errore [e rivelati: d e+1, quindi con e=1 serve d 2] b) Ricevo , mentre avevo: 1 à dist 1 = à dist 2 = à dist 3 = In questo caso posso decodificare con il valore 3 Se sono stati commessi al più due errori, sono sicuro che la decodifica è corretta, perché: dist 1 = 4 > 2 [ non può essere modificato in ] dist 2 = 3 > 2 [ non può essere modificato in ] Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 19

20 NB: Come mai posso correggere due errori anche se (cfr punto a) il codice ha distanza 1? La distanza del codice si riferisce al caso peggiore (distanza minima) le relative formule garantiscono le proprietà del codice di rilevazione e correzione di errori in ogni caso, ovvero per qualunque simbolo rappresentato e per qualunque posizione degli errori Per esempio, nel caso venga trasmesso 1 (codificato con ), è sufficiente un errore sull ultimo bit per ottenere , che è pari alla codifica di 2: in tal caso l errore non verrebbe neppure rivelato! Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 20

21 APPLICAZIONE DI CODICI DI RILEVAZIONE/CORREZIONE SU ALTRI CODICI Codice per rappresentazione Codice per rivelazione/ correzione Dominio Codifiche Codifiche Informatica e Programmazione Università di Brescia 21

22 Esempio di codice rilevatore: il codice di parità Dato un codice: si aggiunge un bit in modo che il numero di uni sia pari [o dispari] Esempio Codice ASCII a 7 bit Bit di parità d = 2 può rilevare un errore, correggerne nessuno Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 22