Codici. Introduzione. Sia A un insieme finito di simboli e C=A n l insieme di tutte le parole composte da n simboli di A

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Adamo Valentino
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1 Codici Introduzione Sia A un insieme finito di simboli e C=A n l insieme di tutte le parole composte da n simboli di A Esempio A={0,1}, C=A 2 ={00,01,10,11} Sia C un insieme finito di N oggetti avente cardinalità C =N Esempio C ={quadri,picche,cuori,fiori}, C =4

2 Introduzione Codifica/Decodifica Si chiama Codifica, l operazione che associa ad un elemento di C una parola di C (f: C C) Esempio quadri 00, picche 01, cuori 10, fiori 11 Si chiama Decodifica l operazione inversa che, a partire da una parola di C, individua l elemento C cui essa è associata (g:c C ) Esempio 00 quadri, 01 picche, 10 cuori, 11 fiori Classificazione dei codici Un codice si dice non ambiguo se ogni elemento di C corrisponde ad una e solo una parola di C ed elementi diversi di C sono associati a parole diverse Se C è composto da parole formate da n bit, allora, C =2 n Il valore minimo di n, sia esso m, tale che il codice sia non ambiguo è tale che 2 m N e 2 m-1 < N, ossia m=intsup(log 2 N) Se I è un intero ed F un valore frazionario, intsup(i+f)=i se F=0, I+1 altrimenti Se n=m il codice si dice irridontante Se n>m il codice è detto ridontante Se n<m il codice è detto ambiguo (non ha importanza pratica)

3 Esempio codici ridondanti vs non ridondanti Sia C =[ A, B, C, D] Consideriamo due codici binari a parola di lunghezza fissa 2 e 3 in entrambi i casi il codice è non ambiguo. Codice 1 Codice 2 A => B => C => D => > 4 => Codice ridondante 4 = 4 => Codice irridondante Se le rimanenti rappresentazioni 011, 001, 110, 101 non appartengono al codice Si parla di rappresentazioni non legali Codice BCD (Binary Coded Decimal) Binario Decimale BCD decimale BCD Binario

4 Codice ASCII Codifica ASCII (American Standard Code for Information Interchange), 7 bit 4 gruppi: Controllo (0-31) Punteggiatura e cifre (32-63) Caratteri alfanumerici maiuscoli (64-95) Caratteri alfanumerici minuscoli (96-127) ASCII ( a )-ASCII( A )=32 Altri codici EBCIDC (Extended Binary-Coded Decimal Interchange Code) estensione del BCD ad 8 bit sviluppata dall IBM Unicode 16-bit code points Parte di un consorzio di aziende Impiegato in Java

5 Codici ridondanti Sfruttando opportunamente la ridondanza è possibile riconoscere o correggere errori in una parola del codice Definiamo le distanza d(x,y) fra due parole x ed y di C il numero di posizioni in corrispondenza delle quali i bit differiscono d( 10010, ) = 4 d( 11010, ) = 2 Distanza di Hamming di un codice è il valore h della distanza minima fra tutte le coppie di parole h=1 (codice irridonante) h>1 ridondante Codici per la rilevazione degli errori Sono usati per stabilire se si è verificato un errore Un codice con distanza h può riconoscere la presenza di h-1 errori Esempio PAROLE LEGALI Distanza di Hamming 4 Un errore su 3 bit porta ad una parola illegale

6 Codici per la rilevazione degli errori codice di parità Codice con h=2 d 1 d 2 d 3.. d m p = 0 parità pari oppure d 1 d 2 d 3.. d m p = 1 parità dispari Dove e l operatore di anticoincidenza o somma modulo 2 (0+0=1+1=0, 1+0=0+1=1) e p il bit di parita, da aggiungere a quelli di informazione per costruire parole del codice Bit d informazione Parità Pari Parità Dispari E un codice di distanza minima pari a 2 che permette di rilevare errori su un singolo bit Codici per la correzione degli errori Codice per la correzione di un errore Con m bit dati, r bit di controllo ed n=m+r bit di codice come costruire un codice per la correzione degli errori? In questo esempio, siamo interessati alla correzione di errori singoli Le parole legali del codice sono 2 m Le parole totali del codice sono 2 n Ogni parola di codice legale, composta da n bit, è circondata da n parole illegali Pertanto, ogni parola legale richiede n+1 parole di codice: 2 m (n+1) 2 n m+r+1 2 r

7 Esempio Due parole a distanza Esempio Due parole a distanza d =

8 Codici di Hamming Codice per correggere un singolo errore (distanza 3) Consideriamo una parola composta da m bit Aggiungiamo r bit di controllo (parità) La parola codificata avrà m+r bit, le cui posizioni sono numerate da 1 ad m+r, da sinistra a destra I bit in posizione k=2 i sono bit di parità Il bit in posizione b è controllato dai bit in posizione b 1,b 2,..,b j tale che b 1 +b 2 +..b j =b Codici di Hamming In caso di errore, la posizione del bit errato è data dalla somma delle posizioni dei bit di parità errati

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