6. Trasmissione Numerica in Banda Base

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1 1 INFO-COM Dpt. Dipartimento di Scienza e Tecnica dell Informazione e della Comunicazione Università degli Studi di Roma La Sapienza 6. Trasmissione Numerica in Banda Base TELECOMUNICAZIONI per Ingegneria Informatica (secondo anno) canale A-LA Prof. Roberto Cusani

2 Modulazione e Demodulazione numerica 2 segnale numerico segnale analogico modulatore numerico segnale numerico mezzo trasmissivo demodulatore numerico affetto da errori affetto da distorsioni e rumore segnale analogico

3 Modulazione numerica: banda base e banda traslata banda base banda traslata 3 utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza contiguo all origine utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza non contiguo all origine X(f) X(f) f f Mezzi trasmissivi in banda base (es.: linea bifilare) Mezzi trasmissivi in banda traslata (es.: trasmissioni radio)

4 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (1/6) 4 Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico: + 5 V - 5 V Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU t Potenza luminosa entrante in una fibra ottica P t Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo Necessità di tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE

5 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (2/6) 5 sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 0;-5 1 ) 0 T 2T 5T t a(0)g(t) a(1)g(t-t) a(2)g(t-2t) ( ) x t + = = a( n) g ( t nt ) n= t t t t

6 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (3/6) 6 Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili con i numeri naturali {0, 1, 2,..., α 1} intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T velocità di emissione dei simboli: f s =1/T Esso è rappresentabile con il segnale dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all intervallo (-T/2, +T/2), detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di a ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli a simboli dell alfabeto [ a 0, a 1, a 2,..., a α-1 ] ( t) a(n) g(t nt ) x + = n=

7 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (4/6) 7 Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}. b(n) a(n) simboli ampiezze di impulso 0 a 0 1 a α -1 a α 1 Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0. Esempi: α = 2 α = 3 α = a a a +1/3 0-1/ a i 2i = 1 α 1 [ i = 0, 1, 2,..., α - 1]

8 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (5/6) 8 x + = ( t) a(n) g(t nt) n = onda PAM PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso) Spettro dell onda PAM analogo allo spettro del segnale g(t) Larghezza di banda dell onda PAM uguale a larghezza di banda del segnale g(t)

9 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (6/6) 9 Esempi di onde PAM Ordine dell alfabeto α Ampiezze di impulso a i (i=0,1,...,α-1) Forma di impulso g(t) segnale PAM x(t) 2 [+1, -1] T/2 0 +T/2 0 T 2T 3 [+1, 0, -1] T/2 0 +T/2 0 T 2T 4 [+1, +1/3, -1/3, -1] T/2 0 +T/2 0 T 2T

10 Modulazione numerica in banda base 10 Obiettivi: trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo f m ; ottenere elevata efficienza di banda, definita come: velocità di simbolo larghezza di banda del segnale modulato = f f s m [(simboli/sec)/hz] Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo f s, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d impulso g(t)

11 Schema di principio di un modulatore PAM 11 Segnale dalla sorgente (rappres. PAM ideale) Filtro formatore di impulso con risposta impulsiva g(t) x(t) = u ( t) g( t) Segnale PAM ideale + u t = a(n) δ(t ( ) nt ) n = Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) + x t = a(n) g(t nt ( ) ) n= t 0 T 2T t

12 Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano 12 Canale y(t) = x(t) * c(t) lineare e permanente C(f) = FT [c(t)] + passa-basso C(f) = 0 per f > f m Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) + x t = a(n) g(t nt ( ) ) n= T 2T n(t) z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita dal canale rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza uniforme W n (f) = N 0 (Watt/Hz) rumore Gaussiano bianco

13 Demodulatore PAM 13 Filtro di ingresso al demodulatore G R (f) Campionamento negli istanti t = kt Decisione criterio di decisione z(t) segnale in uscita dal canale Esempio: w(t) = y(t) * g R (t) + η(t) = r(t) + η(t) componente utile rumore filtrato n( t) * g R ( t) w(kt) +1,21 +0,66-1,35 +1,17 a(k) b(k) w(kt) w(kt) 0 a(k) = +1 ; â(k) sequenza stimata delle ampiezze trasmesse w(kt) < 0 a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.

14 Modulazione numerica in banda base 14 u Segnale dalla sorgente + = ( t) a(n) δ(t nt ) n = Filtro formatore di impulso G(f) x(t) = u CANALE MODULATORE ( t) g( t) Canale lineare e permanente C(f) y(t) n(t) + DEMODULATORE sequenza â(k) Decisione w(kt) Campionamento negli istanti t = kt w(t) = y(t) * g R (t) + η(t) Filtro di ingresso al demodulatore G R (f) z(t) = y(t) + n(t) = = x(t)*c(t) + n(t)

15 Componente di segnale utile all ingresso del campionatore 15 r ( t) = y( t) g R ( t) = x( t) c( t) g R ( t) = u( t) g( t) c( t) g ( t) = h w(t) = y(t)*g R (t) + n(t)*g R (t) = r(t) + η(t) + ( t) a( n) δ ( t n= R nt ) segnale utile h(t) è la risposta impulsiva della cascata di tre filtri: r + = ( t) a(n) h(t nt) n = rumore (filtrato) formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore La cascata dei tre filtri ha funzione di trasferimento: H(f) = G(f)C(f)G R (f)

16 Demodulazione in assenza di rumore 16 Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kt), k =..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, } Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 h(t)=0 + w w ( t) = r( t) + η( t) = r( t) = a( n) h( t nt ) ( kt ) = = + n= a( k ) coincide con a(k) a meno della costante (guadagno) h(0) a( n) h(0) h( kt + + n= nt a( n) ) n=, n k h( kt nt ) Interferenza intersimbolica (ISI) componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)

17 Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo 17 + ( kt ) = a( k ) h(0) + a( n) h( kt w nt ) n= Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist h( kt ) 1, per k = 0 = 0, per k 0 si ha sempre w(kt) = a(k) Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).

18 Interferenza intersimbolica e condizione di Nyquist Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo in ±T/2. Esempio: w(t) h(t) T -T/2 +T/2 +T +2T -T -T/2 +T/2 +T +2T Il segnale ricevuto all uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro. PROBLEMI Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita). Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f)=G(f)C(f)GR(f) deve essere limitata ossia nulla per f >f m.

19 Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo: 1 per k = 0 h( kt ) = 0 per k 0 la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza + m = m H f = T T 19 Esempio: H(f) costante H(f+1/T) T H(f) H(f-1/T) H(f-2/T) f -1/2T 0 +1/2T -2/T -1/T 0 +1/T +2/T f

20 Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di 20 f 1 2T f s 2 N = = = velocità di simbolo 2 Banda di Nyquist Infatti, la somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di f N non può mai dare luogo a una costante. H(f) f -1/2T 0 +1/2T

21 Forma d impulso d di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist 21 Una particolare forma di impulso h 0 (t) limitato in banda che soddisfa le condizioni di Nyquist è quella la cui trasformata di Fourier H 0 (f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T): H T 0 ( f ) T = 0 per per 1 f 2T 1 f > 2T h 0 ( t) = t sin π T t π T -1/2T 0 +1/2T f 0 T 2T 3T 4T 5T 6T t

22 Forma d impulso d di Nyquist a banda limitata 22 Esempio: Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h 0 (t) +1 h 0 (t) H 0 (f) T r(t) T t -1/2T 0 +1/2T f t -1

23 Forma d impulso d di Nyquist a coseno rialzato (1/3) 23 Forma d impulso di Nyquist a coseno rialzato H ( f ) T, per 0 f (1 γ) f N T πt = 1 sin( ( f f )), per ( 1 γ ) f f < ( 1 + γ ) f 2 γ 0 per f > 1 + γ ( ) f N N N N T H(f) γ = 1 γ = 0.6 γ = 0.3 γ = 0 γ fattore di roll-off, 0 < γ 1 0 f N 2f N

24 Forma d impulso d di Nyquist a coseno rialzato (2/3) 24 All aumentare del fattore di roll-off γ da 0 (filtro passabasso ideale) a 1 le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell impulso si smorzano più rapidamente. 1 h(t) γ = 1 γ = 0.6 γ = 0.3 γ =0-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T t Minore criticità nel campionamento in ricezione. La banda occupata aumenta da f N a f N (1 + γ)

25 Forma d impulso d di Nyquist a coseno rialzato (3/3) 25 Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, (γ =0 e γ = 1) +1 h(t) h(t) +1 γ = 0 γ = 1 0 T t 0 T t +1 r(t) +1 r(t) 0 t 0 t -1-1

26 Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo Se la forma dell impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo Esempio: Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kt), per k 0] 26 T Segnale PAM corrispondente [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi ±1] +1 T -1

27 Segnale PAM multilivello 27 I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli) sorgente binaria conversione di alfabeto 2 α modulatore PAM ad α livelli canale in banda base (freq. max. f m ) velocità di simbolo binario f b velocità di simbolo f f b s= log 2 α f m s f f = b 2 2log α 2 Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).

28 Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello 28 All aumentare del numero di livelli α del segnale PAM utilizzato abbiamo: Aumento dell efficienza spettrale: Velocità di trasmissione dei simboli binari f b più alta, a parità di banda f m occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda f m occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario f b. Aumento della probabilità di errore: in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.

29 Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale 29 Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kt), k =..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, } Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco. Segnale all ingresso del campionatore di ricezione: w ( t) r( t) + η( t) = a(n) h(t nt ) + η( t) Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kt si ha + = w n = ( kt ) = r( kt ) + η ( kt ) = a( k ) + η( kt ) Variabile con α valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza σ η 2

30 Decisione in presenza di rumore Gaussiano. Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3) 30 w(kt)=a(k)+h(kt) Problema: Misurato w(kt) w* all uscita del campionatore di ricezione, possiamo calcolare una buona decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w*? Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD) Misurato w(kt) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a 0.. a α-1 } assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a 0 ],, p[w* a(k)= a α-1 ]}. La decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= a i ]}

31 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Decisore a minima distanza Euclidea (2/3) 31 w(kt)=a(k)+h(kt), Poiché la componente di rumore h(kt) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili a valori {a 0 a α-1 } assumibili da a(k) che è più vicino (ossia,dista di meno) dal valore misurato w(kt) w*. Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: a(k)=argmin{(w*- ai) } 2 IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea

32 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM 2 (3/3) 32 w(kt)=a(k)+h(kt) Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario) Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore a soglia che decide a(k)=+1 quando w(kt) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kt)<0, in accordo alla relazione a(k)= +1, -1, per w(kt) 0 per w(kt) 0 (2-PAM) Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d errore Pe del decisore MLD la quantità: Pe P(a(k) a(k)).

33 Probabilità d errore in presenza di rumore gaussiano - Caso 2-PAM2 33 a(k) w(kt) p [w(kt) a(k) = +1]= +1 0 p [w(kt) a(k) = -1]= -1 a(k) = -1 η(kt) > +1 w(kt) = a(kt) + η(kt) > 0 â(kt) = +1 w(k) a(kt) > errore ( ) Pe 1 = p w a k = 1 dw = + ( η ) dη = P e 1 Pe = p η + = 1 Densità di probabilità gaussiana

34 Probabilità d errore nel PAM multilivello Caso 4-PAM4 34 w(kt) valori di ampiezza possibili -A -A/3 +A/3 +A livelli di decisione (criterio MLD) Probabilità d errore: per le due ampiezze estreme (area ) per un ampiezza interna (somma delle due aree ) * -2A/3 0 +2A/3 P e = pη + A / 3 A / 3 + ( η) dη 2Pe P e 2 p = = η ( η) η d Probabilità d errore media (per simboli equiprobabili) Formula generale 1 Pe = ( α 2 ) 2Pe + 2Pe = α α 1 = 2 Pe α