Comunicazioni Elettriche II

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1 Comunicazioni Elettriche II Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica Università di Roma La Sapienza A.A

2 Codici a blocchi e codici convoluzionali

3 Matrice di controllo di parità I decodificatori hard e soft individuano la parola di codice più vicina alla parola ricevuta in termini di distanza di Hamming vs. distanza euclidea Se k è grande si tratta di valutare e confrontare 2 k distanze Per la decodifica hard è possibile implementare tecniche di decodifica efficienti Bisogna costruire codici con la giusta struttura algebrica

4 Matrice di controllo di parità Si consideri un codice sistematico lineare binario a blocchi (n,k) con matrice di generazione! G = I P k Dato un vettore b composto da k bit la parola di codice corrispondente c=bg è un vettore a righe! c = b a Con a=bp vettore riga con n-k bit di parità e si ha bp a = 0 b a! P I n k = 0

5 Matrice di controllo di parità bp a = 0 b a! P I n k = 0 ovvero ch'= 0 con H = P' I! n k H è detta matrice di controllo di parità Grazie alla matrice H è immediato verificare se una parola è une parola di codice

6 Esempio il codice a controllo di parità (k+1,k) Per il codice a controllo di parità (k+1,k) la matrice di controllo di parità è! H = Come già si sapeva, sommando mod2 gli elementi di c si controlla la parità

7 Esempio il codice di Hamming (7,4) Per il codice di Hamming (7,4) la matrice di controllo di parità è H =! Per esempio la parola c=[ ] non è una parola di codice Mentre la parola c=[ ] è una parola di codice

8 Sindrome È possibile trovare una matrice di controllo di parità per tutti i codici lineari a blocchi anche non sistematici La matrice di controllo di parità è una rappresentazione compatta di un codice Detto c t il codice trasmesso e c r la parola ricevuta si può scrivere E si definisce la sindrome! c r = c t e! s = c H'= c H'+ eh'= eh' r t Quindi la sindrome dipende solo da e e non dalla parola di codice trasmessa. La sindrome è 0 iff e è 0 (si ricordi che 0 è sempre parola di codice per un codice lineare). I decodificatori efficienti utilizzano la sindrome per capire la configurazione dell errore per poi correggerlo

9 Codici di Hamming Qualsiasi sia n intero positivo esiste un codice di Hamming con (n, k) = (2 m 1, 2 m 1 m) La matrice di controllo di parità è composta da n colonne ognuna di n-k bit Nel caso dei codici di Hamming, si costruisce la matrice di controllo di parità considerando n=2 m -1 colonne di k=n-m elementi (tutte le possibili combinazioni) tranne lo 0

10 Codici ciclici Un codice lineare a blocchi (n,k) è detto ciclico se uno scorrimento ciclico di una parola di codice produce una parola di codice Alcuni codici di Hamming sono ciclici Le proprietà algebriche di questi codici consentono di concentrare l informazione contenuta nella matrice di generazione in un polinomio detto polinomio generatore i cui coefficienti sono definiti in un campo di Galois

11 Codici BCH e di Reed-Solomon I codici ciclici più famosi sono i codici BCH Bose Ray-Chaudhuri Hocquenghem Sono codici molto efficienti che consentono la correzione di errori multipli (comunicazioni satellitari, CD, DVD) Un sotto-insieme di questi codici è formato dai codici di Reed- Solomon anche molto famosi (Voyager,CD, Blueray, QRcodes, Wimax, DSL, DVB)

12 Codici a scorrimento a massima lunghezza I registri a scorrimento sono apparecchi elettronici in grado di moltiplicare e dividere polinomi con coefficienti in un campo di Galois I codici maximum-length shift register sono meno importanti dei codici BCH e Reed Solomon ma sono descrivibili più facilmente

13 Codici a scorrimento a massima lunghezza X k X k-1 X D D k-2 X k-3 X D D k-4 caso m=4 + Il registro a scorrimento è caricato con 4 bit e si danno 2 m -1 impulsi di clock L uscita forma il codice di lunghezza 2 m -1 Si ottiene quindi un codice a blocchi (n,k)=(2 m -1, m) L uscita è periodica con periodo 2 m -1 Il codice è ciclico

14 Codici a massima lunghezza di scorrimento Si tratta di un codice ciclico (15,4) nel caso m=4 t = d 1 H,min 2 Il peso di Hamming è 2 m-1 La distanza minima di Hamming è 8 Capacità di correzione: 3 errori di bit

15 Codici convoluzionali Un codice convoluzionale è un sistema a memoria finita contrariamente al codice a blocchi che è senza memoria Il termine convoluzionale ha origine nel fatto che i bit di ridondanza sono generati tramite convoluzioni mod2 I codici convoluzionali sono molto usati perché garantiscono prestazioni migliori rispetto ai codici a blocchi In parte questo è dovuto al fatto che i decodificatori soft sono pratici e efficienti in questo caso Come per i codici a blocchi, i codici convoluzionali sono costruiti usando sommatori mod2 con l aggiunta di elementi di ritardo

16 Codici convoluzionali Conv (1/2) Rate 1/2 Conv (2/3) Rate 2/3 Nota: è sistematico

17 Matrice di generazione Esempio del caso conv(1/2) Esempio del caso conv(2/3)! G(D)= 1 D2,1 D D 2 G(D)=! D D

18 Matrice a controllo di parità Esempio conv(2/3) G(D)= 1 0 H = P' I! n k 0 1 D = I k P 1 D = 1 D,D,1 Verificare che per tutte le parole di codice risulti! C(D)H'(D)= 0! C(D)H'(D)= 0 C (1) k C (1) k 1 C (2) (3) k 1 = C k C (3) (D)= (1 D)C (1) (D) DC (2) (D) (1 D)C (1) (D) DC (2) (D) C (3) (D)= 0

19 Lunghezza di un codice convoluzionale Vincolo sulla lunghezza di un codice convoluzionale = 1+ grado massimo dei polinomi nella matrice di generazione Per conv (1/2), M=3 Per conv (2/3), M=2 M = 1+ max i,j! ( ) deg g ij (D)

20 Note Nel caso di canali con banda limitata può essere opportuno modificare l alfabeto e non aumentare il bit rate. Questo lo si può ottenere con i codici detti a treillis, o codici nello spazio di segnale La codifica convoluzionale è scelta preferibilmente quando vi è banda disponibile Nel caso delle fibre ottiche è spesso invece vantaggioso conservare un codice di linea binario e aumentare il bit rate, e tipicamente si usano i convoluzionali Anche nel canale radio può essere opportuno, benché la banda sia limitata, mantenere segnali binari che sono meno soggetti a non linearità e utilizzare codici convoluzionali