Calcolo numerico e programmazione Rappresentazione dei numeri

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1 Calcolo numerico e programmazione Rappresentazione dei numeri Tullio Facchinetti <tullio.facchinetti@unipv.it> 16 marzo :26

2 Evoluzione storica la rappresentazione più semplice... poco rappresentativa difficoltà di memorizzazione numeri romani I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X, MCMXCV II problemi di utilizzo nelle operazioni difficoltà di rappresentazione di numeri grandi

3 Numerazione decimale é detta numerazione in base 10 cifra valore migliaia centinaia decine unità peso = conteggio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0 con riporto

4 Rappresentazione di numeri interi si sceglie una base β si scelgono β simboli che rappresentano i numeri da 0 a β 1 (cifre) i numeri sono rappresentati dai coefficienti del polinomio per le potenze della base si indica la base del sistema di numerazione con il pedice (N) β = A s A s 1... A 1 A 0 0 A i β 1 valore(n) = A s β s + A s 1 β s A 1 β 1 + A 0 β 0 la rappresentazione è posizionale poiché il peso della generica cifra A i dipende dalla posizione di A i

5 Numerazione binaria rappresentazione in base β = 2 conteggio: 0, 1 0 con riporto 10, con riporto 100,... decimale binario

6 Numerazione binaria interpretazione del valore del numero binario cifra posizione peso decimale = = =

7 Operazioni binarie: somma e sottrazione somma /1 esempio = differenza / esempio =

8 Operazioni binarie: moltiplicazione moltiplicazione esempio x =

9 Operazioni binarie: divisione esempio

10 Sistema ottale utilizza 8 cifre (o simboli) simboli usati: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 interpretazione del valore del numero ottale 3715 cifra posizione peso decimale = = = = = = 1997

11 Sistema esadecimale utilizza 16 cifre (o simboli) simboli usati: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F interpretazione del valore del numero esadecimale 7CD cifra 7 C D posizione peso decimale CD = = = = = = 1997

12 Esempi base 2 (1010) 2 = = (10) 10 ( ) 2 = = (100) 10 ( ) 2 = = (1000) 10 base 8 (12) 8 = = (10) 10 (144) 8 = = (100) 10 (1750) 8 = = = (1000) 10 base 16 (A) 16 = (10) 10 (64) 16 = = (100) 10 (3E8) 16 = = = (1000) 10

13 Numeri frazionari numero frazionario con 5 cifre decimali: N β = 0, A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 valore N β = A 1 β 1 + A 2 β 2 + A 3 β 3 + A 4 β 4 + A 5 β 5 esempio: N 16 = 0, F 670A valore N 16 = F A 16 5

14 Numeri frazionari in generale: Q β = A s A s 1... A 1 A 0, A 1 A 2 A 3... A R 0 A i β 1 valore Q β = A s β s + A s 1 β s A 1 β 1 + A 0 β 0 + A 1 β 1 + A 2 β A R β R

15 Numeri frazionari esempi: β = 10, N = 325, N = β = 2, N = 101, 01 2 N = = , 25 = 5, 25 10

16 Conversione di base di numeri interi sia dato un numero N α in una base α rappresentarlo in base β significa scrivere N α = N β = x 0 + β(x 1 + β(... βx s )) dividendo N α per la base β si ottiene un quoziente N 1 ed un resto R 0 uguagliando si ottiene N α = R 0 + βn 1 = x 0 + β(x 1 + β(x ))

17 Conversione di base di numeri interi N α = R 0 + βn 1 = x 0 + β(x 1 + β(x )) si può scrivere nella forma x 0 = R 0 (x 1 + β(x )) = N 1 iterando il procedimento con N 1 al posto di N α, si ottengono tutti i coefficienti del polinomio nelle potenze di β, cioè la codifica di N α nella nuova base

18 Conversione di base di numeri interi da base 10 a base 2: (1258) 10 = ( ) 2 da base 10 a base 8: (1258) 10 = (2352) 8 da base 10 a base 16: (1258) 10 = (4EA) 16

19 Conversione di base di numeri frazionari sia dato un numero N α in una base α rappresentarlo in base β significa scrivere F α = F β = β 1 (x 1 + β 1 (x 2 + β 1 (... β 1 x r ))) moltiplicando F α per la base β si ottiene una parte intera I ed una parte frazionaria F 1 uguagliando F α β = I + F 1

20 Conversione di base di numeri frazionari da cui: x 1 = I β 1 (x 2 + β 1 (... β 1 x r )...) = F 1 iterando il procedimento con F 1 al posto di F α, si ottengono i coefficienti del polinomio nelle potenze di β, cioè la codifica di F α nella nuova base, e quindi F β il procedimento termina quando F l = 0, oppure quando si è raggiunta la precisione desiderata (errore < β r se ci si ferma al termine x r )

21 Conversione di base di numeri frazionari da base 10 a base 2: ( ) 10 = ( ) da base 10 a base 8: ( ) 10 = (0.46) 8 da base 10 a base 16: ( ) 10 = (0.98) 16

22 Conversione di base di numeri frazionari base 10 2: (0.1) 10 = ( ) 2 base 10 8: (0.1) 10 = ( ) 8 base 10 16: (0.1) 10 = (0.19) 16 può accadere che a un numero decimale non periodico corrisponda un numero binario, ottale o esadecimale periodico

23 Esempio: convertire il numero 58, in binario parte intera parte frazionaria 58 = X 0 = 0 0, 07 2 = 0.14 X 1 = 0 29 = X 1 = 1 0, 14 2 = 0.28 X 2 = 0 14 = X 2 = 0 0, 28 2 = 0.56 X 3 = 0 7 = X 3 = 1 0, 56 2 = 1.12 X 4 = 1 3 = X 4 = 1 0, 12 2 = 0.24 X 5 = 0 1 = X 5 = 1 0, 24 2 = 0.48 X 6 = 0 0, 48 2 = 0.96 X 7 = 0 0, 96 2 = 1.92 X 8 = 1 0, 92 2 = 1.84 X 9 = 1 (tronchiamo qui) il numero in binario è: ,

24 Esempio: convertire il numero 4287, in esadecimale parte intera parte frazionaria 4287 : 16 = 267 REST O = 15 F 0, = 4, : 16 = 16 REST O = 11 B 0, = 15, 872 F 16 : 16 = 1 REST O = 0 0 0, = 13, 952 D : 16 = 0 REST O = 1 1 0, = 15, 232 F (tronchiamo qui) il numero in esadecimale è: 10BF,4FDF

25 Conversione di base conversione di un numero dalla base β 1 alla base β 2 con β 2 = β1 k dove k è un intero 2 esempio: β 1 = 2, β 2 = 8 = 2 3 N 2 = d k d k 1... d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d 0 = d k 2 k d d d d d d =... + (d d d )2 3 + (d d d )2 0 = c h 2 3 h c c c con0 c i 7 = c h 8 h c c c N 8 = c h c h 1...c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c 0

26 Conversione di base se una base è potenza dell altra, con esponente k, la conversione è molto semplice basta sostituire ogni gruppo di k cifre del numero in una base (β 1 ) con la cifra corrispondente nell altra base (β 2 ) o viceversa se il numero di bit non è multiplo di k, aggiungere gli 0 necessari a renderlo tale in posizioni che non modifichino il valore del numero

27 Conversioni fra basi diverse: esempi esempio: A B C D E F 1111

28 Conversioni fra basi diverse: esempi esempio 1: esempio 2: (1258) (2352) (4EA) ( ) (0.46) (0.98) 16

29 Conversioni fra basi diverse: esempi si può fare anche il passaggio inverso: 1F 5 16 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 8 = = (0.19) 16 = =

30 Esempio: conversione da base 8 a base 16 numero da convertire: base D base 16 risultato: 18D i numeri in blu sono fittizi e sono stati inseriti per convertire la cifra più significativa

31 Esempio: conversione da base 16 a base 8 numero da convertire: F C08A 16 F C 0 8 A base base 8 risultato: i numeri in blu sono fittizi e sono stati inseriti per convertire la cifra più significativa

32 Rappresentazione in complemento complemento alla base dato un numero X in una base β di n cifre, il complemento alla base è definito come: β n X complemento alla base -1 (o alla base diminuita) dato un numero X in una base β di n cifre, il complemento alla base 1 è definito come: (β n 1) X

33 Complemento base 10 esempio: X = 36, β = 10, n = 2 complemento alla base è: 10 2 X = = 64 esempio: X = 1630, β = 10, n = 4 complemento alla base è: 10 4 X = = 8370 regola pratica il complemento a 10 si trova analizzando le cifre a partire da destra: gli zeri fino alla prima cifra significativa si riportano tali e quali, della prima cifra significativa si fa il complemento a 10, di tutte le altre il complemento a 9

34 Complemento alla base X = 01011, β = 2, n = 5 X = , β = 2, n = = = regola pratica si riportano invariati tutti gli zeri fino al primo bit a 1, si riporta questo invariato, si complementano i rimanenti bit (0 1, 1 0)

35 Complemento alla base -1 X = 36, β = 10, n = 2 il complemento alla base -1 è: = 63 si ottiene complementando a 9 ogni singola cifra X = 01011, β = 2, n = 5 il complemento alla base -1 è: (2 5 1) X = ( ) X = = si ottiene complementando ogni singolo bit (0 1, 1 0)

36 Complemento alla base il complemento alla base si ottiene anche sommando 1 al complemento alla base 1 (per definizione) C β = β n X C β 1 = (β n 1) X C β C β 1 = 1 esempio: C β (36) = 64 C β 1 (36) = 63

37 Complemento alla base [-1] il complemento alla base [-1] è definito solo quando si è stabilito il numero di cifre il complemento alla base [-1] per X = 36, β = 10, n = 2 è: 64 [63] il complemento alla base [-1] per X = 36, β = 10, n = 3 è: 964 [963]

38 Rappresentazione di numeri negativi binario puro viene anteposto il segno - (meno) 6 (decimale) 110 (binario) -6 (decimale) -110 (binario) modulo e segno codifica identica al binario, con la differenza che il primo bit indica il segno 6 (decimale) 0110 (modulo e segno) -6 (decimale) 1110 (modulo e segno)

39 Rappresentazione di numeri negativi complemento a 1 codifica identica al modulo e segno, con la differenza che i numeri negativi vengono complementati a 1 6 (decimale) 0110 (modulo e segno) -6 (decimale) 1110 (modulo e segno) 1001 (complemento a 1) complemento a 2 codifica identica al complemento a 1, con la differenza che ai numeri negativi viene ancora sommata una unità 6 (decimale) 0110 (modulo e segno) -6 (decimale) 1001 (complemento a 1) 1010 (complemento a 2)