SISTEMI DI NUMERAZIONE

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1 Rev.20/10/2014 Pag.n. 1 Indice SISTEMI DI NUMERAZIONE IL SISTEMA DECIMALE SISTEMI POSIZIONALI NUMERAZIONE BINARIA CONVERSIONE BINARIO-DECIMALE (Metodo del polinomio) CONVERSIONE DECIMALE-BINARIO (Metodo delle divisioni successive per 2) CONVERSIONE DECIMALE-BINARIO DI NUMERI CON PARTE FRAZIONARIA (metodo delle moltiplicazioni successive per 2) ADDIZIONE BINARIA SOTTRAZIONE BINARIA DIVISIONE BINARIA MOLTIPLICAZIONE BINARIA COMPLEMENTO ALLA BASE COMPLEMENTO ALLA BASE 2 SOTTRAZIONE BINARIA CON IL METODO DEL COMPLEMENTO A 2 NUMERAZIONE OTTALE CONVERSIONE OTTALE - DECIMALE (Metodo del polinomio) CONVERSIONE DECIMALE - OTTALE (Metodo delle divisioni successive per 8) CONVERSIONE BINARIO - OTTALE CONVERSIONE OTTALE - BINARIO NUMERAZIONE ESADECIMALE CONVERSIONE ESADECIMALE- DECIMALE (Metodo del polinomio) CONVERSIONE DECIMALE - ESADECIMALE (Metodo delle divisioni successive per 16) CONVERSIONE BINARIO - ESADECIMALE CONVERSIONE ESADECIMALE - BINARIO Tabella di conversione

2 Rev.20/10/2014 Pag.n. 2 IL SISTEMA DECIMALE La base del sistema decimale è 10 I simboli del sistema decimale sono: Il sistema di numerazione decimale è un sistema posizionale. L aggettivo posizionale indica che il peso dei simboli, cifre che compongono il numero, dipende dalla loro posizione all interno del numero stesso. Il numero 821,32 si ottiene sommando: 8 centinaia + 2 decine + 1 unità + 3 decimi + 2 centesimi = ,32 Pertanto il suo valore nel sistema decimale si può ottenere come: (Metodo del polinomio) 8 x x x x x 10-2 parte intera parte frazionaria ,3 + 0,02 = (821,32) 10 Notiamo che la notazione con il pedice 10 indica che il numero si riferisce ad un valore espresso in base 10.

3 Rev.20/10/2014 Pag.n. 3 SISTEMI POSIZIONALI Si è detto che il sistema decimale è un sistema posizionale poiché il valore di un simbolo dipende dalla posizione che il simbolo ha all interno del numero. In generale, in un sistema posizionale di base b la scrittura: a k a k-1. a 1 a 0, a -1 a -2 a -h (k ed h sono le posizioni) parte intera parte frazionaria equivale a: a k b k + a k-1 b k a 1 b 1 + a 0 b 0 + a -1 b -1 + a -2 b a -h b -h parte intera parte frazionaria

4 Rev.20/10/2014 Pag.n. 4 NUMERAZIONE BINARIA Il binario è il linguaggio del computer. Al suo interno qualsiasi informazione (numeri, testi, foto, video, suoni) è rappresentata con una sequenza di 1 e 0. Ciò è dato dal fatto che le tecnologie utilizzate (elettronica per i circuiti, elettricità per la trasmissione dei dati, magnetismo per i dischi magnetici, raggi laser per i CD, i DVD, i Blu Ray) si prestano bene per trattare zeri e uno. Se una operazione in binario è più lunga dell equivalente in decimale, ciò, poi, non è un problema perché la velocità di esecuzione sarà altissima. La base del sistema binario è 2 I simboli del sistema binario sono: 0 e 1 Il sistema di conteggio avviene in maniera analoga a quello del sistema decimale: Si comincia con la prima posizione usando tutti i simboli a disposizione. Una volta esauriti i simboli si genera il riporto di 1 e si passa alla posizione successiva, riconsiderando tutti i simboli e sommando il riporto. DECIMALE BINARIO

5 Rev.20/10/2014 Pag.n. 5 CONVERSIONE BINARIO-DECIMALE Per effettuare la conversione binario-decimale occorre considerare tutte le cifre che compongono il numero binario e sommarle tra loro, dopo averle moltiplicate per la potenza di 2 che caratterizza la loro posizione. (101101) 2 (?) Posizioni: Pesi: Pesi: (Metodo del polinomio) 1 x x x x x x 2 0 = = = =(45) 10

6 Rev.20/10/2014 Pag.n. 6 CONVERSIONE DECIMALE-BINARIO Per la conversione di un numero decimale nella sua equivalente rappresentazione binaria occorre dividerlo ripetutamente per 2 ed annotare i resti. (Metodo delle divisioni successive) Il procedimento si arresta quando il quoziente diventa zero. I resti, riscritti dall ultimo ottenuto al primo, forniscono il numero cercato. DIVISIONE QUOZIENTE RESTO 86/2 = /2 = /2 = /2 = 5 0 5/2 = 2 1 2/2 = 1 0 1/2 = I resti si prendono dall ultimo al primo (86) 10 ( ) 2

7 Rev.20/10/2014 Pag.n. 7 CONVERSIONE DECIMALE-BINARIO DI NUMERI CON PARTE FRAZIONARIA Per la conversione di numeri decimali con parte frazionaria occorre moltiplicare ripetutamente per due il numero di partenza e prendere nota della parte intera del risultato. Il procedimento ha termine quando la parte decimale del risultato si riduce a zero. A questo punto le parti intere dei prodotti svolti costituiscono, nell ordine in cui sono state ricavate, il numero binario frazionario cercato. (metodo delle moltiplicazioni successive) (0,5625) 10 (?) 2 0, 5625 x 2 = 1, 1250 x 2 = 0, 2500 x 2 = 0, 5000 x 2 = 0, , 0000 (0,5625) 10 (0,1001) 2 Nota Non è detto che il procedimento di conversione da un numero decimale frazionario ad un numero binario abbia sempre termine. In alcuni casi il risultato della moltiplicazione per 2 non arriverà mai ad avere parte decimale nulla. In questi casi bisognerà arrestarsi arbitrariamente ad un certo numero di cifre dopo la virgola. Questo introdurrà un inevitabile errore di conversione dovuto al troncamento di cifre effettuato.

8 Rev.20/10/2014 Pag.n. 8 ADDIZIONE BINARIA Le regole per l addizione binaria sono esattamente le stesse che si adoperano nell addizione decimale. 0+0 = = = = 0 (con riporto di 1) Riporti A B = A+B Infatti come verifica possiamo convertire in decimale: A = (52) 10 B= (29) 10 A+B = (81) 10

9 Rev.20/10/2014 Pag.n. 9 SOTTRAZIONE BINARIA Anche la sottrazione binaria si effettua in maniera formalmente identica a quella decimale. : 0-0 = = = = 1 (con prestito di 1 dalla cifra precedente) Prestito==> =

10 Rev.20/10/2014 Pag.n. 10 DIVISIONE BINARIA La divisione di due numeri binari segue le stesse regole del sistema decimale. : (2) : 110 (2) Prova: 349 (10) 6 (10) ꞈ ꞈ ꞈ ꞈ ꞈ (10) quoziente (10) resto Le prime cifre che abbasso sul dividendo devono essere quante quelle del divisore o una in più, in modo tale che le cifre abbassate siano un numero >= del divisore. In questo esempio ne devo abbassare 4, anche se il divisore ne ha 3.

11 Rev.20/10/2014 Pag.n. 11 MOLTIPLICAZIONE BINARIA La moltiplicazione di due numeri binari segue le stesse regole del sistema decimale. : (2) x 110 (2) Prova: 349 (10) x 6 (10) = x 2094 (10) = = (2)

12 Rev.20/10/2014 Pag.n. 12 IL COMPLEMENTO ALLA BASE Un metodo più semplice per effettuare la sottrazione in binario è quello di usare il complemento alla base. Definizione Dato un numero N di k cifre espresso in base b, intero e diverso da zero, diciamo complemento alla base b di N il numero b k N = R : se la base è 10 (b=10) e il numero è 23 (N=23), allora, essendo N di 2 cifre (k=2) il complemento a 10 di 23 è: R = C 10 (23) = = cioè : 23 in C 10 (23) è 77 La somma di un numero e del suo opposto è 0, infatti 23+ C 10 (23) = = 100 che, dal momento che stiamo usando due cifre, è 0 Complemento alla base 2 Il complemento alla base 2 (o complemento a 2) di un numero binario si ottiene semplicemente scambiando i simboli 0 con i simboli 1 e viceversa ed infine sommando 1. N = Scambio C2(N) = C 2 (N) vuol dire Complemento a 2 del numero N Verifichiamo convertendo in decimale: (1101) 2 = (13) 10 (0011) 2 = (3) = b k N = = = 3 Un altro metodo per effettuare il complemento a 2 consiste nel riportare le cifre a cominciare da destra ( la meno significativa ) fino al primo 1 compreso e invertire le altre N= (2) cifre invertite cifre non invertite C2(N)= (2)

13 Rev.20/10/2014 Pag.n. 13 SOTTRAZIONE BINARIA CON IL METODO DEL COMPLEMENTO Per rendere più agevole l operazione di sottrazione nel sistema di numerazione binario possiamo adoperare il metodo del complemento a 2. Tale metodo consiste in 3 passi: 1) Se si desidera calcolare A B si effettua il complemento di B ( C2(B) ). 2) Si calcola la somma A + C2(B). 3) Si prende il risultato della somma senza l ultimo riporto. Ricorda che il complemento alla base si fa avendo fissato il numero di cifre da usare. Tutti i numeri avranno quel numero di cifre. Se il numero è positivo è opportuno che la prima cifra sia zero, in tal modo tutti i complementi avranno come prima cifra uno. Siano A = (9) 10 = (01001) 2 B = (6) 10 = (00110) 2 si vuole calcolare A - B 1) Facciamo il complemento a due di B B = scambio Sommo 1 1 = C2(B)= ) Sommiamo A+C2(B) A C2(B) = A+C2(B)= ) Prendiamo il risultato senza riporto (00011)2 = (3)10

14 Rev.20/10/2014 Pag.n. 14 NUMERAZIONE OTTALE La base del sistema ottale è 8 I simboli del sistema ottale sono: Il metodo di conta è analogo a quello decimale: Si comincia con la prima posizione usando tutti i simboli a disposizione. Una volta esauriti i simboli si genera il riporto di 1 e si passa alla posizione successiva, riconsiderando tutti i simboli e sommando il riporto. CONVERSIONE OTTALE-DECIMALE In maniera analoga alla conversione binario-decimale per convertire un numero ottale nella sua equivalente rappresentazione decimale occorrerà sommare tutte le cifre prese con il loro peso (una potenza di 8) in funzione della loro posizione. (61702,314)8 (?) = (?,? ) 10 parte intera parte frazionaria Nota Anche in questo tipo di conversione esiste un inevitabile errore di troncamento. È interessante notare come nel sistema esadecimale lo stesso numero può essere espresso con maggiore precisione che in quello decimale, usando un minor numero di cifre.

15 Rev.20/10/2014 Pag.n. 15 CONVERSIONE DECIMALE- OTTALE Per la conversione di un numero decimale nella sua equivalente rappresentazione ottale occorre dividerlo ripetutamente per 8 ed annotare i resti (che saranno presi dall ultimo al primo). Il procedimento si arresta quando il quoziente diventa zero. I resti, riscritti dall ultimo ottenuto al primo, forniscono il numero cercato. (7726)10 (?)8 DIVISIONE QUOZIENTE RESTO 7726 : 8 = : 8 = : 8 = : 8 = : 8 = (7726)10 (17056)8

16 Rev.20/10/2014 Pag.n. 16 CONVERSIONE BINARIO- OTTALE Per convertire un numero binario nella sua equivalente rappresentazione ottale la procedura è estremamente semplice. È sufficiente prendere i bit a gruppi di 3 ed interpretarli come cifre decimali. La procedura deve partire dalla cifra meno significativa che è quella più a destra, quindi con il peso minore. ( )2 (?) Quindi risulta: (3) 10 (2) 10 (4) 10 ( )2 = (324)8 Nota Può capitare che il numero di cifre del numero binario di partenza non sia un multiplo di 3. In tal caso occorrerà aggiungere degli zeri, sufficienti a rendere il numero di cifre binarie multiplo di 3, a sinistra della più significativa.

17 Rev.20/10/2014 Pag.n. 17 CONVERSIONE OTTALE BINARIO La conversione da ottale a binario si ottiene molto semplicemente sostituendo ad ogni cifra ottale il corrispondente gruppo di tre cifre binarie. In questa operazione ci si può aiutare facendo uso della seguente tabella: OTTALE BINARIO DECIMALE (5742) 8 (?) Quindi: (5742) 8 = ( ) 2

18 Rev.20/10/2014 Pag.n. 18 NUMERAZIONE ESADECIMALE La base del sistema esadecimale è 16 I simboli del sistema esadecimale sono: A B C D E F Il metodo di conta è analogo a quello decimale: Si comincia con la prima posizione usando tutti i simboli a disposizione. Una volta esauriti i simboli si genera il riporto di 1 e si passa alla posizione successiva, riconsiderando tutti i simboli e sommando il riporto. CONVERSIONE ESADECIMALE-DECIMALE In maniera analoga alla conversione binario-decimale per convertire un numero esadecimale nella sua equivalente rappresentazione decimale occorrerà sommare tutte le cifre prese con il loro peso (una potenza di 16) in funzione della loro posizione. (61B02,CAE) 16 (?) = (400130,7924 ) 10 Parte intera Parte frazionaria Parte intera Parte frazionaria Nota Anche in questo tipo di conversione esiste un inevitabile errore di troncamento nella parte frazionaria. È interessante notare come nel sistema esadecimale lo stesso numero può essere espresso con maggiore precisione che in quello decimale, usando un minor numero di cifre.

19 Rev.20/10/2014 Pag.n. 19 CONVERSIONE DECIMALE-ESADECIMALE Per la conversione di un numero decimale nella sua equivalente rappresentazione esadecimale occorre dividerlo ripetutamente per 16 ed annotare i resti. Il procedimento si arresta quando il quoziente diventa zero. I resti, riscritti dall ultimo ottenuto al primo, forniscono il numero cercato. (8826) 10 (?) 16 DIVISIONE QUOZIENTE RESTO 8826 : 16 = = (A) : 16 = 34 7 = (7)16 34 : 16 = 2 2 = (2)16 2 : 16 = 0 2 = (2) A (8826) 10 (227A) 16

20 Rev.20/10/2014 Pag.n. 20 CONVERSIONE BINARIO-ESADECIMALE Per convertire un numero binario nella sua equivalente rappresentazione esadecimale la procedura è estremamente semplice. È sufficiente prendere i bit a gruppi di 4 ed interpretarli come cifre esadecimale. La procedura deve partire dalla cifra meno significativa che è quella più a destra, quindi con il peso minore. Per aiutarsi si può passare dall interpretazione decimale. ( ) 2 (?) (13) 10 (4) 10 In decimale Quindi risulta: (D) 16 (4) 16 ( ) 2 = (D4) 16 Nota Può capitare che il numero di cifre del numero binario di partenza non sia un multiplo di 4. In tal caso occorrerà aggiungere degli zeri, sufficienti a rendere il numero di cifre binarie multiplo di 4, a sinistra della più significativa.

21 Rev.20/10/2014 Pag.n. 21 CONVERSIONE ESADECIMALE-BINARIO La conversione da esadecimale a binario si ottiene molto semplicemente sostituendo ad ogni cifra esadecimale il corrispondente gruppo di quattro cifre binarie. In questa operazione ci si può aiutare facendo uso della seguente tabella: ESADECIMALE BINARIO DECIMALE A B C D E F (F4) 16 (?) 2 (F) 16 (4) 16 (15) 10 (4) 10 (1111) 2 (0100) 2 Quindi: (F4) 16 = ( ) 2

22 Rev.20/10/2014 Pag.n. 22 Tabella di conversione ( per numeri interi ) Da a Base Base 10 DivSucc x 2 DivSucc x 8 DivSucc x 16 2 Polinomio con 2 x Raggrupp x 3 Raggrupp x 4 8 Polinomio con 8 x Sb3 Sb3+ Raggrupp x 4 16 Polinomio con 16 x Sb4 Sb4+ Raggrupp x 3 Leggenda Polinomio: Metodo del polinomio DivSucc : Metodo delle divisioni successive per la base di arrivo Raggrupp : Metodo del raggruppamento (per 3 o per 4) delle cifre binarie e loro sostituzione col valore decimale Sb : Sostituzione di ogni cifra con il suo valore binario rappresentato con 3 o 4 bit