Rappresentazione ottale e esadecimale. 22 settembre 2017

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1 Rappresentazione ottale e esadecimale settembre 017

2 Notazione binaria per numeri naturali In base. I simboli ammessi sono 0,1. Una sequenza / stringa di 0 e 1, di lunghezza n con a i {0, 1} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: a n-1 a n- a 1 a 0 N = (a n-1 a n- a 1 a 0 ) = = a n-1 n-1 + a n- n- + + a a 0 0 In notazione compatta: N n 1 i 0 a i i

3 Notazione posizionale (in base b generica) In base b. I simboli ammessi sono 0,1,, b-1. Una sequenza / stringa di 0, 1,, b-1, di lunghezza n a n-1 a n- a 1 a 0 con a i {0, 1,, b-1} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: N = (a n-1 a n- a 1 a 0 ) b = = a n-1 b n-1 + a n- b n- + + a 1 b 1 + a 0 b 0 In notazione compatta: N n 1 i0 a i i b

4 Esempi (34) 10 (34) (34) (101) 10 (101) (101)

5 Algoritmi di conversione binario decimale Da binario a decimale: 1. moltiplico ogni cifra per l opportuna potenza di e poi sommo (definizione). Considero i bit dal MSD (da sinistra a destra), partendo da zero, raddoppio e sommo il prossimo bit Da decimale a binario: 1. esprimo il numero come somma di potenze di, partendo dalla più grande potenza di minore del numero. Divisioni successive per : i resti forniscono i bit dal LSD, riapplico ai quozienti

6 Algoritmo di conversione : binario in decimale MSD=cifra più significativa N = (a n-1 a n- a 1 a 0 ) N = (( ( ( a n-1 ) + a n- ) + + a ) + a 1 ) + a 0 LSD=cifra meno significativa N= S 0 = S 1 + a 0 S n-1 = a n-1 S 1 = S + a 1 S = S 3 + a.. S n- = S n-1 + a n- S n-1 = a n-1 Dal basso verso l alto: da a n-1 a a 0 ; da MSD a LSD S n- = a n- + S n-1 S n-3 = a n-3 + S n-.. S i = a i + S i+1.. S 0 = a 0 +S 1 S 0 =N

7 Algoritmo di conversione : decimale in binario N = (a n-1 a n- a 1 a 0 ) Dato N trovare a n-1, a n-,, a 1, a 0 con a i = 0 o 1 Procedura inversa: dall alto verso il basso da a 0 ad a n-1 ; da LSD a MSD N= S 0 = S 1 +a 0 a 0 ed S 1 sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione di N= S S 1 = S + a 0 per. 1 S = S 3 + a S i = S i+1 + a i S n- = S n-1 + a n- S n-1 = a n-1. a i ed S i+1 sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione di S i per.. Fino ad ottenere un S i =0. Algoritmo delle divisioni successive

8 Esempio (decimale in binario) N=15 S 0 = N = a 0 + S 1 S 1 = a 1 + S S = a + S 3.. S i = a i + S i+1.. S n-1 = a n-1 N = (a n-1 a n- a 1 a 0 ) S 0 = a 0 +S 1 = = 15 S 1 = a 1 +S = = 76 S = a +S 3 = = 38 S 3 = a 3 +S 4 = = 19 S 4 = a 4 +S 5 = = 9 S 5 = a 5 +S 6 = 0 + = 4 S 6 = a 6 +S 7 = = S 7 = a 7 +S 8 = =1 N = ( ) 15 : = 76 con resto 0 76 : = 38 con resto 0 38 : = 19 con resto 0 19 : = 9 con resto 1 9 : = 4 con resto 1 4 : = con resto 0 : = 1 con resto 0 1 : = 0 con resto 1 STOP

9 Conversione da decimale a base B

10 Numero di bit per rappresentare N E possibile prevedere il numero di bit necessari per rappresentare N in binario? Potevamo prevedere che per rappresentare N = 15 occorrevano 8 bit? E possibile rappresentare 15 con 7 bit? No, perché con 7 bit possiamo rappresentare tutti e soli gli interi da 0 a 7-1=17 E possibile rappresentare 15 con 8 bit? Si, perché con 8 bit possiamo rappresentare tutti gli interi da 0 a 8-1 = 55 In effetti: 7-1< , ovvero 7 15 < 8. Il minimo numero di bit necessari a rappresentare N in binario lo ottengo considerando log N, tralasciando la parte decimale, e sommando 1. log 15 = 7,. e 7+1 = 8. Nota: 15 si può rappresentare anche con 9, 10, 11,.. bit: (15) 10 = ( ) = ( ) = ( ) = ( )

11 Altre basi importanti Torniamo alle informazioni numeriche e al sistema posizionale pesato. Abbiamo visto le rappresentazioni in base e 10 e le relative conversioni. Altre basi importanti (per l informatica almeno) sono 8 e 16.

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13 Notazione in base 8 / ottale In base 8. I simboli ammessi sono 0,1,, 7. Una sequenza / stringa di 0, 1,, 7, di lunghezza n a n-1 a n- a 1 a 0 con a i {0, 1,, 7} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: N = (a n-1 a n- a 1 a 0 ) 8 = = a n-1 8 n-1 + a n- 8 n- + + a a In notazione compatta: N n 1 i0 a i 8 i

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15 Un po di magia b = 8 rappresentazione ottale (13) Convertiamolo in decimale = = = 139 Valore identico Sarà un caso?

16 Non è un caso! = = ( )+ ( )+( ) = = ( ) 6 + ( ) 3 +( ) = = = = = ( 1 3) 8

17 Da binario a ottale N = (a 7 a 6 a 1 a 0 ) = a a a 1 + a 0 = (a a 6 6 )+ (a a a 3 3 )+(a + a 1 + a 0 ) = = (a a 6 ) 6 + (a 5 + a a 3 ) 3 +(a + a 1 + a 0 ) = = b 8 + b b E inoltre b, b 1, b 0 sono compresi fra 0 e 7.

18 Da binario ad ottale e viceversa Da binario ad ottale: Raggruppa i bit 3 a 3 da destra Ad ogni gruppo fai corrispondere la cifra in ottale (da 0 a 7) Da ottale a binario: Ad ogni cifra in ottale far corrispondere la rappresentazione binaria su 3 bit e concatenare Esempi:

19 Notazione in base 16 / esadecimale In base 16. I simboli ammessi sono 0,1,, 9, A, B, C, D, E, F. Una sequenza / stringa di 0, 1,, F, di lunghezza n a n-1 a n- a 1 a 0 con a i {0, 1,, F} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: N = (a n-1 a n- a 1 a 0 ) 16 = = a n-1 16 n-1 + a n- 16 n- + + a a In notazione compatta: N n 1 i0 a i 16 i A volte (per es. in [PH]) è usato il prefisso 0x davanti la stringa. Esempio: 0x8A00C

20 Ancora magia! b = 16 rappresentazione esadecimale (03) Nemmeno questo è un caso!

21 Da binario a esadecimale e viceversa Da binario ad esadecimale: Raggruppa i bit 4 a 4 da destra Ad ogni gruppo fai corrispondere la cifra in esadecimale (da 0 a F) Da esadecimale a binario: Ad ogni cifra in esadecimale far corrispondere la rappresentazione binaria su 4 bit e concatenare Esempi:

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23 Riepilogo Rappresentazione nelle basi, 8, 10 e 16 e conversioni [P] parr. 1.5, 1.3. Iscrivetevi alla piattaforma Svolgete gli esercizi indicati nelle slides.