Rappresentazioni ottale ed esadecimale Barbara Masucci

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1 Architettura degli Elaboratori Rappresentazioni ottale ed esadecimale Barbara Masucci

2 Punto della situazione Ø Abbiamo visto Ø ll sistema posizionale pesato, in particolare le rappresentazioni con basi 2 e 10 Ø Gli algoritmi di conversione Decimale Binario per i numeri interi Ø Oggi vediamo altre basi importanti: 8 e 16 Ø Ø Base 8: rappresentazione ottale Base 16: rappresentazione esadecimale

3 Notazione Ottale La sequenza a n-1 a n-2 a 1 a 0 di simboli in {0, 1,, 7} rappresenta l intero N = a n-1 8 n-1 + a n-2 8 n a a n 1 = i i=0 a 8 i

4 Notazione Esadecimale La sequenza a n-1 a n-2 a 1 a 0 di simboli in {0, 1,, 9,A,B,C,D,E,F} rappresenta l intero N = a n-1 16 n-1 + a n-2 16 n a a n 1 = ai16 i i=0 A volte è usato il prefisso 0x davanti alla stringa Esempio: 0x8A00C

5 Esempi (234) = (101) = (19) = (A3) =163 10

6 Conversioni tra basi Ø Le possibilità (più diffuse) Decimale Ottale Binario Esadecimale Ø Abbiamo già visto Binario Decimale

7 Algoritmi di conversione Ottale Decimale Ø Da Ottale a Decimale Ø Moltiplico ogni cifra ottale per l opportuna potenza di 8 e poi faccio la somma Ø Da Decimale a Ottale Ø Esprimo il numero come somma di potenze di 8, partendo dalla più grande potenza di 8 minore del numero Esistono altri algoritmi, più efficienti, per convertire un numero da ottale a decimale e viceversa

8 Da Ottale a Decimale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

9 Da Ottale a Decimale Ø Sia N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 8 un intero in ottale Ø Il valore di N è N=a n-1 8 n-1 + a n-2 8 n a 1 8+ a 0 Ø Definiamo i valori S n-1 = a n-1 S n-2 = a n-2 + 8S n-1 S n-3 = a n-3 + 8S n-2.. S i = a i + 8S i+1.. S 0 = N

10 Esempio 1 (1234) 8 n=4 S 3 = a 3 = 1 S 2 = a 2 +8S 3 = = 10 S 1 = a 1 +8S 2 = = 83 S 0 = a 0 +8S 1 = = 668 S 0 = N = 668

11 Esempio 2 (1110) 8 n=4 S 3 = a 3 = 1 S 2 = a 2 +8S 3 = = 9 S 1 = a 1 +8S 2 = = 73 S 0 = a 0 +8S 1 = = 584 S 0 = N = 584

12 Perché funziona? N = a n-1 8 n-1 + a n-2 8 n a 1 8+ a 0 = (a n-1 8 n-2 + a n-2 8 n a a 1 ) 8 + a 0 S 0 = S a 0 = ( (a n-1 8 n-3 + a n-1 8 n a 2 ) 8 + a 1 ) 8 + a S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. = (( (a n-1 8+ a n-2 ) a 2 ) 8 + a 1 )8 + a 0 S n-2 = S n a n-2 = (( ( (a n-1 ) 8+ a n-2 ) a 2 ) 8 + a 1 )8 + a 0 S n-1 = a n-1

13 Algoritmo di conversione: da Ottale a Decimale MSD=cifra più significativa N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 8 LSD=cifra meno significativa N = (( ( ( a n-1 ) 8+ a n-2 ) a 2 ) 8 + a 1 )8 + a 0 N= S 0 = S a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 Dal basso verso l alto: da a n-1 a a 0 ; da MSD a LSD S n-1 = a n-1 S n-2 = a n-2 + 8S n-1 S n-3 = a n-3 + 8S n-2.. S i = a i + 8S i+1.. S 0 = a 0 +8S 1 S 0 =N

14 Da Decimale a Ottale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

15 Algoritmo di conversione: da Decimale ad Ottale Input: N 10 Risultato: a n-1, a n-2,, a 1, a 0 con a i in {0, 1,,7} Procedura inversa: dall alto verso il basso (da a 0 ad a n-1 ) N= S 0 = S 1 8 +a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2 S i = S i a i S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 a 0 ed S 1 sono il resto e il quoziente della divisione di N = S 0 per 8. a i ed S i+1 sono il resto e il quoziente della divisione di S i per 8. Fino ad ottenere un S i =0 Algoritmo delle divisioni successive

16 Esempio: N=668 S n-1 = a n-1 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 8??? S 0 = a 0 +8S 1 = = 668 S 1 = a 1 +8S 2 = = 83 S 2 = a 2 +8S 3 = = 10 S 3 = a 3 +8S 4 = = : 8 = 83 con resto 4 83 : 8 = 10 con resto 3 10 : 8 = 1 con resto 2 1 : 8 = 0 con resto 1 STOP N = (1234) 8

17 Esempio: N=584 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 8??? N 8 = = 1*8 3+ 1*8 2 +1*8 1 +0*8 0

18 Da Binario a Ottale Ø Possiamo convertire un numero da Binario a Ottale facendo due conversioni Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

19 Da Binario a Ottale Esiste un metodo per passare dalla rappresentatione binaria a quella ottale senza passare per quella decimale?

20 Da Binario a Ottale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

21 Un po di magia b = 8 rappresentazione ottale 2 (213) 8 = = Convertiamolo in decimale = = = 139 Valore identico Sarà un caso?

22 Non è un caso! = = ( ) ( ) 2 3 +( ) = = = ( 2 1 3) 8

23 Da Binario a Ottale N = (a 7 a 6 a 1 a 0 ) 2 = a a a 1 2+ a 0 = a a a a a a a 1 2+ a 0 = (a a 6 ) (a a a 3 ) 2 3 +(a a 1 2+ a 0 ) = b b b Nota che b 2, b 1, b 0 sono compresi fra 0 e 7 Ø Algoritmo Ø Raggruppa i bit 3 a 3 da destra Ø Ad ogni gruppo fai corrispondere la cifra in ottale (da 0 a 7)

24 Da Ottale a Binario Ø Possiamo convertire un numero da Ottale a Binario facendo due conversioni Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

25 Da Ottale a Binario Esiste un metodo per passare dalla rappresentatione ottale a quella binaria senza passare per quella decimale?

26 Da Ottale a Binario Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

27 Da Ottale a Binario Algoritmo: Ø Ad ogni cifra in ottale fai corrispondere la rappresentazione binaria su 3 bit Ø Concatena i bit ottenuti Esempio: = =

28 Algoritmi di conversione Esadecimale Decimale Ø Da Esadecimale a Decimale Ø Moltiplico ogni cifra esadecimale per l opportuna potenza di 16 e poi faccio la somma Ø Da Esadecimale a Ottale Ø Esprimo il numero come somma di potenze di 16, partendo dalla più grande potenza di 16 minore del numero Esistono altri algoritmi, più efficienti, per convertire un numero da esadecimale a decimale e viceversa

29 Da Esadecimale a Decimale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

30 Da Esadecimale a Decimale Ø Sia N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 16 un intero in esadecimale Ø Il valore di N è N=a n-1 16 n-1 + a n-2 16 n a a 0 Ø Definiamo i valori S n-1 = a n-1 S n-2 = a n S n-1 S n-3 = a n S n-2.. S i = a i + 16S i+1.. S 0 = N

31 Esempio 1 (01A3) 16 n=4 S 3 = a 3 = 0 S 2 = a 2 +16S 3 = = 1 S 1 = a 1 +16S 2 = = 26 S 0 = a 0 +16S 1 = = 419 S 0 = N = 419

32 Esempio 2 (10BF) 16 n=4 S 3 = a 3 = 1 S 2 = a 2 +16S 3 = = 16 S 1 = a 1 +16S 2 = = 267 S 0 = a 0 +16S 1 = = 4287 S 0 = N = 4287

33 Perché funziona? N = a n-1 16 n-1 + a n-2 16 n a a 0 = (a n-1 16 n-2 + a n-2 16 n a a 1 ) 16 + a 0 S 0 = S a 0 = ( (a n-1 16 n-3 + a n-1 16 n a 2 ) 16 + a 1 ) 16 + a S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. = (( (a n a n-2 ) a 2 ) 16 + a 1 )16 + a 0 S n-2 = S n a n-2 = (( ( (a n-1 ) 16+ a n-2 ) a 2 ) 16 + a 1 )16 + a 0 S n-1 = a n-1

34 Algoritmo di conversione: da Esadecimale a Decimale MSD=cifra più significativa N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 16 LSD=cifra meno significativa N = (( ( ( a n-1 ) 16+ a n-2 ) a 2 ) 16 + a 1 )16 + a 0 N= S 0 = S a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 Dal basso verso l alto: da a n-1 a a 0 ; da MSD a LSD S n-1 = a n-1 S n-2 = a n S n-1 S n-3 = a n S n-2.. S i = a i + 16S i+1.. S 0 = a 0 +16S 1 S 0 =N

35 Da Decimale a Esadecimale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

36 Algoritmo di conversione: da Decimale ad Esadecimale Input: N Risultato: a n-1, a n-2,, a 1, a 0, a i in {0, 1,,9,A, B,, F} Procedura inversa: dall alto verso il basso (da a 0 ad a n-1 ) N= S 0 = S a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2 S i = S i a i S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 a 0 ed S 1 sono il resto e il quoziente della divisione di N = S 0 per 16. a i ed S i+1 sono il resto e il quoziente della divisione di S i per 16. Fino ad ottenere un S i =0 Algoritmo delle divisioni successive

37 Esempio: N=419 S n-1 = a n-1 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 16??? S 0 = a 0 +16S 1 = = 419 S 1 = a 1 +16S 2 = = 26 S 2 = a 2 +16S 3 = = : 16 = 26 con resto 3 26 : 16 = 1 con resto 10 1 : 16 = 0 con resto 1 STOP N = (1A3) 16

38 Esempio: N=4287 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 16??? N 16 = 10BF 4287 = 1* * * *16 0

39 Da Binario a Esadecimale Ø Possiamo convertire un numero da Binario a Esadecimale facendo due conversioni Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

40 Da Binario a Esadecimale Esiste un metodo per passare dalla rappresentatione binaria a quella esadecimale senza passare per quella decimale?

41 Da Binario a Esadecimale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

42 Ancora magia! b = 16 rappresentazione esadecimale 2 (203) 16 = = Valore identico Convertiamolo in decimale = 515 Nemmeno questo è un caso!

43 Da Binario a Esadecimale Algoritmo Ø Raggruppa i bit 4 a 4 da destra Ø Ad ogni gruppo fai corrispondere la cifra in esadecimale (da 0 a F) Esempio = = 25F 16

44 Da Esadecimale a Binario Ø Possiamo convertire un numero da Esadecimale a Binario facendo due conversioni Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

45 Da Esadecimale a Binario Esiste un metodo per passare dalla rappresentatione esadecimale a quella binaria senza passare per quella decimale?

46 Da Esadecimale a Binario Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

47 Da Esadecimale a Binario Algoritmo Ø Ad ogni cifra in esadecimale fai corrispondere la rappresentazione binaria su 4 bit e concatena Esempio: A67 16 = =

48 Da Ottale a Esadecimale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

49 Da Ottale a Esadecimale Ø Idea: usare la codifica binaria come rappresentazione intermedia Ø =? E Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione = 23E 16

50 Da Esadecimale a Ottale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

51 Da Esadecimale a Ottale Ø Idea: usare la codifica binaria come rappresentazione intermedia Ø 1F0C 16 =? 8 1 F 0 C Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione 1F0C 16 =

52 Esercizi Ø Convertire in base 16 Ø Ø 36 8 Ø Convertire in base 2 Ø Ø 01A 16

53 Riepilogo e riferimenti Ø Rappresentazione nelle basi 2, 8, 10 e 16 e conversioni per interi Ø [P] par. 1.5

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