Quale polinomio locatore ottiene il decodificatore? Quale parola propone in uscita? Commentare la scelta del decodificatore.

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1 TIT - Esame del 21/1/2016 Una parola di BCH primitivo (15,11) con j 0 =1, è ricevuta con il bit c 4 errato Qual è il potere correttore del codice? Scrivere la Key Equation Determinare il polinomio locatore Una successiva parola è ricevuta con i bit c 4 e c 1 errati Quale polinomio locatore ottiene il decodificatore? Quale parola propone in uscita? Commentare la scelta del decodificatore

2 TIT - Esame del 18/2/2016 Due giocatori si sfidano a chi pesca la carta più bassa da un mazzo di 40 carte da gioco (con reimmissione) In caso di pareggio la prova si ripete Si consideri come risultato X il valore della carta vincente Quante sono le coppie estratte possibili? Sono equiprobabili? Quali valori può assumere X? Con che probabilità? Quanti bit occorrono, approssimativamente, per memorizzare i risultati di N prove, con N grande, senza prevedere una codifica di sorgente? Quanti con una codifica di sorgente ideale? Quanti con codifica di Shannon e quanti con codifica di Huffman per risultati X codificati singolarmente?

3 TIT - Esame del 13/4/ La sequenza c 0 = α, c1 = α, c14 = α è parola del codice Reed-Solomon (15,13) con j 0 =1? E del codice Reed-Solomon (15,5)?

4 TIT - Esame del 23/6/2016 Si consideri il codice ciclico binario di lunghezza N=15 progettato in GF(16) generato da 4 α + α + 1, con polinomio generatore: g ( x) = x + 1 Quante sono le parole di codice? Quale il rate R del codice? 5 α, α 3, α sono radici di g ( x)? Trovare tutte le radici di g ( x) Quant è la distanza minima di Hamming d garantita dal BCH bound? Dire se le seguenti parole sono di codice (giustificare le risposte): a) 5 4 x b) 6 x c) 7 6 x 5 d) x e) x + 1 f) x (tutti 1) g) x Sapendo che i primi otto termini dello spettro di Hamming del codice A w sono (1, 0, 0, 0, 30, 60, 60, 105) qual è lo spettro completo? Qual è la distanza minima di Hamming effettiva e quanto valgono quindi t e r?

5 TIT - Esame del 14/7/2016 Considerare una cella di memoria a tre livellli di carica (positiva, negativa o scarica) il cui modello di canale con ingresso e uscita ternarie ha diagramma di transizione: ε ε ε 1 ε Si assuma una distribuzione generica dell ingresso ( x) sfruttando le simmetrie del canale Determinare le entropie H ( Y ) e ( Y X ) Determinare il valore di p che minimizza ( Y X ) Determinare l informazione mutua ( X Y ) P X che sia funzione di un solo parametro p, H in funzione di p e ε H Commentare I, in funzione del parametro p Commentare l espressione ottenuta discutendo i casi ε = 0 e ε = 1 Determinare la capacità C nel caso ε = 1/ 2 Commentare il risultato ottenuto

6 TIT - Esame del 8/9/2016 Un sistema di trasmissione numerica PWM (Pulse Width Modulation) utilizza due forme d onda: s 1 t T / 2 T t T / 4 T / 2 ( t ) = A rect, s ( t ) = A rect Ogni T secondi, una delle due forme d onda, scelta in base al bit da trasmettere e ritardata opportunamente, viene inviata su canale AWGN con S N ( f ) = / 2 Quale bit rate R b si può trasmettere con questo sistema (in funzione di T)? Disegnare l andamento nel tempo delle due forme d onda, e calcolarne le energie Le due forme d onda sono antipodali? Sono ortogonali? Ricavare una base per la rappresentazione geometrica dei due segnali Disegnare la rappresentazione vettoriale delle due forme d onda e tracciare il confine delle regioni di decisione del ricevitore ML Calcolare la probabilità d errore del ricevitore ML in funzione di E b /N 0 e confrontarla con quella di un sistema 2PAM 2 N 0

7 TIT - Esame del 17/11/ Si consideri il campo di Galois GF(4) generato da ( α ) = α + α + 1 p Elencare gli elementi del campo sia in forma esponenziale che polinomiale Quanti e quali sono gli elementi primitivi? v v di elementi di GF(4) e Scegliere un elemento adatto a definire la TDF di terne [ ] scrivere le equazioni per il calcolo degli elementi trasformati V j v v distinte? Quante sono le terne [ ] Si considerino le terne [ v ] v con v i GF(4) e con TDF tale che V = 0 0 o Quante terne appartengono a tale codice? Elencarne due a titolo di esempio o E un codice ciclico? A che famiglia appartiene? o Qual è la distanza minima di Hamming tra sequenze appartenenti a questo codice? Se ne consideri ora il sottocodice formato solo dalle terne [ v ] v con v GF(2), ma con V j GF(4) definita sopra e ancora vincolata a V = 0 0 o Quante terne appartengono a questo sottocodice? Elencarne due a titolo di esempio o E un codice ciclico? A che famiglia appartiene? o Qual è la distanza minima di Hamming tra sequenze appartenenti a questo codice? v v con v GF(2), con Si consideri infine un nuovo codice formato dalle terne [ ] V j GF(4) definita sopra, ma vincolate da V 1 = 0 o Quante terne appartengono a questo sottocodice? Elencarne due a titolo di esempio o E un codice ciclico? A che famiglia appartiene? o Qual è la distanza minima di Hamming tra sequenze appartenenti a questo codice? i i