Foglio Esercizi A (interpolazione, approssimazione, integrazione)

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1 Foglio Esercizi A (interpolazione, approssimazione, integrazione) Esercizio cos( ) +, [,π ] Costruire una approssimazione f ( ) di f () utilizzando elemento di ermite a nodi non equispaziati (, π, π ) Esercizio π π cos( + ) + sin( + ), [, π ] ) Costruire una approssimazione f ( ) di f () utilizzando elementi di agrange a nodi della stessa lunghezza (disegnare la funzione approssimante e scriverne l espressione analitica) ) Determinare l ascissa (o le ascisse) in cui è massimo l errore di approssimazione π / π / ) Determinare d e confrontarlo con Esercizio ( )( 7), [,] Costruire una approssimazione f ( ) di f () utilizzando elementi di agrange della stessa lunghezza a nodi (disegnare f () e f ( ) ) Determinare l ascissa (o le ascisse) in cui è massimo l errore di approssimazione Che succede se invece si utilizza un elemento di ermite a nodi? Esercizio E data la funzione ( ), [,] Si consideri una sua approssimazione f ( ) ottenuta con elementi di agrange a nodi: il primo elemento ha nodi in e a, il secondo ha nodi in a e, essendo a (,) ) Determinare a in modo da avere il minimo errore di integrazione ) Per tale valore di a, scrivere l espressione analitica di f ( ) e determinare l ascissa (o le ascisse) in cui è massimo l errore di interpolazione

2 Esercizio 5 Si consideri un elemento di ermite a due nodi, ξ e ξ Tre dei corrispondenti polinomi di ermite sono: ( ξ -) (ξ + ) ; ( ξ -) ξ ; ξ ( ξ ) ) Determinare il quarto polinomio ) Data una funzione f (ξ ), si vuole calcolare in maniera approssimata l integrale f ( ξ ) dξ Considerare la formula di quadratura che si ottiene sostituendo alla funzione integranda il suo polinomio interpolante di ermite p (ξ ) ' ' ( ) dξ p ( ξ ) dξ f () w + f () w + f () w f () w f ξ + Determinare il peso w Esercizio 6 Nelle figure A e B è mostrato il grafico di una funzione (in verde) e di una sua interpolante polinomiale a tratti (in rosso) Nel caso A, sono stati utilizzati elementi di ermite della stessa lunghezza a nodi oppure elementi di ermite della stessa lunghezza a nodi? Perché? Nel caso B, è possibile che siano stati utilizzati elementi di agrange della stessa lunghezza a nodi? A B

3 Esercizio 7 Alcune misure hanno fornito i seguenti dati i i i i i yi ) Determinare la retta che meglio approssima i dati nel senso dei minimi quadrati ) Determinare la parabola p che interpola i primi punti e calcolare il corrispondente 5 errore ( p ( i ) y i ) i ottiene un errore differente? Esercizio 8 : + e, [,] Se si considera la parabola che interpola gli ultimi punti, si ) Costruire una approssimazione f ( ) di f () utilizzando elementi lineari della stessa lunghezza (disegnare la funzione approssimante e scriverne l espressione analitica) ) Determinare d e confrontarlo con Esercizio 9 : π π, [, π ] ) Si determini l espressione analitica della funzione f ( ), ottenuta approssimando f () con elementi di agrange a quattro nodi ) Si determini l espressione analitica della funzione f ( ), ottenuta approssimando f () con m elementi di agrange a n nodi (n>) ) Si determini l espressione analitica della funzione f ( ), ottenuta approssimando f () con elementi di ermite a due nodi ) Si determini l espressione analitica della funzione f ( ), ottenuta approssimando f () con 8 elementi di ermite a due nodi 5) Si determini l espressione analitica della funzione f ( ), ottenuta approssimando f () con 8 elementi di ermite a tre nodi Esercizio + sin(π ) + e, [,] ) Determinare l espressione analitica dell approssimazione f ( ) di f () che si ottiene utilizzando elementi di agrange della stessa lunghezza a nodi (il candidato può scegliere se utilizzare o elementi) Determinare l ascissa (o le ascisse) in cui è massimo l errore di interpolazione ) Disegnare l approssimante f ( ) di f () che si ottiene utilizzando elementi di agrange della stessa lunghezza a nodi Determinare l errore di integrazione

4 Esercizio + + [cos(π ) ], [, ] a) Determinare il polinomio interpolante di agrange Π ( ) di nodi, b) A partire da Π ( ), determinare il polinomio interpolante di agrange Π ( ) di nodi,, 5 c) Determinare i corrispondenti polinomi interpolanti di ermite Π ( ) e Π ( ) Esercizio e + + π, [,] ed il suo polinomio interpolante di agrange Π ( ) su 5 nodi equispaziati,,,, Senza calcolare l espressione analitica di Π ( ), stimare l errore di interpolazione Si ricorda che nel caso di n + nodi equispaziati a distanza h vale la stima n+ h ω n+ ( ) n! Esercizio In Figura è riportato l andamento della temperatura ad Asiago dalle : del febbraio alle : del 6 febbraio Stimare la temperatura media Fig

5 Esercizio Si considerino i dati ( i, yi), i,, N ) Mostrare che la parabola y a + a + a che meglio li approssima nel senso dei minimi quadrati si ottiene risolvendo un sistema del tipo Aa b, con a ( a, a, a) In particolare, ricavare le espressioni della matrice A e del vettore b ) Qual è il sistema da risolvere se invece che una parabola si considera una funzione del tipo a a? y + Esercizio 5 Si consideri la formula di quadratura per il calcolo approssimato di I d ottenuta con i due elementi di agrange in figura Determinare il peso w relativo al nodo b a Esercizio 6 ) Trovare, se possibile, un esempio di interpolazione polinomiale in cui ; ) Trovare, se possibile, un esempio di interpolazione polinomiale in cui e I I I ; ) Trovare, se possibile, un esempio di interpolazione polinomiale in cui e I I I ; essendo f ( ) e f ( ) i polinomi interpolanti di f () rispettivamente di agrange e di ermite (ottenuti usando gli stessi nodi), ed I e I le corrispondenti approssimazioni di b I a