Laboratorio di Calcolo Numerico Approssimazione ai minimi quadrati

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1 Laboratorio di Calcolo Numerico Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo acalomar/didattica/ Laurea in Matematica A.A Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 1 / 12

2 Approssimazione ai minimi quadrati Sia fissata una certa funzione f : Ω R R di cui è noto il valore nei punti {x k } k=1,...,n Ω. Hp. f C(Ω), Ω = (a,b) anche non limitato (per semplicità, si può generalizzare). Siano date m funzioni lin. indip. φ 1,..., φ m : Ω R R. Si cerchino a = (a j ) j=1,...,m per cui la funzione ψ (x) = m a j φ j (x) j=1 minimizza tra tutte le funzioni del tipo ψ(x) = m j=1 c jφ j (x), f ψ 2,d := n f (x k ) ψ(x k ) 2 = k=1 n f (x k ) k=1 m c j φ j (x k ) 2 j=1 La funzione ψ si dice approssimante ai minimi quadrati (discreti) di f nello spazio S = span({φ k } k=1,...,m ). Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 2 / 12

3 Approssimazione ai minimi quadrati e sistemi lineari Posto x 2 := n k=1 x k 2 e definiti V la matrice n m le cui componenti sono V i, j = φ j (x i ), y il vettore n 1 le cui componenti sono y k = f (x k ), a il vettore m 1 le cui componenti sono a k, il problema di approssimazione ai minimi quadrati consiste nel risolvere il sistema sovradeterminato V a = y cosicchè sia minima V a y 2 in quanto V a y 2 = = n y k (V a) k 2 = k=1 n f (x k ) k=1 n y k k=1 m a j φ j (x k ) 2 = f j=1 m V k, j a j 2 j=1 m a j φ j 2,d j=1 NB: Si osservi che V è rettangolare e il problema V a = y potrebbe non avere sol. classica a. Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 3 / 12

4 Minimi quadrati e polyfit Scriviamo sulla shell di Matlab/Octave help polyfit. In una recente release di Matlab appare POLYFIT F i t p o l y n o m i a l to data. POLYFIT(X, Y,N) f i n d s t h e c o e f f i c i e n t s o f a p o l y n o m i a l P(X) o f d e g r e e N t h a t f i t s t h e data, P(X( I ) ) =Y( I ), i n a l e a s t s q u a r e s s e n s e. In altri termini polyfit calcola i coefficienti del polinomio p N di grado N che meglio approssima (in norma 2 discreta) la funzione f avente nel vettore di nodi X i valori Y (cioè Y (i) := f (X(i))). Operativamente si cerca il polinomio p N per cui risulta minima f p N 2,d = f (x i ) p N (x i ) 2. i Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 4 / 12

5 Minimi quadrati e previsioni Problema Si vuole trovare una funzione che modellizzi la crescita della popolazione degli Stati Uniti di America. I dati a disposizione sono le misurazioni del numero di abitanti effettuate negli anni dal 1900 al % Anni i n c u i sono s t a t e e s e g u i t e l e m i s u r a z i o n i x= : 1 0 : ; % D a t i i n m i l i o n i d i a b i t a n t i y =[ ] ; y v e r o= ; % m i l i o n i d i a b i t a n t i x e s t r a p =2010; A partire da questi dati si vuole stimare il numero di abitanti nell anno 2010, e confrontarlo con il valore rilevato nel censimento effettuato in tale anno che era di abitanti. Lo script census.m risolve il problema usando minimi quadrati. Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 5 / 12

6 Minimi quadrati e smoothing Digitiamo sulla shell di Matlab >> x = 0 : : 2 p i ; >> y=s i n (2 x ) +(10ˆ( 1) ) randn ( s i z e ( x ) ) ; >> p l o t ( x, y, r ) ; Interpretazione: perturbazione della funzione sin(2x) nell intervallo [0, 2π]. Necessità: ricostruire sin(2x) (e non funz. perturbata). Nota: non ha senso utilizzare un interpolante polinomiale p di grado n nè una spline interpolante visto che ricostruirebbero la funzione perturbata. Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 6 / 12

7 Ricostruzione di sin(2x) mediante minimi quadrati x=l i n s p a c e ( 0, 2 pi, ) ; y=s i n (2 x ) ; % y v a l o r i d e l l a f u n z i o n e s i n (2 x ) i n [ 0, 2 p i ] yy=y +(10ˆ( 1) ) randn ( s i z e ( x ) ) ;% yy v a l o r i d e l l a f u n z i o n e p e r t u r b a t a % p o l i n o m i d i a p p r o s s i m a z i o n e a i minimi q u a d r a t i d i grado 2 a 8 f o r n =1:2:9 c o e f f=p o l y f i t ( x, yy, n ) ; % COEFFS. BEST APPROX (B. A. ) z=p o l y v a l ( c o e f f, x ) ; % VALORE B. A. NEI NODI x. p l o t ( x, yy, r., x, z, k ) ; e r r 2=norm ( z y, 2 ) ; e r r 2 p=norm ( z yy, 2 ) ; % ERRS. IN NORMA 2 e r r i n f=norm ( z y, i n f ) ; e r r i n f p=norm ( z yy, i n f ) ; % ERRS. IN NORMA INF f p r i n t f ( \n\ t [DEG] : % 2. 0 f, n ) ; f p r i n t f ( [ 2 ] : % 2. 2 e %2.2 e, e r r 2, e r r 2 p ) ; f p r i n t f ( [ INF ] : % 2. 2 e %2.2 e, e r r i n f, e r r i n f p ) ; pause ( 4 ) ; end f p r i n t f ( \n \n ) ; Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 7 / 12

8 Plot risultati Figura: Grafico che illustra l approssimazione ai minimi quadrati di grado 9 su una perturbazione della funzione sin(2x) (campionamento in nodi equispaziati)). Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 8 / 12

9 Nota: polyfit e interpolazione Supponiamo fissati i punti {x k } k=1,...,m (a due a due distinti) e sia p m 1 il polinomio che interpola le coppie (x k, f (x k )) per k = 1,...,m. Evidentemente da f (x i ) = p m 1 (x i ) per i = 1,...,m abbiamo f p m 1 2,d = m f (x i ) p m 1 (x i ) 2 = 0, i=1 e quindi il polinomio interpolatore risulta la approssimante ai minimi quadrati di f (relativa alla norma 2 discreta basata sui punti {x k } k=1,...,m ). Di conseguenza, il comando coeffs=polyfit(x,y,n-1) darà i coefficienti del polinomio interpolatore qualora i vettori x, y abbiano dimensione n. Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 9 / 12

10 Biomeccanica (Esercizio facoltativo) Nella tabella seguente vengono riportati i risultati di un esperimento eseguito per individuare il legame tra lo sforzo e la relativa deformazione di un tessuto biologico (un disco intervertebrale). Partendo dai dati riportati in tabella si vuole stimare la deformazione ε corrispondente ad uno sforzo σ = 0.7 MPa 1 σ ε Si approssimino i dati sperimentali mediante la retta di approssimazione ai minimi quadrati. Utlizzando tale retta stimare ε(0.7). 2 Si approssimino i dati sperimentali mediante la parabola di approssimazione ai minimi quadrati. Utlizzando tale parabola stimare ε(0.7). 3 Si rappresenti in un unico grafico i punti sperimentali, i due polinomi e il punto (0.7,0.29), dove 0.29 corrisponde alla deformazione osservata dopo una sollecitazione di 0.7 MPa. Per entrambi i pol. di approssimazione, si calcoli la radice quadrata della somma dei quadrati 7 i=1 (P m (σ i ) ε i ) 2 Quale dei due polinomi di approssimazione descrive meglio i dati sperimentali? Si giustifichi bene la risposta. 1 Il pascal (simbolo: Pa) è un unità di misura della sollecitazione e come caso particolare della pressione. È equivalente a un newton su metro quadrato. L unità di misura prende il nome da Blaise Pascal, matematico, fisico e filosofo francese. Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 10 / 12

11 Biomeccanica (Esercizio facoltativo) 1 Si modifichi lo script usato per risolvere l esercizio precedente in modo che includa il calcolo del polinomio di interpolazione che passa per i punti della tabella. 2 Si stimi il valore della deformazione ε(0.7) usando il polinomio interpolante. 3 Si includa nel grafico precedente anche il polinomio di interpolazione. È accettabile il valore previsto usando l interpolante? Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 11 / 12

12 Plot dei risultati da ottenere punti retta parabola interpolante valore vero Calcolo Numerico (LTM) (A.A ) Approssimazione ai minimi quadrati Ángeles Martínez Calomardo 12 / 12