Interpolazione polinomiale

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1 Interpolazione polinomiale Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata 27 marzo 2019 Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 1/ 36

2 Interpolazione polinomiale Problema. (Interpolazione polinomiale) Siano dati n + 1 punti x 0,..., x n a due a due distinti e i valori y 0,..., y n (assunti ad esempio da una funzione y = f (x)). Il problema dell interpolazione polinomiale (cf. [1, p.131], [6, p.289]) consiste nel calcolare il polinomio p n di grado n tale che p n(x i ) = y i, i = 0,..., n. (1) Esempio. Dati 2 punti distinti x 0, x 1 e i valori y 0, y 1, determinare il polinomio p 1 di grado 1 tale che p 1(x 0) = y 0, p 1(x 1) = y 1 (2) ovvero la retta che passa per le coppie (x 0, y 0), (x 1, y 1). In questa sezione mostreremo che questo polinomio interpolatore p n esiste ed è unico e come calcolarlo. Di seguito denoteremo con P n l insieme dei polinomi il cui grado è al più n. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 2/ 36

3 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore 7 6 f(x)=exp(x).*sin(x)+cos(x) polinomio cubico interpolatore punti interpolazione Figura: Esempio di interpolazione della funzione f (x) = exp(x) sin(x) + cos(x) mediante un polinomio di grado 3 in 4 punti equispaziati di [0, π]. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 3/ 36

4 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Teorema (Unicità del polinomio interpolatore) Dati n + 1 punti distinti x 0, x 1,..., x n e i valori y 0, y 1,..., y n m il polinomio p n di grado al più n tale che è al più unico. p n (x i ) = y i, i = 0,..., n. Dimostrazione. La dimostrazione procede per assurdo. Supponiamo che esistano due polinomi distinti p n e q n di grado al più n tali che Allora p n (x i ) = y i, q n (x i ) = y i, i = 0,..., n. (p n q n )(x i ) = 0, i = 0,..., n. e quindi (p n q n )(x) = n k=0 (x x k) è un polinomio di grado n + 1, il che è assurdo, visto che la differenza di due polinomi di grado n è un polinomio di grado n. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 4/ 36

5 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Per studiare l esistenza del polinomio interpolatore, Lagrange (cf. [9]) osservò che il polinomio di grado n L k (x) := n j=0,j k x x j x k x j = (x x 0)... (x x k 1 )(x x k+1 )... (x x n ) (x k x 0 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x n ) (3) è tale che L k (x j ) = δ kj dove δ kj è l operatore di Kronecker, il cui valore è 1 se k = j e 0 altrimenti. Teorema (Unicità del polinomio interpolatore) Dati n + 1 punti distinti x 0, x 1,..., x n e i valori y 0, y 1,..., y n, il polinomio di grado al più n n p n (x) = y k L k (x). (4) è tale che k=0 p n (x i ) = y i, i = 0,..., n. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 5/ 36

6 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Dimostrazione. Poichè L k è un polinomio di grado al più n, lo è certamente lo stesso moltiplicato per lo scalare y k e la somma di polinomi di grado al più n. Quindi sicuramente p n P n. Inoltre p n interpola i dati visto che p n (x j ) = n y k L k (x j ) = k=0 n y k δ k,j = y j, j = 0,..., n. (5) k=0 Quindi p n è un polinomio interpolatore. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 6/ 36

7 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Nota. 1 Il teorema precedente è costruttivo, non solo permette di stabilire l esistenza del polinomio interpolatore, ma ne evidenzia un metodo di calcolo. 2 Si osservi inoltre come ogni termine della sommatoria p n (x) = n k=0 y kl k (x) separa (in qualche senso) il contributo delle ordinate y k da quello dei polinomi di Lagrange L k essenzialmente dipendenti dai punti {x j } j=0,...,n (si rifletta bene su questa affermazione). 3 Esistono altre dimostrazioni dell esistenza e unicità del polinomio interpolatore. Ad esempio, ciò è equivalente a mostrare che il sistema lineare Va = y dove V = (v i,j ) = (x j i ), 0 i, j n è detta matrice di Vandermonde [13] dei nodi di interpolazione, a = (a 0,..., a n ) T, y = (y 0,..., y n ) T, ha una e una sola soluzione, ovvero che il det(v ) 0. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 7/ 36

8 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Figura: I polinomi di Lagrange L 0, L 1, L 2 relativi ai punti x 0 = 2, x 1 = 1, x 2 = 3. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 8/ 36

9 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Esempio. Calcolare il polinomio di grado 2 che assume nei nodi x 0 = 2, x 1 = 1, x 2 = 3 rispettivamente i valori f 0 = 2, f 1 = 11, f 2 = 17. Come si vede dalla definizione, L 0 (x) = L 1 (x) = L 2 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) = = (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) ( 2 1)( 2 3) 15 (x x 0 )(x x 2 ) (x ( 2))(x 3) (x + 2)(x 3) = = (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) (1 ( 2))(1 3) 6 (x x 0 )(x x 1 ) (x ( 2))(x 1) (x + 2)(x 1) = = (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) (3 ( 2))(3 1) 10 I polinomi L 0, L 1, L 2 P 2 (e quindi tali le loro combinazioni lineari), e L 0 (x 0 ) = L 0 ( 2) = 1, L 0 (x 1 ) = L 0 (1) = 0, L 0 (x 2 ) = L 0 (3) = 0 L 1 (x 1 ) = L 1 (1) = 1, L 1 (x 0 ) = L 1 ( 2) = 0, L 1 (x 2 ) = L 1 (3) = 0 L 2 (x 2 ) = L 2 (3) = 1, L 2 (x 0 ) = L 2 ( 2) = 0, L 2 (x 1 ) = L 2 (1) = 0 Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 9/ 36

10 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Inoltre il polinomio interpolatore risulta p 2 (x) = 2 L 0 (x) + 11 L 1 (x) + 17 L 2 (x) è tale che p(x 0 ) = 2 L 0 (x 0 ) + 11 L 1 (x 0 ) + 17 L 2 (x 0 ) = = 2, p(x 1 ) = 2 L 0 (x 1 ) + 11 L 1 (x 1 ) + 17 L 2 (x 1 ) = = 11, p(x 2 ) = 2 L 0 (x 2 ) + 11 L 1 (x 2 ) + 17 L 2 (x 2 ) = = 17, e quindi è proprio il polinomio interpolante cercato. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 10/ 36

11 Esistenza e unicità del polinomio interpolatore Nota. Dal punto di vista pratico, (4) ha alcuni problemi. Se dopo aver calcolato il polinomio p N interpolante in N + 1 punti (x 0, y 0 ),..., (x N, y N ) desideriamo ottenere il polinomio p N+1 interpolante in N + 2 punti (x 0, y 0 ),..., (x N, y N ), (x N+1, y N+1 ) la formula (4) è inefficiente poichè bisogna ricalcolare da capo tutti i polinomi di Lagrange. Fortunatamente, esistono altre maniere di esprimere il polinomio interpolatore, come quella di Newton (cf. [1, p.138], [6, p.294], [8], [10]), che non risentono di questo problema. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 11/ 36

12 Errore di interpolazione Per quanto concerne l errore compiuto nell approssimare una funzione f con il polinomio p n tale che y k = f (x k ), k = 0,..., n vale il seguente teorema [4, p.70], Teorema (Errore di interpolazione, Cauchy (1840)) Sia f C n+1 ([a, b]) e si supponga che x 0,..., x n [a, b] siano a 2 a 2 distinti e che il polinomio p n sia tale che Allora p n (x k ) = f (x k ), k = 0,..., n. n E n [f ](x) := f (x) p n (x) = f (n+1) i=0 (ξ) (x x i) (n + 1)! dove ξ I con I il più piccolo intervallo aperto contenente x 0,..., x n. (6) Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 12/ 36

13 Interpolazione polinomiale Teorema (Rolle) Sia f una funzione continua definita in un intervallo chiuso [a, b], derivabile in ogni punto dell intervallo aperto (a, b), tale che f (a) = f (b). Allora esiste almeno un punto c (a, b) in cui f (c) = 0. Dimostrazione. (Errore di interpolazione, Cauchy (1840)) Se x = x i, per qualche i, l asserto è ovvio. Altrimenti, sia x x i, i = 0,..., n e poniamo per z [a, b] dove G(z) = E n [f ](z) w(z)q(x), (7) w(z) = n i=0 (z x i) è un polinomio di grado n + 1, Q(x) = E n [f ](x)/w(x). Si noti che in (7) la funzione Q viene valutata in x e non in z. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 13/ 36

14 Interpolazione polinomiale Osserviamo che essendo G(z) = E n [f ](z) w(z)q(x), ove E n [f ](z) := f (z) p n (z), w(z) = n i=0 (z x i) è un polinomio di grado n + 1, Q(x) = E n [f ](x)/w(x). abbiamo G(x) =E n [f ](x) w(x)q(x) = E n [f ](x) w(x)(e n [f ](x)/w(x)) = 0, e che per k = 0,..., n Dato che G(x k ) = E n [f ](x k ) w(x k )Q(x) = 0 0 Q(x) = 0. f C n+1 ([a, b]), p n C ([a, b]), sicuramente E n [f ] C n+1 ([a, b]), w C ([a, b]), Q(x) è un numero (si osservi che Q non dipende da z), deduciamo che G C n+1 ([a, b]) e si annulla in n + 2 punti. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 14/ 36

15 Interpolazione polinomiale Sia I(x, x 0,..., x n ) il più piccolo intervallo aperto contenente x, x 0,..., x n. Per il teorema di Rolle [12], visto che G si annulla in n + 2 punti, allora G (1) si annulla in n + 1 punti di I(x, x 0,..., x n ), G (2) si annulla in n punti di I(x, x 0,..., x n ), G (k) si annulla in n + 2 k punti di I(x, x 0,..., x n ), G (n+1) si annulla in 1 punto ξ di I(x, x 0,..., x n ). Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 15/ 36

16 Interpolazione polinomiale Indicata con D n f la derivata n-sima di f, abbiamo D n+1 p n 0 (p n ha grado n), D n+1 w 0 (w ha grado n), visto che Q(x) è costante (non dipende da z), G(z) = E n[f ](z) w(z)q(x), G (n+1) (z) = D n+1 E n[f ](z) Q(x)D n+1 w(z) = D n+1 (f (z) p n(z)) Q(x)D n+1 w(z) = f (n+1) (z) Q(x) (n + 1)! (8) Da Q(x) = E n[f ](x)/w(x) 0 = G (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) Q(x) (n + 1)! = f (n+1) En[f ](x) (ξ) (n + 1)! w(x) per cui riarrangiando i termini E n[f ](x) = f (n+1) (ξ) w(x) n (n + 1)! = f (n+1) i=0 (ξ) (x x i). (n + 1)! Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 16/ 36

17 Interpolazione polinomiale Nota. Si osservi che è noto che esiste ξ ma non si sa dire in generale chi sia. Quindi non si può dire esattamente quanto sia l errore compiuto. Se è nota M = max s [a,b] f (n+1) (s) è comunque possibile stimare l errore compiuto da E n [f ](x) = f (n+1) (ξ) n i=0 (x x i) (n + 1)! M n i=0 (x x i). (n + 1)! Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 17/ 36

18 Interpolazione polinomiale Esempio. Sia f (x) = exp(x) sia p 4 il polinomio che la interpola nei punti equispaziati x i = 1 + 2i/4, i = 0,..., 4. Stimare l errore di interpolazione. Essendo f (k) (x) = exp(x), per k = 0, 1,... ed exp(x) una funzione crescente, abbiamo M = f (5) = max exp(x) = exp(1) x [ 1,1] Inoltre, come si può vedere dal grafico in figura, 4 i=0 x x i Visto che 5! = 120, abbiamo che se E n[f ] è il massimo errore compiuto in [ 1, 1] nell approssimare la funzione f con l interpolante p 4 nei nodi equispaziati {x i } i=0,...,4, dal teorema 0.3, fissato x [ 1, 1] n E 4 [f ](x) = f (n+1) i=0 (ξ) (x x i ) (n + 1)! exp(1) L esperimento numerico in figura mostra che in effetti l errore è minore di < Si osservi come il grafico sia tale che E 4 [f ] si annulla ovviamente nei 5 punti di interpolazione x i, i = 0,..., 4. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 18/ 36

19 Interpolazione polinomiale Figura: A sinistra, il grafico di 4 i=0 x x i dove x i = 1 + 2i/4, i = 0,..., 4. A destra, il grafico dell errore E n[f ] in [ 1, 1] che evidentemente è sempre minore di Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 19/ 36

20 Convergenza dell interpolazione polinomiale Un serio problema riguarda la scelta dei punti in cui interpolare la funzione continua f : [a, b] R. Mostriamo alcuni casi notevoli. 1 nodi equispaziati: fissato n, i punti sono x k = a + k (b a), k = 0,..., n; (9) n 2 nodi di Chebyshev (scalati) [6, p.294], [11]: fissato n, i punti sono con (a + b) (b a) x k = + t k, k = 0,..., n 2 2 (10) ( ) 2k + 1 t k = cos 2n + 2 π, k = 0,..., n; (11) 3 nodi di Chebyshev-Lobatto (scalati) [6, p.295]: fissato n, i punti sono con x k = (a + b) 2 t k = cos (b a) + t k, k = 0,..., n 2 (12) ( ) kπ, k = 0,..., n; n (13) Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 20/ 36

21 Convergenza dell interpolazione polinomiale Nota. Il set di n + 1 punti di Chebyshev-Lobatto in [ 1, 1], quindi utili per l interpolazione polinomiale a grado n, come si vede in figura per n = 6, si ottengono proiettando i punti equispaziati nell angolo della semicirconferenza γ = {(cos(θ), sin(θ)) : θ [0, π]} sull asse delle ascisse. Figura: Interpretazione geometrica dell insieme dei punti di Chebyshev-Lobatto utili per determinare un interpolante polinomiale di grado n = 6. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 21/ 36

22 Convergenza dell interpolazione polinomiale Una delle questioni rilevanti è se aumentando il numero di nodi, la successione di polinomi interpolatori p n converge uniformemente alla funzione f da approssimare, ovvero lim n max f (x) p n(x) = 0 x [a,b] dove < a < b < +. Consideriamo il caso dei punti equispaziati in [a, b], e osserviamo che la stima dell errore di interpolazione porge, visto che ξ (a, b), e quindi f (x) p n (x) = f (n+1) (ξ) n i=0 (x x i) (n + 1)! max f (n+1) (s) s [a,b] max f (x) p n(x) max f (n+1) (s) max x [a,b] s [a,b] x [a,b] n i=0 (x x i) (n + 1)! n i=0 (x x i) (n + 1)! (14) Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 22/ 36

23 Convergenza dell interpolazione polinomiale Da max f (x) p n(x) max f (n+1) (s) max x [a,b] s [a,b] x [a,b] n i=0 (x x i) (n + 1)! se max s [a,b] f (n+1) (s) è sufficientemente grande per ogni n, allora potrebbe accadere che max f (n+1) (s) max s [a,b] x [a,b] n i=0 (x x i) (n + 1)! non sia infinitesima per n + e quindi che possa succedere che non converga a 0. E n [f ] := max x [a,b] f (x) p n(x) Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 23/ 36

24 Convergenza dell interpolazione polinomiale In generale, Teorema (Teorema di Faber (1914)) Per ogni distribuzione di nodi esiste almeno una funzione f C([a, b]), < a < b +, tale che l errore di interpolazione E n [f ] non converge a 0 per n +. Per contro Teorema Per ogni funzione f C([a, b]), < a < b +, esiste almeno una distribuzione di nodi tale che E n [f ] 0 per n +. e Teorema (Teorema di Bernstein) Per ogni funzione f C 1 ([a, b]), < a < b +, allora se p n è l interpolante di f in n + 1 nodi di Chebyshev, E n [f ] 0 per n +. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 24/ 36

25 Controesempio di Runge Esempio. Sia f la funzione di Runge (scoperta nel 1901) f (x) = 1, x [ 5, 5]. (15) 1 + x 2 Si dimostra che il polinomio p n che interpola f in n + 1 nodi equispaziati, non converge uniformemente a f (vedasi relativa figura, e le forti differenze tra p n e f vicino agli estremi 5, 5). Nelle tabelle e figure che seguono, illustriamo il fenomeno di Runge, e di come l interpolante in nodi equispaziati non converga uniformemente alla funzione di Runge nell intervallo [ 5, 5], nonostante la stessa appartenga a C ([ 5, 5]). Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 25/ 36

26 Controesempio di Runge 2 runge intp. eq Figura: Grafico che illustra il polinomio interpolante di grado 12 su 13 nodi equispaziati della funzione di Runge, (la funzione ha la linea continua, il polinomio interpolatore è tratteggiato, si osservino le oscillazioni agli estremi). Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 26/ 36

27 Controesempio di Runge Fortunatamente ciò non succede in questo caso per i nodi di Chebyshev, per cui comunque esistono funzioni continue f ma non di classe C 1 tali che l interpolante p n non converge puntualmente a f. Nel controesempio di Runge in cui f (x) = 1 1+x 2, in virtù del teorema di Bernstein, essendo f C ([ 5, 5]) e quindi in particolare f C 1 ([ 5, 5]), possiamo affermare che se i nodi di interpolazione sono quelli di Chebyshev allora E n [f ] 0. In effetti in tabella, si vede che l errore in tali set di nodi ha numericamente tale proprietà, differentemente dall interpolante in nodi equispaziati. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 27/ 36

28 Controesempio di Runge n E e n E c n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 09 Tabella: Grado n ed errore E n[f ] con p n interpolante f risp. in n + 1 nodi equispaziati e di Chebyshev (denotato rispettivamente con E e n, Ec n ). Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 28/ 36

29 Controesempio di Runge Figura: Grado n ed errore E n[f ] = max x [ 5,5] f (x) p n(x) con p n interpolante f rispettivamente in n + 1 nodi equispaziati (figura a sinistra) e di Chebyshev (figura a destra), in scala semilogaritmica. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 29/ 36

30 Stabilità dell interpolazione polinomiale Sia f C([a, b]), con [a, b] intervallo chiuso e limitato e si consideri il polinomio p n P n che interpola le coppie (x k, f (x k )) (per k = 0,..., n, x k a due a due distinti). Si ponga per semplicità di notazione f k := f (x k ). Come è noto, indicato con L k il k-simo polinomio di Lagrange, si ha con n p n (x) = f k L k (x) k=0 L k (x) = (x x j )/ k x j ). j k j k(x Supponiamo che i valori di f k siano perturbati (per esempio per via dell arrotondamento del numero) e sostituiti con f k. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 30/ 36

31 Stabilità dell interpolazione polinomiale Quindi il polinomio interpolatore è p n (x) = n f k=0 k L k (x). Essendo p n (x) = n k=0 f kl k (x) abbiamo che p n (x) p n (x) = k=0 n (f k f k )L k (x) da cui n ( ) n p n (x) p n (x) f k f k L k (x) max f k f k L k (x) k e k=0 ( ) max p n(x) p n (x) max f k f k x [a,b] k max x [a,b] k=0 k=0 n L k (x) Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 31/ 36

32 Stabilità dell interpolazione polinomiale Quindi posto da Λ n = max x [a,b] k=0 p n p n := max x [a,b] p n(x) p n (x) ricaviamo n L k (x) ( ) max f k f k k ( ) p n p n max f k f k k Λ n. max x [a,b] k=0 n L k (x) Osserviamo che il numero Λ n dipende esclusivamente dai polinomi di Lagrange e quindi esclusivamente dai punti di interpolazione. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 32/ 36

33 Costanti di Lebesgue Il valore Λ n è nota come costante di Lebesgue (1910) dell insieme di punti x 0,..., x n ). Si vede immediatamente che è un indice di stabilità dell interpolazione di Lagrange: più è piccola e più l approssimazione è stabile (cf. [2, p ]). Vediamo ora quali sono le stime delle costanti di Lebesgue per alcuni set di n + 1 punti nell intervallo [ 1, 1]: punti equispaziati: si dimostra che asintoticamente (Turetskii, 1940) Λ n 2n+1 en log(n) ; ( ) (2k 1)π 2(n+1) dove punti di Chebyshev: corrispondono a cos k = 1,..., n + 1; si dimostra che asintoticamente Λ n = 2 ( ( )) ( 8 log(n + 1) + γ + log + O π π dove γ è la costante di Eulero-Mascheroni; Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 33/ 36 1 (n + 1) 2 )

34 Costanti di Lebesgue n Λ eq n Λ ch n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e + 00 Tabella: Valore n e costanti di Lebesgue in n punti equispaziati di [ 1, 1] e nei punti di Chebyshev cos((2k 1 π/(2 n))), k = 1,..., n. Se ne evince la maggiore stabilità dell interpolazione nei nodi di Chebyshev. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 34/ 36

35 Bibliografia I K. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Wiley, (1989). V. Comincioli, Analisi Numerica, metodi modelli applicazioni, Mc Graw-Hill, W. Gautschi, Interpolation before and after Lagrange, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, Vol. 70, 4 (2012), pp A. Quarteroni, Elementi di calcolo scientifico, Progetto Leonardo, A. Quarteroni e F. Saleri, Introduzione al calcolo scientifico, Springer Verlag, A. Quarteroni, R. Sacco e F. Saleri, Matematica numerica, Springer Verlag, Wikipedia, Fenomeno di Runge, di Runge. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 35/ 36

36 Bibliografia II Wikipedia, Interpolazione polinomiale, polinomiale. Wikipedia, Interpolazione di Lagrange, di Lagrange Wikipedia, Newton polynomial, polynomial. Wikipedia, Nodi di Chebyshev, di Chebyshev. Wikipedia, Teorema di Rolle, di Rolle Wikipedia, Vandermonde matrix, matrix. Alvise Sommariva Interpolazione polinomiale 36/ 36