Trasmissione numerica: Compito del 22/07/2008

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1 Trasmissione numerica: Compito del /07/008 1 Esercizio1 Sia dato un sistema di trasmissione numerica che utilizza un impulso di trasmissione g(t) a radice di coseno rialzato, e una costellazione PAM con valori c k = d k d k 1 + d k dove d k sono variabili indipendenti ed equiprobabili appartenenti all alfabeto { 1, 1}. Assumendo che il canale abbia banda infinita (nessuna distorsione sulla forma d onda), e che il ricevitore effettui un filtraggio adattato ideale con perfetto sincronismo (portante/fase/simbolo) si ricavi: 1) La costellazione dei simboli trasmessi con le rispettive probabilita per simbolo ) La Densita spettrale (DS) di potenza del segnale e il valore di E s / 3) La regola di decisione ottima e la probabilita d errore per simbolo sui simboli c k assumendo che il decisore decida simbolo a simbolo senza tener conto della correlazione fra i simboli 4) La regola di decisione ottima e la probabilita d errore per simbolo assumendo che il decisore decida il simboo k-simo conoscendo esattamente il valore dei simboli d k 1 e d k Svolgimento: 1) Per trovare la costellazione occorre valutare tutti i possibili c k che si ottengono in corrispondenza di tutti i possibili d k : {d k, d k 1, d k } = {1, 1, 1} c k = 1 {d k, d k 1, d k } = {1, 1, 1} c k = 1 {d k, d k 1, d k } = {1, 1, 1} c k = 3 {d k, d k 1, d k } = {1, 1, 1} c k = 1 {d k, d k 1, d k } = { 1, 1, 1} c k = 1 {d k, d k 1, d k } = { 1, 1, 1} c k = 3 {d k, d k 1, d k } = { 1, 1, 1} c k = 1 {d k, d k 1, d k } = { 1, 1, 1} c k = 1 Si osserva quindi che il simbolo c k appartiene a una costellazione PAM a 4 livelli con probabilita non uniforme: P r{c k = 1} = 3/8 P r{c k = 1} = 3/8 P r{c k = 3} = 1/8 P r{c k = 3} = 1/8 ) La DS del segnale trasmesso e S s (f) = 1 T S c(f) G(f) dove T e il tempo di simbolo, G(f) e la trasformata di Fourier dell impulso a radice di coseno rialzato, mentre S c (f) e : S c (f) = m= R c (m)e jπmft

2 e R c (m) e R c (m) = E{c i+m c i } Occorre dunque calcolare l autocorrelazione dei simboli. Per m = 0 si ha: R c (0) = = 3. Per m = ±1 l autocorrelazione e facilmente ricavabile ossevando che: R c (±1) = E{(d k d k 1 + d k ) (d k 1 d k + d k 3 )} = E{ d k 1 d k } = Analogamente e facile ricavare R c (±) = 1 e R c (m) = 0 per m >. Si puo quindi scrivere: S c (f) = 3 e jπmft e jπmft + e j4πmft + e j4πmft = 3 4cos(πfT ) + cos(4πft ) Per ricavare l energia per simbolo basta osservare: E s = 1 T 0 E {s (t)} dt dove s(t) e il segnale trasmesso che vale: s(t) = k c k g(t kt ) da cui e facile ricavare: T E s = 1 R c (i k) g(t it )g(t kt )dt Per le proprieta dell impuso in banda base (non introduce ISI), si ha i k 0 T 0 g(t it )g(t kt )dt = { 1 i = k 0 altrimenti Si ha quindi per finire: E s = 1 R c(0) = 3 3) Date le ipotesi sul canale il segnale ricevuto a valle del campionatore ideale che segue il filtro adattato e : x k = c k + n k com n k rumore bianco Gaussiano reale (il segnale e reale) con varianza. Se non si tiene conto della correlazione e si decide bit a bit la regola di decisione ottima e : [ ] ĉ k = arg max 1 πn0 e (x k c k ) P r{c k } c k che rielaborando puo essere facilmente scritto come: [ ] ĉ k = arg max x k c k c k + log e (P r{c k }) c k

3 3 Ovvero, il ricevitore deve valutare: Metrica relativa a simbolo 1: µ(1) = x k 1 + log e ( 3 8) Metrica relativa a simbolo -1: µ( 1) = x k 1 + log e ( 3 8) Metrica relativa a simbolo 3: µ(3) = 3x k 9 + log e ( 1 8) Metrica relativa a simbolo -3: µ( 3) = 3x k 9 + log e ( 1 8) E scegliere il simbolo per il quale la metrica e massima. Per calcolare la probabilita d errore occorre condizionarsi ai vari simboli trasmessi. Iniziamo col caso c k = 1 e troviamo P e 1. L evento errore nel caso in questione e l unione degli eventi errori: µ(1) < µ( 1), µ(1) < µ(3), µ(1) < µ( 3). Sviluppando si ha: µ(1) < µ( 1) x k < 0 µ(1) < µ( 3) x k < 1 log e ( 1 3) µ(1) < µ(3) x k > + log e (3) Poiche il secondo evento e ovviamente compreso nel primo si puo scrivere facilmente: P e 1 = P r{x k < 0} + P r{x k > + log e (3)}. Essendo in questo caso x k = 1 + n k e facile ricavare: ( ) ( 1 1+ P e 1 = Q N0 + Q log e(3) N0 ). Passiamo ora al caso c k = 3 e troviamo P e 3. Con ragionamenti del tutto analoghi a prima si ricava facilmente: P e 3 = P r{x k < + ( log e (3)}. Essendo in questo caso x k = 3 + n k e facile ricavare: 1+ P e 3 = Q log e (3) N0 ). Per ragioni di simmetria e infine immediato ricavare P e 1 = P e 1 e P e 3 = P e 3, ovvero mediando sulle probabilita dei simboli: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P e = 3 Q 1 4 N0 + 3Q 1+ log e (3) 4 N0 + 1Q 1+ log e (3) 4 N0 = 3 Q N0 + Q log e (3) N0. 4) La conoscenza dei simboli precedenti d k 1 e d k fa si che il problema si restringa alla stima del simbolo d k, ovvero diventa un problema molto banale di stima di un simbolo ±1. In particolare, date le ipotesi sul canale il segnale ricevuto a valle del campionatore ideale che segue il filtro adattato e : x k = d k + d k 1 + d k + n k com n k rumore bianco Gaussiano reale (il segnale e reale) con varianza. La regola di decisione ottima e :

4 4 che rielaborando diventa: ˆd k = arg max d k [ 1 πn0 e (x k d k d k 1 d k ) ] ˆd k = arg max [(x k d k 1 d k )] d k d k Ovvero, il problema e del tutto identico a un classico problema di stima per modulazione BPSK, con la sola differenza che la variabile di decisione non e x k ma x k d k 1 d k = d k + n k. La regola di decisione e dunque: ˆd k = sign [x k d k 1 d k ] ( 1 E la probabilita d errore molto semplicemente diventa P e = Q N0 ). Esercizio Si consideri un codice di canale di tipo prodotto costruito nel seguente modo. Al tempo k-simo in ingresso al codificatore si hanno 4 bit b k,0, b k,1, b k,, b k,3. A partire da tali bit il codificatore costruisce 4 bit di parita p k,0 = b k,0 b k,1, p k,1 = b k, b k,3, p k, = b k,0 b k,, p k,3 = b k,1 b k,3, dove indica l operazione somma modulo (xor). 1) Valutare lo spettro dei pesi delle parole di codice w m (si ricorda che w m rappresenta il peso della parola m-sima, con m = 1,..., k dove k e la lunghezza della parola informativa). ) Assumendo di inviare i bit codificati dal codice suddetto utilizzando una modulazione BPSK, valutare un limite superiore della probabilita d errore per bit in funzione di E b / nel caso di decodifica soft, e confrontare il risultato ottenuto con il caso BPSK non codificato per E b / = 3 db, e E b / = 10 db (si utilizzi la maggiorazione Q( x) e x ). 3) Si assuma di inviare la sequenza di bit b k,0 = 0, b k,1 = 0, b k, = 0, b k,3 = 0 con i rispettivi bit di parita utilizzando una modulazione BPSK (0 1, 1 1) e di avere a valle del filtro adattato dei campioni di rumore pari a {1., 0.1, 0.6, 1.3, 0.1, 0., 1.8, 0.1} (sono i campioni di rumore relativi alla versione antipodale della parola di codice presa nell ordine b k,0, b k,1, b k,, b k,3, p k,0, p k,1, p k,, p k,3 }). Si ricavi la stima della sequenza ricevuta a massima verosimiglianza. 4) Si assuma di inviare la sequenza di bit b k,0 = 0, b k,1 = 0, b k, = 0, b k,3 = 0 con i rispettivi bit di parita utilizzando una modulazione BPSK (0 1, 1 1) e di avere a valle del filtro adattato dei campioni di rumore pari a {1., 0.1, 0.6, 1.3, 0.1, 0., 1.8, 0.1} (sono i campioni di rumore relativi alla versione antipodale della parola di codice presa nell ordine b k,0, b k,1, b k,, b k,3, p k,0, p k,1, p k,, p k,3 }). Si ricavi la stima della sequenza ricevuta utilizzando la tecnica del message passing assumendo un valore di = 0.5 e considerando due iterazioni. Svolgimento: 1) Si osserva immediatamente che il codice e un codice lineare con k = 4 e n = 8, ovvero con rate 1/. Per ricavare lo spettro dei pesi delle parole di codice w m occorre ricavare tutte le k = 16

5 5 parole. In particolare, indicando con b la sequenza di bit informativi e con y la sequenza di codice si ha: b = (0, 0, 0, 0) T y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) T w 1 = 0 b = (0, 0, 0, 1) T y = (0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1) T w = 3 b = (0, 0, 1, 0) T y = (0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0) T w 3 = 3 b = (0, 0, 1, 1) T y = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1) T w 4 = 4 b = (0, 1, 0, 0) T y = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1) T w 5 = 3 b = (0, 1, 0, 1) T y = (0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0) T w 6 = 4 b = (0, 1, 1, 0) T y = (0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1) T w 7 = 6 b = (0, 1, 1, 1) T y = (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0) T w 8 = 5 b = (1, 0, 0, 0) T y = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0) T w 9 = 3 b = (1, 0, 0, 1) T y = (1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1) T w 10 = 6 b = (1, 0, 1, 0) T y = (1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0) T w 11 = 4 b = (1, 0, 1, 1) T y = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1) T w 1 = 5 b = (1, 1, 0, 0) T y = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1) T w 13 = 4 b = (1, 1, 0, 1) T y = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0) T w 14 = 5 b = (1, 1, 1, 0) T y = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1) T w 15 = 5 b = (1, 1, 1, 1) T y = (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) T w 16 = 4 ) Per ottenere la maggiorazione sulla probabilita d errore per bit si ricorre al noto risultato: P e 16 q m m= ( Q E b k R c w m ). dove q m e il numero di uno della parola informativa che produce unaparola di codice di peso w m e R c = 1/. Con l approssimazione per la funzione Q e considerando il risultato trovato precedentemente, si ha: P e e 3E b e E b Nel caso non codificato si ha: P e = Q( E b / ) e E b/ e E b e 5E b + 4 e 3E b. Confrontando i due casi si ha:

6 6 E b / = 3dB E b / = : Codificato: P e Non codificato: P e = E b / = 10dB E b / = 10: Codificato: P e Non codificato: P e = ) Inviando la sequenza di bit informativi {0, 0, 0, 0} si ha la sequenza di codice {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, ovvero la sequenza trasmessa nel canale: { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. In corrispondenza alla sequenza di rumore {1., 0.1, 0.6, 1.3, 0.1, 0., 1.8, 0.1} si ricava in uscita dal campionatore a valle del filtro adattato la sequenza: x = {0., 0.9, 1.6, 0.3, 1.1, 1., 0.8, 0.9}. Il ricevitore a massima verosimiglianza lavora minimizzando la distanza Euclidea fra le sequenza ricevuta e tutte le possibili sequenze trasmesse: ν 1 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 1 = (1 + 0.) + (1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + (1 1.) + ( ) + (1 0.9) = 6.8 ν = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d = (1 + 0.) + (1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 14 ν 3 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 3 = (1 + 0.) + (1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + (1 0.9) = 14.8 ν 4 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 1 = (1 + 0.) + (1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + (1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 1.4 ν 5 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 5 = (1 + 0.) + ( 1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + ( 1 1.1) + (1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 18.4 ν 6 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 6 = (1 + 0.) + ( 1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + ( 1 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + (1 0.9) = 18.4 ν 7 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 7 = (1 + 0.) + ( 1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + ( 1

7 7 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 6.4 ν 8 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 8 = (1 + 0.) + ( 1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + ( 1 1.1) + (1 1.) + ( ) + (1 0.9) = 16.8 ν 9 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 9 = ( ) + (1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + ( 1 1.1) + (1 1.) + ( ) + (1 0.9) = 7. ν 10 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 10 = ( ) + (1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + ( 1 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 14.4 ν 11 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 11 = ( ) + (1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + ( 1 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + (1 0.9) =.6 ν 1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 1 = ( ) + (1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + ( 1 1.1) + (1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 19. ν 13 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 13 = ( ) + ( 1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + (1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 10 ν 14 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 14 = ( ) + ( 1 0.9) + (1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + (1 0.9) = 10 ν 15 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 15 = ( ) + ( 1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + ( 1 1.) + ( ) + ( 1 0.9) = 4.4 ν 16 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) T d 16 = ( ) + ( 1 0.9) + ( 1 1.6) + ( ) + (1 1.1) + (1 1.) + ( ) + (1 0.9) = 14.8 La sequenza decodificata e la sequenza ν 1, ovvero i bit informativi dopo la decodifica sono b = (0, 0, 0, 0) T (nessun errore). 4) Inviando la sequenza di bit informativi {0, 0, 0, 0} si ha la sequenza di codice {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, ovvero la sequenza trasmessa nel canale: { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. In corrispondenza alla sequenza di rumore {1., 0.1, 0.6, 1.3, 0.1, 0., 1.8, 0.1} si ricava in uscita dal campionatore a valle del filtro adattato la sequenza: x = {0., 0.9, 1.6, 0.3, 1.1, 1., 0.8, 0.9}. Il ricevitore message passing sul codice prodotto lavora in modo iterativo. Chiamiamo con (b 0, b 1, b, b 3 ) i bit informativi e (p 0, p 1, p, p 3 ) i bit di parita. Le log-likelihood iniziali sono: L A (b 0 ) = 0., L A (b 1 ) = 0.9, L A (b ) = 1.6, L A (b 3 ) = 0.3, L A (p 0 ) = 1.1, L A (p 1 ) = 1., L A (p ) = 0.8, L A (p 3 ) = 0.9. Iterazione 1: Per righe:

8 8 L r e(b 0 ) = sign(l A (b 1 ))sign(l A (p 0 )) min[ L A (b 1 ), L A (p 0 ) ] = 0.9 L r e(b 1 ) = sign(l A (b 0 ))sign(l A (p 0 )) min[ L A (b 0 ), L A (p 0 ) ] = 0. L r e(b ) = sign(l A (b 3 ))sign(l A (p 1 )) min[ L A (b 3 ), L A (p 1 ) ] = 0.3 L r e(b 3 ) = sign(l A (b ))sign(l A (p 1 )) min[ L A (b ), L A (p 1 ) ] = 1. Per colonne: L c e(b 0 ) = sign(l A (b ) + L r e(b ))sign(l A (p )) min[ L A (b ) + L r e(b )), L A (p ) ] = +0.8 L c e(b ) = sign(l A (b 0 ) + L r e(b 0 ))sign(l A (p )) min[ L A (b 0 ) + L r e(b 0 )), L A (p ) ] = 0.7 L c e(b 1 ) = sign(l A (b 3 ) + L r e(b 3 ))sign(l A (p 3 )) min[ L A (b 3 ) + L r e(b 3 )), L A (p 3 ) ] = 0.9 L c e(b 3 ) = sign(l A (b 1 ) + L r e(b 1 ))sign(l A (p 3 )) min[ L A (b 1 ) + L r e(b 1 )), L A (p 3 ) ] = 0.7 Iterazione : Per righe: L r e(b 0 ) = sign(l A (b 1 ) + L c e(b 1 ))sign(l A (p 0 )) min[ L A (b 1 ) + L c e(b 1 ), L A (p 0 ) ] = 1.1 L r e(b 1 ) = sign(l A (b 0 ) + L c e(b 0 ))sign(l A (p 0 )) min[ L A (b 0 ) + L c e(b 0 ), L A (p 0 ) ] = 1 L r e(b ) = sign(l A (b 3 ) + L c e(b 3 ))sign(l A (p 1 )) min[ L A (b 3 ) + L c e(b 3 ), L A (p 1 ) ] = 0.4 L r e(b 3 ) = sign(l A (b ) + L c e(b ))sign(l A (p 1 )) min[ L A (b ) + L c e(b ), L A (p 1 ) ] = 0.9 Per colonne: L c e(b 0 ) = sign(l A (b ) + L r e(b ))sign(l A (p )) min[ L A (b ) + L r e(b )), L A (p ) ] = 0.8 L c e(b ) = sign(l A (b 0 ) + L r e(b 0 ))sign(l A (p )) min[ L A (b 0 ) + L r e(b 0 )), L A (p ) ] = 0.8 L c e(b 1 ) = sign(l A (b 3 ) + L r e(b 3 ))sign(l A (p 3 )) min[ L A (b 3 ) + L r e(b 3 )), L A (p 3 ) ] = 0.6 L c e(b 3 ) = sign(l A (b 1 ) + L r e(b 1 ))sign(l A (p 3 )) min[ L A (b 1 ) + L r e(b 1 )), L A (p 3 ) ] = 0.1 Ci fermiamo adesso ottenendo: L e (b 0 ) = L A (b 0 ) + L e (b 0 ) = 1 L e (b 1 ) = L A (b 1 ) + L e (b 1 ) = 1.5 L e (b ) = L A (b ) + L e (b ) = 0.8 L e (b 3 ) = L A (b 3 ) + L e (b 3 ) = 0.4 Osserviamo che la sequenza decodificata e (1,0,0,1), ovvero ci sono due errori.