VI test di autovalutazione di SEGNALI & SISTEMI

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1 VI test di autovalutazione di SEGNALI & SISEMI. Sia u(t) t R un generico segnale di ingresso e si supponga che tale segnale venga prima campionato idealmente con frequenza di campionamento f c e successivamente filtrato attraverso un filtro ideale (di ricostruzione) di risposta in frequenza H(f) = f f c fc Se il segnale u(t) e la frequenza f c soddisfano le ipotesi del teorema del campionamento ideale la cascata di campionatore ideale e filtro realizza la trasformazione identica con ciò intendendo che il segnale v(t) in uscita coincide con u(t). Se almeno una delle ipotesi viene a mancare il segnale d uscita differisce dal segnale di ingresso. Si valuti l uscita del precedente sistema quando il segnale in ingresso sia cos(πf 0 t) t R e la frequenza di campionamento sia f c = f 0 oppure f c = 3f 0. (Ogni domanda vale 3 punti).. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale Am(t) cos(πf 0 t) t R () quando m(t) è un segnale rigorosamente limitato nella banda ( B B) 0 < B < f 0 (la domanda vale punto). Si determini inoltre la frequenza di Nyquist per il campionamento del segnale u(t) (la domanda vale punto). Si determini l uscita v(t) del sistema riportato in figura u(t) H(f) y(t) v(t) e jπf 0t quando l ingresso è il segnale u(t) di cui sopra; la risposta in frequenza del sistema è H(f) = δ (f). (La domanda vale 3 punti). Si determini inoltre la frequenza di Nyquist per il campionamento del segnale v(t) (la domanda vale punto). È possibile ricostruire u(t) a partire da v(t) (ovvero esiste qualche operazione lineare o meno da applicare a v(t) che consenta di riottenere il segnale u(t) di partenza)? In caso affermativo quale vantaggio deriva dal campionare il segnale v(t) piuttosto che u(t)? (La domanda vale punto).

2 3. Si determini la risposta del filtro passa-basso ideale di risposta in frequenza f H LP F (f) = Π f L con f L = /( ) in corrispondenza al segnale di ingresso 4. Si determini la risposta del filtro passa-banda ideale di risposta in frequenza f / f + / H BP F (f) = Π + Π f B f B con f B = /( ) in corrispondenza al segnale di ingresso 5. Si determini la risposta in frequenza di un filtro (ideale) che consenta di ottenere il segnale d uscita [ ] t / k v(t) = Π Π / / in corrispondenza al segnale di ingresso / [SUGGERIMENO: si disegni i grafici dei segnali u(t) e v(t) se ne evidenzino le differenze]. 6. Si determini operando nel dominio delle frequenze la funzione di autocorrelazione del segnale v(t) = RC e t RC δ (t). (La domanda vale 5 punti). [SUGGERIMENO: si ricordi che la trasformata di Fourier di e a t t R a > 0 è a a +(πf) ].

3 RISPOSE. Le trasformate di Fourier delle versioni campionate idealmente u s (t) del segnale u(t) sono state calcolate nella prova di autovalutazione IV e sono riportate qui di seguito per completezza. Il grafico della trasformata di u s (t) nel caso f c = f 0 è U s (f) f 0-4f 0-3f 0 -f 0 -f 0 0 f 0 f 0 3f 0 4f 0 f mentre nel caso f c = 3f 0 è U s (f) 3 f 0-7f 0-5f 0-4f 0 -f 0 -f 0 f 0 f 0 4f 0 5f 0 7f 0 f D altro canto il filtro di ricostruzione ideale taglia le frequenze esterne all intervallo ( f c f c ). Si trova quindi immediatamente che per f c = f 0 V (f) = δ(f) ovvero v(t) = t R mentre per f c = 3f 0 V (f) = [δ(f + f 0) + δ(f f 0 )] e quindi v(t) = cos(πf 0 t) t R.. È immediato calcolare utilizzando la proprietà di modulazione la trasformata di Fourier del segnale m(t) ottenendo M(f) = A [M(f + f 0) + M(f f 0 )] il cui supporto è ( f 0 B f 0 + B) (f 0 B f 0 + B). Di conseguenza la minima frequenza di campionamento che consenta a norma del teorema del campionamento ideale la ricostruzione esatta del segnale è f N = (f 0 + B). L uscita y(t) del sistema di risposta in frequenza ha trasformata di Fourier H(f) = δ (f) Y (f) = H(f)U(f) = A M(f f 0 ) 3

4 dove si è tenuto conto del fatto che il segnale m(t) è rigorosamente limitato nella banda ( B B) e che f 0 > B. Di conseguenza per la proprietà di modulazione si trova V (f) = A M(f) da cui segue v(t) = Am(t). Quindi la minima frequenza di campionamento per il segnale v(t) è f N = B. È inoltre immediato verificare che è possibile ricostruire il segnale u(t) a partire da v(t) semplicemente modulando v(t) con il segnale cos(πf 0 t). Il vantaggio derivante dal campionare v(t) invece che u(t) sta nel poter utilizzare una frequenza di campionamento più bassa (nella pratica significativamente più bassa visto che tipicamente risulta f 0 B). 3. Il segnale Π è periodico di periodo e quindi la sua trasformata di Fourier consiste di ( righe ) (impulsi di Dirac) posizionate alle frequenze k/ k Z e di area pari a sinc k k Z. In altri termini U(f) è data da U(f) = ( k sinc δ f k ) e di conseguenza poiché il filtro lascia passare solo la riga alla frequenza 0 si ha ovvero v(t) = / t R. V (f) = δ(f) 4. Il segnale u(t) è il medesimo del punto precedente. In questo caso il filtro lascia passare solo le due righe alle frequenze ±/ e quindi si ha V (f) = sinc [δ(f / ) + δ(f + / )] a cui corrisponde v(t) = sinc ( ) cos ( π t ) t R. 5. È immediato rendersi conto del fatto che il segnale v(t) può essere riscritto in termini del segnale u(t) nella forma v(t) = u (t) /. In altri termini i due segnali differiscono soltanto per la componente continua: quella di u(t) è non nulla mentre quella di v(t) è nulla. Di conseguenza il filtro ideale che consente di passare da u(t) a v(t) è un filtro di tipo passa-alto che taglia la riga spettrale alla frequenza 0 ed ha guadagno in banda passante pari a i.e. ( f con 0 < f H < /. H(f) = [ Π 4 f H )]

5 6. Il segnale v(t) = RC e t RC δ (t) è un segnale di energia e quindi la sua funzione di autocorrelazione può essere ottenuta come antitrasformata di Fourier della corrispondente densità spettrale di energia (ESD). D altro canto la trasformata di Fourier di v(t) è data da e quindi la ESD del segnale è V (f) = S v (f) = V (f) = + jπfrc + (πfrc). Ma allora sfruttando l espressione della trasformata di e a t t R a > 0 si trova r v (τ) = τ RC e RC. 5