Svolgimenti esami del corso di Teoria di Segnali

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1 Svolgimenti esami del corso di Teoria di Segnali versione.4 - ultimo aggionamento 0/03/209 Autore: Gabriel Emile Hine mail: gabriel.hine@uniroma3.it (per segnalazione di eventuali errori/refusi) Esame 08/02/209 Esercizio Dati i segnali in figura x(t)

2 2 esami-svolti-tds.nb y(t) = e -t u - (t) si calcoli la convoluzione sul dominio del tempo tra i segnali x(2 t) e w(t) = y(t) + y(t-2) Soluzione: x( 2t ) = rect [ t + 3/2 ] x (2 t) t Per la linerarità della convoluzione x (2t) * w(t) = x(2t) * y(t) + x(2t) * y(t-2) x(2t) * y(t) = rect [ t + 3/2 ] * e -t u - (t) è riconducibile ad una forma nota [vedi esempio 2.4, pag 34, Teoria dei Segnali, Roberto Cusani]: rect T [ t - T/2 ] * e -α t u - (t) = rect T [ t - T/2 ] α - ( - e -α t ) + u - (t) α - e α T - e -α t

3 esami-svolti-tds.nb 3 (si noti come nell ultima espressione la rect e la funzione gradino siano state usate per definire gli intervalli della funzione definita a tratti. Questo renderà immediata la somma con la seconda componente) ne segue: x(2t) * y(t) = z(t) = rect [ t + 3/2 ] * e -t u - (t)= = rect T [ t + 3/2 ] - e -(t+2) ) + u - (t + ) (e - ) e - (t+2) z t w(t) = x(2t) * y(t) + x(2t) * y(t-2) = z(t) + z(t-2) = = rect T [ t + 3/2 ] - e -(t+2) ) + u - (t + ) (e - ) e - (t+2) + rect T [ t - /2 ] ( - e -t ) + u - (t - ) (e - ) e - t w t

4 4 esami-svolti-tds.nb Esame 08/02/209 Esercizio 2 Dato lo schema in figura, con x(t) = k u 0 ( t - k T) c(t) = cos(2 π f 0 t) s(t) = sin(2 π f 0 t) T = f 0 = (4 T) H( f ) = Ca 2 [π f t] w(t) = rect 3 T [ t - 3 T / 2] si calcoli Y(f) Soluzione: h(t) = F - { H( f ) } = T tri T [ t ] Graficamente: δ(t - k) k

5 esami-svolti-tds.nb sin 2 π t 4 cos 2 π t {x(t) s(t)]} * h(t) { x(t) c(t)] } * h(t) { x(t) [c(t) + s(t)] } * h(t) { x(t) s(t)} * h(t) { x(t) c(t) } * h(t) - -.5

6 6 esami-svolti-tds.nb.5 y(t) Si noti come per disegnare y(t) non abbiamo dovuto fare alcun conto analitico ma solo passaggi grafici. A questo punto, per calcolare Y(f), sfruttiamo la proprietà della derivata: Y(f) = /(j 2π f ) F{ y (t)} Ancora graficamente, la derivata di y(t) è y' (t) = δ(t) - 2 rect (t - 3 / 2) - δ(t - 3) F {y' (t)} = - 2 e -j 3 π f Ca(π f ) - e -j 6 π f Y(f) = - 2 e -j 3 π f Ca(π f ) - e -j 6 π f (j 2 π f )

7 esami-svolti-tds.nb 7 Esame 08/02/209 Esercizio 4 Si consideri lo schema indicato in figura con x(t) e y(t) realizzazioni di processi aleatori stazionari ed ergodici bianchi ( P X (f) = P Y (f) = N 0 ) statisticamente indipendenti con f.d.p. p X (x) = p Y (x) 0.7 p X (x) x Sia inoltre H( f ) = /2 rect W (f) con W = /T Si calcoli a) la gerarchia di ordine I di w(t) b) la funzione di autocorrelazione di z(t) p ZZ (τ) Soluzione: a) w(t) = +.5 x(t) -.5 y(t) data l indipendenza statistica dei processi, sfruttiamo la regola della convoluzione:

8 8 esami-svolti-tds.nb p W (w) = δ (w - ) * rect (w - /2) * rect (w + /2) = tri (w - ) dove si è considerato il termine additivo (+) come un processo aleatorio con densità di probabilità δ(w - ) (evento certo).4 p w (w) w Si può facilmente calcolare la distribuzione di probabilità cumulata: Out[ ]//TraditionalForm= 0.5 w 2 0 w < (w - 2) 2 w < 2 w 2.4 D w (w) w b)

9 esami-svolti-tds.nb 9 Il blocco in figura va trattato come una cascata di due filtri: H^(f) = H(f) - e -i 2 π f T ne segue che P Z (f) = H(f) 2 - e -i 2 π f T 2 P W (f) data l' indipenza statistica : P W (f) = P X/2 (f) + P Y/2 (f) + δ(f) = /3 + /3 + δ( f) = 2/3 + δ( f) dove i primi 2 termini sono i contributi dati X/2 e Y/2: P X/2 (f) = P Y/2 (f) = 0 x 2 dx = /3 e l impulso in zero è dovuto al termine costante. - e -i 2 π f T 2 = e -i π f T e i π f T - e -i π f T 2 = 4 sin 2 (π f T) P Z (f) = rect W (f) sin 2 (π f T) P W (f) = 2/3 rect W (f) sin 2 (π f T) ( l impulso è filtrato poichè sin 2 (0) = 0 ) P z (f) f Possiamo ora calcolare l autocorrelazione di Z come antitrasformata dello spettro di densità di potenza:

10 0 esami-svolti-tds.nb p ZZ (τ) = 2/3 W Ca[ π W τ ] * F - {sin 2 (π f T)} F - {sin 2 (π f T)} = { (δ[τ -.5 T] - δ[τ +.5 T] )/(2 j) } * { (δ[τ -.5 T] - δ[τ +.5 T] )/(2 j) } = = ( 2 δ[τ] - 2 δ[τ + T] - 2 δ[τ - T] )/4 p ZZ (τ) = 2/3 W Ca[ π W τ ] * ( 2 δ[τ] - 2 δ[τ + T] - 2 δ[τ - T] )/4 = (ricordando che T = /W) = W/6 { 2 Ca[ π Wτ ] - Ca[ π (W τ - ) ] - Ca[ π (W τ - ) ]} (2 sinc(π τ) - sinc(π (τ - )) - sinc(π (τ 6 sinc(π τ) 3 sinc(π (τ - )) 6 sinc(π (τ + )) 6 - Possiamo infine calcolare la potenza del segnale: P Z = p zz (0) ) = 2/3 W

11 esami-svolti-tds.nb Seconda prova di accertamento 3/0/209 - Esercizio Si consideri lo schema in figura dove B è una variabili aleatoria discreta con funzione di densità di probabilità p B (b) = 0.7 δ(b) δ(b - ), η () è una non linearità istantanea S = η (B) = 2 B - N è una v.a. Gaussiana a valor medio nullo e varianza unitaria, statisticamente indipendente da B η 2 () è una non linearità istantanea B = η 2 (R) = μ - (R) Si calcoli a) la funzione di densità di probabilità p B (b ) b) la funzione di densità di probabilità condizionata p B B b [b = 0] Soluzione: a) quando si trattano le non linearità istantanee in presenza di v.a. discrete, è controproducente utilizzare la formula dello Jacobiano. Piuttosto, conviene ragionare in maniera combinatoria: (b = 0) (s = -); (b = ) (s = +). E intuitivo convincersi che P S (s = -) = P B (b = 0) P S (s = +) = P B (b = ) Ne consegue: p S (s) = 0.7 δ(s+) δ(s-) Ora, essendo S ed N indipendenti, la f.d.p. di R si calcola tramite la convoluzione: p R (r) = p S (r) * p N (r) = 0.7 p N (r + ) p N (r - ) dove p N (r) = e - r2 (2 π) /2 2

12 2 esami-svolti-tds.nb exp - 2 (r+) exp - 2 (r-)2 2 π 2 π 0.7 exp - 2 (r+)2 2 π 0.3 exp - 2 (r-)2 2 π A questo punto, applicando le regole standard delle non linearità istantanee con tratti costanti: B = η 2 (R) = μ - (R) B P 0 = P B (b =0) = - 0 pr (r) dr = r.7-0 pn (r + ) dr pn (r - ) dr =.7 - pn (r) dr pn (r) dr =.7 D N () +.3 D N (-) P = P B (b =) = 0 pr (r) dr =.7 0 pn (r + ) dr pn (r - ) dr =.7 pn (r) dr pn (r) dr =.7 [ - D N ()] +.3[ - D N (-)] dove D N (n) è la funzione di probabilità cumolata di N, ovvero la error function. In definitiva, p B (b ) = P 0 δ( b ) + ( - P 0 ) δ( b - ) b) p B B b [b = 0] il condizionamento rispetto all ipotesi b=0 si traduce semplicemente nella sostituzione nello schema della realizzazione b=0 in luogo della v.a. b. Si ha quindi:

13 esami-svolti-tds.nb 3 b = 0 s = - r = n - p R B (r b = 0) = p N (n) * δ(n + ) = p N (n + ) P 0 0 = P B B b = 0 b = 0 = - 0 pr B (r b = 0) dr = - 0 pn (r + ) dr = - pn (r) dr = D N () 0.84 P 0 = P B B b = b = 0 = 0 pr B (r b = 0) dr = 0 pn (r + ) dr = pn (r) dr = - D N () 0.6 p B B b b = 0 = D N () δ( b ) + [- D N ()] δ( b - )

14 4 esami-svolti-tds.nb Prima prova di accertamento 24//208 Dato lo schema in figura con x(t) = k δ(t - k T ) c(t) = 2 cos(2 π f 0 t) f 0 = 4 T h(t) = - t T rect 2 T(t) e η( ) non linearità istantanea riportata in figura Si calcoli Z(f) Soluzione: graficamente

15 esami-svolti-tds.nb 5 δ(t - k) k -2T -T T 2T h(t) -T T t - u(t) -2T -T T 2T t h(t-kt) k h(t-kt) -

16 6 esami-svolti-tds.nb v(t) 2-4T -2T 2T 4T - 2 sommando i due contributi: w(t) = u(t) + v(t) w(t) 2-4T -2T 2T 4T Ora applichiamo la nonlinearità. Si noti come η( ) =η(- ) = 0. Ne consegue che negli istanti t =..., -2T,-T, 0, T, 2T,... l uscita z(t) varrà 0. In tutti gli altri punti applichiamo la procedura classica. (si noti bene che, qualsiasi sia il risultato, nei punti -2T,-T, 0, T, 2T vi saranno in ogni caso degli zeri - Essendo una non linearità, non vale il principio di sovrapposizione degli effetti! )

17 esami-svolti-tds.nb 7 2-2T -T -T/2 T/2 T 2T u(t) η(u(t)) In questo caso specifico, dato che η (u(t)) già si annulla nei punti sopra citati, il risultato coincide con z(t). Per ispezione, la forma analitica è: k g(t - kt) dove g(t) = 2 tri T ( t ) * [δ(t - T /4) - δ(t + T /4)] 4 Z(f) = k Z K δ (f - k/t) dove Z K = G(k/T) G( f ) = F{ g(t) } =/2 F { tri T ( t ) } F { δ(t-t/4) -δ(t+t/4) } = -j T 4 4 Ca2 π T 4 f sin π T 2 f) Z k = G(k/T) = -j T 4 Ca2 π 4 k sin π 2 k) Z(f) -3/T -/T /T 3/T

18 8 esami-svolti-tds.nb Prima prova di accertamento 24//208 dato lo schema in figura dove h(t) = tri 3 4 T(t) s(t) = 2 sin(2 π f 0 t) f 0 = 8 T x(t) = k δ(t - kt) e η( ) non linearità istantanea come in figura : Soluzione: Graficamente,

19 esami-svolti-tds.nb 9 δ(t - k) k -2T -T T 2T h(t) -3T/4 3T/4 t u(t) 2 3 h(t-kt) k h(t-kt) -2T -T T 2T t

20 20 esami-svolti-tds.nb v(t) / T -3T -2T -T T 2T 3T 4T /2 sommando i due contributi, w(t) = u(t) + v(t) w(t) 2/3 / T -3T -2T -T T 2T 3T 4T /2 Ora applichiamo la non-linearità. lim η (w) Si noti come w = w e lim η (w) w - = w Ne consegue che negli istanti t =..., -2T,-T, 0, T, 2T,... l uscita coincide con l ingresso: z(kt) =w(kt). Il resto del segnale è in modulo sempre minore di 2, ovvero il suo contributo alla non linearità è nullo. In definitiva, z(t) = v(t) = s(t) x(t) = 2 sin(2 π f 0 t) δ(t-kt) con f 0 = 8 T Z(f) = S(f) * X(f) = 4 j [δ(f - f 0) - δ(f + f 0 ) ]* k δ(f - 8 k f 0 ) = j 4 k [δ(f - 8 k f 0 + f 0 ) - δ(f - 8 k f 0 - f 0 ) ]

21 esami-svolti-tds.nb 2 Z(f) -9 f 0-7 f 0 -f 0 f 0 7 f 0 9 f 0 -

22 22 esami-svolti-tds.nb Esame 28 feb 209. Es 2 Dato lo schema in figura, siano X(f ) = T tri W (2 f) w = 2/T c(t) = k δ (t - kt) s(t) = sin(2π t/t) η(x) = u - [x-] (x-)+ u - [-(x+)] (x+) calcolare le componenti analogiche di z(t) rispetto a f 0 = /(2 T) Soluzione X(f ) = T tri W (2 f) x(t) = Ca 2 [π t/t] = T tri W/2 (f) = T tri /T (f)

23 esami-svolti-tds.nb x(t)c(t) = k Ca 2 [π k] δ(t - kt) = δ(t) x(t)s(t) = Ca 2 [π t/t] sin(2 π) w(t) = x(t)s(t) + x(t)c(t) = δ(t) + Ca 2 [π t/t] sin(2 π) η(x) = u - [x-] (x-)+ u - [-(x+)] (x+) come in figura

24 24 esami-svolti-tds.nb Si noti come lim η (w) w = lim w - w = w Ciò significa che l impulso passa inalterato il resto del segnale è in modulo minore di. Ca 2 [π t/t] sin(2 π) < = ovvero il suo contributo alla non linearità è nullo. ne segue: η( w(t) ) = δ(t) z(t) = δ(t) +Ca 2 [π t/t] sin(2 π) -δ(t) = Ca 2 [π t/t] sin(2 π t /T) Z(f) = /T tri /T * ( δ(f - /T) - δ(f + /T))/(2j) Z + (f + f 0 ) = Z + f + 2 T = - j 2 T tri /T (f- 2 T )

25 esami-svolti-tds.nb Per il calcolo delle componenti analogiche a bassa frequenza, basta calcolare l antitrasformata F - {Z + (f + f 0 )} Si lascia quesa parte come esercizio per il lettore.