Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Per ogni kt si genera una v.a. Y Bernoulliana con ( A) ( A) 1 k = 1,2,... { }

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1 Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Per ogni kt si genera una v.a. Y Bernoulliana con ( A) ( A) Se Y = A X{ kt} = X{ ( k 1) T} + 1 k = 1,2,... { } Y = A X{ kt} = X{ ( k 1) T} 1 k = 1,2,... { } P = P = 0.5 X 0 = 0 X 0 = 0 1 AAAAAAAAAAAAA AAAAA 502

2 Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Simulazione 40 Passeggiata casuale X(t) tempo 503

3 Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Simulazione 40 Passeggiata casuale X(t) tempo 504

4 Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Simulazione 40 Passeggiata casuale X(t) tempo 505

5 Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Simulazione 40 Passeggiata casuale X(t) tempo 506

6 Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Simulazione 40 Passeggiata casuale X(t) tempo 507

7 Esempio di Processo Aleatorio La passeggiata casuale Simulazione 40 Passeggiata casuale X(t) tempo 508

8 Spettro della passeggiata casuale 30 Power Spectral Density Estimate via Burg Power/frequency (db/rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) Pendenza di 20 db per decade 509

9 Rumore Bianco: forma d onda (nel tempo) 510

10 Rumore Bianco: Spettro (in frequenza) 511

11 Rumore Rosa o In acustica si definisce rumore rosa o rumore 1/f un particolare tipo di rumore in cui le componenti a bassa frequenza hanno potenza maggiore, a differenza del rumore bianco in cui la potenza è uguale per qualsiasi frequenza. o Questo tipo di rumore è strutturato in modo tale da compensare la sensibilità dell'orecchio umano alle varie frequenze, e viene utilizzato per l'equalizzazione del suono in ambito professionale. 512

12 Rumore Rosa: Forma d onda (nel tempo) 513

13 Rumore Rosa: Spettro (in frequenza) 514

14 Esempio di Processo Aleatorio Il rumore nel clock Generazione di un riferimento temporale stabile Oscillatori e Clock Fluttuazioni dell oscillatore: o Fluttuazioni sistematiche: principali cause di divergenza dal vero tempo e dalla vera frequenza nel lungo periodo (giorni od anni) o Fluttuazioni random: osservate sul breve periodo (frazioni di secondo o minuti) o La tensione d uscita di un oscillatore di precisione reale non è una sinusoide perfetta a frequenza nominale ν 0 a causa del rumore. 515

15 Generazione di un riferimento temporale stabile o L instabilità in frequenza è il cambiamento di frequenza spontaneo e/o causato dall ambiente, all interno di un determinato intervallo di tempo. o Le fluttuazioni in frequenza corrispondono a fluttuazioni nel tempo. Per caratterizzare le fluttuazioni si definisce la deviazione di frequenza frazionaria rispetto al valore nominale ν 0 : () y t ( t) ν 0 ν = (numero puro) ν 0 x t, in secondi: integrando si ottiene la deviazione del tempo ( ) t () ( ) [ ] x t = y t' dt', s () π ν ( ) 0 ( ) [ ( )] V t = V0 sin 2 0 t+ x t = V0 sin Φ t 516

16 Deviazione del tempo E dovuta alla somma di un contributo sistematico e di uno random: x t = x t + ε t ( ) ( ) ( ) sist. o Fluttuazioni sistematiche: 1 2 xsist ( t) = x( 0) + y ( 0) t + Dt + termini di ordine superiore (trascurati ) 2 con: x( 0 ) offset nel tempo y ( 0 ) offset in frequenza D drift in frequenza (dovuto a fattori come l invecchiamento, i cambiamenti nell ambiente e altri fattori esterni all oscillatore) 517

17 Fluttuazioni frazionarie dell oscillatore nel tempo o Fluttuazioni random: Sono dovute essenzialmente a: Rumore di Johnson (fluttuazioni di carica indotte dall agitazione termica); Difetti del cristallo, il rumore dovuto ai circuiti dell oscillatore (elementi passivi e attivi); Vibrazioni casuali. 518

18 Stabilità di un oscillatore: accuratezza e precisione Preciso ma non accurato Non accurato e non preciso Accurato ma non preciso Accurato e preciso f f f f 0 Tempo Stabile ma non accurato Tempo Non stabile e non accurato Tempo Accurato (in media) ma non stabile Stabile e accurato Tempo 519

19 Processi Aleatori Definizione: Un processo aleatorio è una corrispondenza X ( t,ζ ) tra le funzioni (reali) di una variabile indipendente t (normalmente t è il tempo) e gli elementi ζ dello spazio campione S, cioè i risultati di un definito esperimento. Notazione: Un processo aleatorio è anche indicato con X ( t ). Realizzazione di un Processo: X ( t,ζ ) pensata come funzione di t è una realizzazione del processo. 520

20 Processi Aleatori Complessi Definizione: Un processo aleatorio complesso Z ( t ) è definito come: Z ( t) = X ( t) + jy( t) in cui X ( t ) e Y() t sono due processi reali. 521

21 dove: Esempio di Processo Aleatorio Reale X ( t) = Acos( 2π ft+ Y) f ed A sono due numeri reali positivi (costanti); Y è una variabile aleatoria compresa tra 0,2π. Il processo X () t descrive la famiglia di funzioni cosinusoidali con ampiezza A e frequenza f fissate e fase iniziale variabile Y. Per A = 1: Y=0 1 0 ( π + ) cos 2 ft Y Y=Y1 t -1 Y=Y2 522

22 Uguaglianza tra Processi Due processi X () t e Y( t ) sono eguali in senso quadratico se: () () 2 E X t Y t = 0 t Due processi X () t e Y( t ) sono eguali in senso stretto (ovunque) se: X ( t, ζ ) = Y ( t, ζ) t, ζ 523

23 Classificazione dei Processi Si definiscono quattro tipi di processi in base a: l insieme dei valori assunti dal processo; il dominio della variabile indipendente t. 1. Processi Aleatori tempo-continui a valori continui; 2. Processi Aleatori tempo-continui a valori discreti; 3. Processi Aleatori tempo-discreti a valori continui; 4. Processi Aleatori tempo-discreti a valori discreti. 524

24 Processo aleatorio tempo-continuo a valori continui, caso (1) x t, ( ) i t 525

25 Processo aleatorio tempo-continuo a valori discreti, caso (2) x n+2 ( t) ζ 1 0 t x n+1 ( t) ζ 2 0 t x n ( t) ζ3 0 t 526

26 Processo aleatorio tempo-discreto a valori continui, caso (3) x n+ 2 k ζ k x n+ 1 k ζ2 1 2 k x n k ζ3 k t = kδt, Δ t = passo di campionamento. 527

27 Processo aleatorio tempo-discreto a valori discreti, caso (4) x n+ 2 k ζ k x n+ 1 k ζ2 1 2 k x n k ζ3 k t = kδt, Δ t = passo di campionamento. 528

28 Riduzione di un Processo Aleatorio Un Processo aleatorio si riduce ad uno dei casi seguenti: o Se si fissa ζ =ζ 0, si ha un campione (o realizzazione o funzione membro) di () x t,ζ o x ( t ) o semplicemente x() t, X t, indicato con ( ) cioè una funzione (reale se il processo è a valori reali) del tempo. o Se si fissa t t0 semplicemente X. o Se si fissano t = t0 e 0 0 =, si ha la variabile aleatoria X ( t,ζ) o ( ) ζ =ζ, si ha il numero ( ) 0 x t,ζ X ζ o 529

29 Processi Regolari e Processi Predicibili Un processo regolare ha realizzazioni non predicibili, cioè noti i valori passati del processo non è possibile predirne i valori futuri. Un processo regolare non è esprimibile in forma analitica, ma le sue realizzazioni possono essere rappresentate in forma grafica. x t, ς 3 x t, ς1 0 t x t, ς 2 Esempio di un processo regolare (moto Browniano). 530

30 Processi Regolari e Processi Predicibili (segue) In un processo predicibile X ( t ) (detto anche quasi deterministico) i valori di una realizzazione X ( t,ζ i ) per i valori di quella realizzazione per t * < t. t * > t, sono noti se si conoscono La conoscenza di una realizzazione X ( t,ζ i ) non permette in generale di ricavare le statistiche X ( t 0,ζ) del processo con t 0 assegnato. 531

31 Processi Regolari e Processi Predicibili (segue) Un esempio di processo predicibile è: X t ( ) = Asin( 2π ft+φ ) in cui A e Φ sono due variabili aleatorie. Le sue realizzazioni sono completamente note per loro andamento per t * < t. t * > t se si conosce il xt (, ) 0 t 532

32 Gerarchie di un Processo Aleatorio Da ogni processo si può estrarre un insieme di variabili aleatorie in alcuni istanti di tempo: ( t 1,t 2,t 3,...,t n,... ) = ( ζ ), X = X ( t, ζ ), X = X ( t, ζ ),, X ( ) X X t, Gerarchia del 1 ordine: 3 3 n t,ζ, Assegnato t, ogni v.a. X = X ( t, ζ ) o semplicemente X ( t ) è caratterizzata dalla propria distribuzione di probabilità: (, ) ( ) { } F x t = P X t x X che è detta distribuzione (o gerarchia) del 1 ordine del processo. n 533

33 Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue) La derivata: f X ( x,t) ( ) F x,t è la funzione di densità del primo ordine del processo. = x Gerarchia del 2 ordine: La funzione di distribuzione congiunta ( ) F x,x ;t,t X X ottenuta campionando il processo in due istanti di tempo t,t 1 2 è detta distribuzione (o gerarchia) del 2 ordine. 534

34 Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue) La densità del 2 ordine è: 1 2 ( ) f x,x ;t,t X X = ( ) F x,x ;t,t X X x x Gerarchia di ordine n: Si possono definire analogamente la distribuzione e la densità di ordine n considerando le v.a. estratte in n istanti temporali: F f 1 2 n 1 2 ( x,x,...,x ;t,t,...,t ) X X X 1 2 n 1 2 n 1 2 n ( x,x,...,x ;t,t,...,t ) X X X 1 2 n 1 2 n Dalla gerarchia di ordine n si possono ricavare le distribuzioni di ordine inferiore per integrazione. 535

35 Descrizione Statistica di un Processo Aleatorio La conoscenza della distribuzione di ordine n comunque elevato equivale alla conoscenza completa del modello probabilistico del processo. In molti casi ci si limita a valori attesi relativi alla distribuzione del 1 e del 2 ordine. Dalle distribuzioni del primo e del secondo ordine è possibile ricavare alcuni momenti di particolare interesse: la media, l autocorrelazione e l autocovarianza del processo. 536

36 Media Descrizione Statistica di un Processo Reale () () ( ) η t = E X t = x f X x;t dx In generale la media risulta funzione di t. + Autocorrelazione + + (, ) = ( ) ( ) = (, ;, ) R t t E X t X t x x f x x t t dx dx X X1X Potenza Media ( ) (, ) = 2 E X t RX t t 537

37 Descrizione Statistica di un Processo Reale (segue) Autocovarianza (o brevemente Covarianza) ( ) = ( ) η( ) η ( ) C t,t R t,t t t X 1 2 X Coefficiente di Correlazione ( ) r t,t 1 2 = ( ) η( ) ( ) η( ) { } E X t t X t t { ( ) ( ) } 1 η 1 ( 2) η( 2) { } 2 2 E X t t E X t t che si può scrivere come ( ) r t,t 1 2 ( ) ( ) C t,t R t,t ηη = = σσ σσ X 1 2 X

38 Descrizione Statistica di due Processi Reali Mutua Correlazione tra due processi reali ( ) = ( ) ( ) R t,t E X t Y t XY Mutua Covarianza tra due processi reali ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } CXY t 1,t2 = E X t1 ηx t1 Y t2 η Y t2 = ( ) ( ) ( ) ( ) = E X t Y t η t η t 1 2 X 1 Y 2 539

39 Processi Ortogonali e Processi Incorrelati Definizione: Due processi X () t e Y( t ) sono detti (mutuamente) ortogonali se: R ( t,t) = 0 t,t XY Definizione: Due processi X () t e Y( t ) sono detti incorrelati se: C ( t,t ) = 0 t,t XY

40 Indipendenza Statistica di Processi Due processi X () t e Y( t ) si dicono statisticamente indipendenti se le variabili aleatorie X ( t 1), X ( t 2),..., X ( t N) sono indipendenti dalle variabili aleatorie per qualunque insieme dei tempi ( ) ( ) ( ) Y t,y t,...,y t 1 2 M t 1,t 2,...,t N ; t 1,t 2,...,t M 541

41 Il Concetto di Stazionarietà Stazionarietà in Senso Stretto Un processo aleatorio X ( t ) è detto stazionario in senso stretto se la sua densità di probabilità di qualsiasi ordine è invariante rispetto ad una traslazione dell origine: ( ) = ( ) f x,x,..,x ;t,t,..,t f x,x,...x ;t c,t c,..,t c X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 N per ogni N e per ogni c. Stazionarietà di ordine M Un processo è stazionario di ordine M se l invarianza rispetto ad una traslazione dell origine si verifica solamente fino all ordine M. 542

42 Il Concetto di Stazionarietà (segue) Se un processo X () t è stazionario di ordine uno, il suo valore atteso non dipende dal tempo: Infatti se ( ) E X t = η t ( ) ( ) f x;t = f x;t + c c X 1 X 1 + ( ) ( ) E X t = x f x;t dx 1 X 1 + ( ) ( ) E X t + c = x f x;t + c dx= 1 X 1 + = x fx ( x;t1) dx= E X ( t1) 543

43 Il Concetto di Stazionarietà (segue) Per un processo X () t stazionario di ordine due si ha: ( ) ( ) f x,x ;t,t = f x,x ;t + c;t + c c X X Di conseguenza oltre all invarianza del valore atteso si ha ( ) ( ) ( ) R t + c,t + c = E X t + c X t + c = X ( ) X 1 2 ( ) = x x f x,x;t + c,t + c dxdx = X ( ) = x x f x,x ;t,t dx dx = = R t,t 1 2 X cioè la autocorrelazione non dipende dal valore di t 1 e t 2 ma solamente dalla loro differenza. 544

44 Il Concetto di Stazionarietà (segue) Stazionarietà in Senso Lato Un processo aleatorio X ( t ) è stazionario in senso lato se: ( ) E X t = η t X ( ) ( ) R t,t + τ = R τ t cioè se il valore atteso del processo è costante e l autocorrelazione dipende τ = t t. solo dalla differenza dei tempi 2 1 X 545

45 Rumore Bianco Si dice Rumore Bianco un processo X ( t ) tale che: E X t = 0; ( ) presi due istanti t 1 e 1 incorrelate per τ 0, cioè: t + τ, le variabili aleatorie X ( t ) e ( ) RX ( t 1,t1+ τ ) = q( t1) δ( τ ) dove q( t 1 ) è una funzione non negativa e ( t) 1 X t + τ sono δ è l impulso di Dirac. 1 In termini intuitivi, la funzione impulsiva di Dirac vale 0 per τ 0 e vale per τ= 0 ed ha area unitaria. 546

46 Rumore Bianco (segue) Se X () t è stazionario, la proprietà delle funzioni di autocorrelazione del rumore bianco si riduce a: RX ( τ ) = K δ( τ ) dove K è una costante. In pratica un tale processo (avente potenza infinita) non esiste nella realtà fisica, tuttavia questo modello costituisce una utile schematizzazione di numerosi processi aleatori. 547

47 Rumore Bianco (segue) R R ( ) NN N /2 0 N N 0 ( τ ) δ ( τ) 0 = ( ω) 2 S N S ( ) NN N /2 0 N = ω (a) (b) 548

48 Rumore Bianco (segue) Possibili Autocorrelazioni di processi che approssimano il rumore bianco. RX τ RX τ 0 549

49 S N ( ω) Rumore Bianco a banda limitata Pπ ω W = W 0 ω > W ( ) sin Wτ RN ( τ ) = P W τ 550

50 Realizzazione di un rumore bianco 0.25 Rumore Bianco 0.2 Ampiezza tempo (sec) 551

51 Spettro del rumore bianco 40 Rumore Bianco Spretto di Densità di Potenza Frequenza (khz) 552

52 Il Concetto di Stazionarietà Congiunta Definizione: Data una coppia di processi: X ( t ) e Y( t ) essi si dicono congiuntamente stazionari (in senso stretto o di ordine n) se le loro densità di probabilità congiunte sono invarianti rispetto alla traslazione (rispettivamente per qualunque ordine e fino all ordine n). Un processo complesso: Z ( t) = X ( t) + jy( t) è stazionario se lo sono congiuntamente i processi X ( t ) e Y( t ). 553

53 Il Concetto di Ciclostazionarietà A volte l invarianza rispetto alla traslazione si può avere, non per qualunque spostamento, ma quando ci si sposta di multipli di un intervallo T, cioè: ( ) = ( ) f x,x,..,x ;t,t,..,t f x,x,...x ;t T,t T,..,t T X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 N In questo caso si parla di Processo Ciclostazionario. Se da un processo ciclostazionario di periodo T si deriva per campionamento con passo T un processo tempo-discreto, questo risulta stazionario. 554

54 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione Simmetria Hermitiana: Considerando per generalità il caso di un processo complesso stazionario, la sua funzione di autocorrelazione gode della proprietà di simmetria coniugata (detta anche hermitiana), cioè: Infatti X * * ( τ ) = ( ) ( +τ) RX ( τ ) = RX ( τ ) R E X t X t * ( τ ) = ( ) ( τ) RX E X t X t con il cambio di variabile z = t τ diviene * * ( τ ) = ( ) ( +τ ) = ( τ) RX E X z X z R X 555

55 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue) Analogamente per la correlazione mutua vale la proprietà di simmetria hermitiana: XY * * ( τ ) = ( ) ( +τ) RXY ( τ ) = RYX ( τ ) R E X t Y t Infatti con il cambio di variabile z = t τ, si ha * ( ) ( ) ( ) RXY τ = E X t Y t τ = * YX * ( ) ( ) = E Y z X z +τ = ( ) = R τ 556

56 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue) Proprietà dell Autocorrelazione nell Origine: La funzione di autocorrelazione nell origine è: * R ( ) () () () 2 X 0 = E X t X t E X t = > 0 X ( τ) ( ) R R 0 per dimostrare quest ultima relazione si fa uso della disuguaglianza (valida per la coppia di v.a. complesse Z,W ): [ ] E ZW E Z E W X 557

57 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue) Proprietà dell Autocorrelazione nell Origine: * Ponendo Z X () t si ottiene = e W = X ( t+τ ) () ( + τ) () ( +τ) 2 * 2 2 E X t X t E X t E X t ovvero e quindi 2 ( τ) ( ) ( ) R R 0 R 0 X X X ( τ) ( ) R R 0 X X 558

58 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue) Periodicità della Funzione di Autocorrelazione: Per un processo reale X ( t ), se R ( ) R ( 0) autocorrelazione è periodica di periodo τ 1. Verifica: Applicando ancora la diseguaglianza in cui τ = allora la funzione di X 1 X [ ] E ZW E Z E W ( 1 ) ( ) W = X ( t) Z = X t+τ+τ X t+τ 559

59 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue) Periodicità della Funzione di Autocorrelazione: si ottiene: ( +τ+τ ) ( +τ) ( ) { 2 ( ) ( ) } 2 1 () { } 1 2 E X t X t X t { } E X t+τ+τ X t+τ E X t ovvero Se R ( ) R ( 0) X 1 X 2 ( τ+τ ) ( τ) ( ) ( τ ) ( ) RX 1 RX 2RX 0 2RX 1 RX 0 τ = il secondo membro della diseguaglianza è nullo e quindi deve risultare R ( ) R ( ) τ +τ = τ. X 1 X 560

60 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue) Periodicità della Funzione di Autocorrelazione: Si può ripetere la dimostrazione con mτ 1 invece di τ (m intero): ( τ + τ ) = ( τ ) R m R X 1 X la funzione di autocorrelazione è periodica con periodo τ 1. Se risulta R( ) R( ) R( 0) τ = τ = e τ 1, τ 2 sono incommensurabili (cioè il 1 2 loro rapporto è un numero irrazionale) allora la funzione di autocorrelazione è costante. 561

61 Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue) Se il processo Z () t è complesso e si verifica ( τ ) = ( ) R R 0 Z 1 Z allora la funzione di autocorrelazione di Z ( t ) ha la forma: ( τ ) = ( ) ( ω τ ) R R 0 exp j Z Z 0 cioè è un esponenziale complesso di ampiezza RZ ( 0 ). 562

62 Esempio: Somma di esponenziali complessi Se il processo X(t) è la somma di n esponenziali complessi, pesati medianti n coefficienti aleatori A i, tra loro scorrelati, con media nulla e varianza 2 σ i : X t n = i i= 1 j i () t A e ω 563

63 La funzione di autocorrelazione è: n n R( τ) E X ( t) X ( t ) E A e A e i= 1 k= 1 n * * jω j it ωk ( t+ τ) = + τ = i k = n j( ωi ωk) t jωτ k = E Ai A k e e = i= 1 k= 1 n n n 2 j i 2 j i 2 j2 fi E A ωτ ωτ π τ i e σi e σi e i= 1 i= 1 i= 1 = = = = i i 2 Lo spettro è quindi: S( f ) σ δ ( f f ) righe nei punti f i. i, cioè costituito da n 564

64 Ergodicità Il concetto di Ergodicità è connesso alla situazione, che spesso si presenta, nella quale si desiderano stimare delle statistiche di un processo, avendo a disposizione una sola realizzazione X ( t,ζ ) del processo stesso. Un esempio è fornito dalla stima del valore atteso E X ( t) si chiede se si può utilizzare la media temporale: per la quale ci T X lim X t, dt lim X T T T ( ζ ) = ( ζ) ( ζ) T 2 T 565

65 Ergodicità (segue) L uso della media temporale estesa ad un intervallo al limite infinito presenta diversi problemi: a) Sotto quali condizioni esiste il limite di X per t? b) Se questo limite esiste, esso dipende in generale dalla particolare realizzazione: X X ( ) costante? = ζ. Sotto quali condizioni esso è invece 566

66 Teorema di Birkhoff Se il processo () quasi tutte le sue realizzazioni. Ergodicità (segue) { } X t è stazionario e () E X t <, allora X esiste per (Questo significa che X può non esistere per realizzazioni con probabilità nulla). Definizione di Ergodicità: Un processo stazionario X ( t ) è ergodico se le sue medie di insieme (medie statistiche) sono uguali ad opportune medie temporali. Ogni statistica di un processo ergodico può essere calcolata da una singola realizzazione. 567

67 Calcolo della media statistica Ergodicità (segue) ( ) E X t Dato un processo X ( t ) con valor medio E X ( t) media temporale = η costante, si forma la X T calcolata su un intervallo di ampiezza T : X T 1 = T + T 2 T 2 () X t dt T E [ XT ] = E X () t dt =η T T 2 568

68 Ergodicità (segue) Ergodicità rispetto alla media: Il processo X () t è ergodico rispetto alla media se, con probabilità 1 si ha: T lim X = lim X () t dt T T T T cioè se la media temporale coincide con il valore atteso del processo. Ciò e vero se e solo se la varianza della media temporale 2 T T 2 [ ] σ = Var X tende a zero per T che tende a infinito: lim σ = 0 T 2 T T 569

69 Ergodicità (segue) Ergodicità rispetto alla correlazione: Un processo stazionario in senso lato X ( t ) è ergodico rispetto alla correlazione se la sua autocorrelazione: ( τ ) = ( +τ) ( ) RX E X t X t può essere ricavata da una singola realizzazione. Se si considera il processo Zτ ( t) = X ( t) X ( t+τ ) il processo X ( t ) risulta ergodico rispetto alla correlazione se Z ( t) Infatti in questo caso si ha: T T/2 τ è ergodico rispetto alla media. +T / 2 1 lim X t X t dt E X t X t R T () ( +τ ) = () ( +τ ) = ( τ) X 570