COME APPARE IL CAOS DETERMINISTICO

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1 COME APPARE IL CAOS DETERMINISTICO Serie temporale Spettro di potenza Quadro delle traiettorie Sezione di Poincaré Auto-somiglianza Sensibilità alle condizioni iniziali C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 1/17

2 SERIE TEMPORALE E la registrazione dei valori assunti da una (o più) variabili al passare del tempo. Ad esempio, in un sistema a tempo continuo x& ( t) = y( t) = f ( x( t)) g( x( t)) In generale, l uscita è una funzione delle variabili di stato (spesso coincide con una delle variabili di stato). In regime caotico, y (t) ha un comportamento non periodico e apparentemente casuale. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 2/17

3 Esempio (a tempo continuo): barriera di potenziale con sollecitazione periodica (Moon and Holmes, 1979) x& 1 = x 2 1 x& 2 = ( F( x1 ) hx2 + U sin t) m dp( x) 2 F( x) = x(1 x ) dx La variabile misurata è la posizione: ( t) x1 ( t) y =. P(x) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 3/17

4 Esempio (a tempo discreto): la mappa logistica : (May, 1976) ( 1 x( )) x( t + 1) = r x( t) t Per r = 3. 9 l andamento di (t) x è non periodico. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 4/17

5 SPETTRO DI POTENZA Il segnale y (t) può essere scritto, utilizzando la trasformata di Fourier nella forma iφ( ω) Y ( ω) = Y( ω) e, 1 y ( t) = + Y ( ω) cos( ωt + φ( ω)) dω π 0 cioè come la somma di un infinità (non numerabile, in generale) di sinusoidi: la sinusoide di frequenza ω ha ampiezza proporzionale a Y (ω). La funzione Y (ω) si dice spettro di ampiezza. La funzione di potenza. 2 P ( ω) = Y( ω) si dice spettro C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 5/17

6 Se y (t) è periodico, con periodo = 2π / ϖ può scrivere y (t) nella forma iφk T, utilizzando la serie di Fourier Y = Y e, si k k y( t) = Y(0) k= 1 Y k cos ( kϖ t + φ ) k Lo spettro è ad impulsi (= non nullo solo per ω multiplo di ϖ ). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 6/17

7 Un segnale caotico è caratterizzato da uno spettro a banda larga. Esempio: esperimento di Taylor-Couette: y (t) è la velocità del fluido misurata in un punto prefissato. regime periodico quasi-periodico caotico C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 7/17

8 Esempio: sistema di Duffing (1918): x& 1 x& 2 = x 2 = α x 1 β x 3 1 h x 2 + qsint C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 8/17

9 Esempio: sistema di Lorenz (1963) x& = σx + σy y& = rx y xz z& = bz + xy serie temporale x (t) spettro di potenza C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/2012 9/17

10 QUADRO DELLE TRAIETTORIE In regime caotico, le traiettorie rimangono limitate non ripassano mai da uno stato già visitato (= non periodicità) ma transitano arbitrariamente vicino ad esso sono caratterizzate da geometrie complesse Esempio: sistema di Lorenz (simulazione) x& = σx + σy y& = rx y xz z& = bz + xy C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17

11 Esempio: sistema di Rössler (1976) (simulazione) x& = y z y& = x + ay z& = b + ( x c) z Esempio: traiettoria ricostruita da una serie temporale ottenuta sperimentalmente (concentrazione di un componente in una reazione chimica) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17

12 Esempio: sistema ( mappa ) di Henon (1976) (a tempo discreto). x( t + 1) = y( t + 1) = y( t) + 1 ax( t) bx( t) 2 Nel piano di stato (, y) x, la traiettoria è la successione di punti ( ( t), y( t) ) x, = 0,1, K t. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17

13 SEZIONE DI POINCARE Per il sistema a tempo continuo x & = f (x) di ordine n, la sezione di Poincaré è una superficie -dimensionale P, la quale è trasversale (in ( n 1) un punto z ) ad un ciclo limite γ. La traiettoria che parte da P nei punti z ( 1), z(2), K. z(0) P riattraverserà Quindi x & = f (x) definisce (vicino a γ ) un sistema a tempo discreto (mappa di Poincaré) z ( t + 1) = P( z( t)) dove z R n 1, z = P(z). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17

14 La mappa di Poincaré può essere definita anche per un sistema a tempo continuo x ( t) = f ( t, x( t)) T > ): & periodico rispetto a t (con periodo 0 f ( t, x) = f ( t + T, x), per ogni t, x E sufficiente considerare la mappa di periodo T (o mappa stroboscopica ): z ( k + 1) = P( z( k)) dove ( k) x( kt ) k = 0,1,2,K. z =, Sulla sezione di Poincaré, si visualizza quindi la traiettoria del sistema a tempo discreto z ( k + 1) = P( z( k)) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17

15 In regime caotico, la sezione di Poincaré evidenzia un insieme limitato caratterizzato da geometria complessa. Esempio: barriera di potenziale con sollecitazione periodica. Esempio: laser: sezione di Poincaré ricavata mediante esperimenti. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17

16 AUTO-SOMIGLIANZA In regime caotico, la traiettoria possiede geometria auto-somigliante : la sua struttura geometrica si riproduce a scala arbitrariamente piccola. Esempio: zoom nella traiettoria della mappa di Henon. La struttura a 6 bande si ripete all infinito. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17

17 SENSIBILITÀ ALLE CONDIZIONI INIZIALI In regime caotico, stati iniziali arbitrariamente vicini danno luogo a traiettorie che, in tempo finito, risultano tra loro distanti. Evoluzione di un piccolo insieme contenente 10 4 stati iniziali. Dopo un po di tempo, le traiettorie sono praticamente incorrelate (parametri: σ = 10, b = 8/ 3, r = 28). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 27/11/ /17