SINCRONIZZAZIONE. Cos è (e cosa non è) la sincronizzazione. Sincronizzazione di fase di oscillatori periodici

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1 SINCRONIZZAZIONE Cos è (e cosa non è) la sincronizzazione Sincronizzazione di fase di oscillatori periodici Sincronizzazione di fase di oscillatori caotici Sincronizzazione completa C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 /4

2 COS E (E COSA NON E ) LA SINCRONIZZAZIONE La sincronizzazione è l adattamento del ritmo di due (o più) oscillatori dovuta alla loro debole interazione. Esempio: gli orologi a pendolo (Huygens, 665) I due orologi (=oscillatori), separati, hanno velocità di avanzamento leggermente diverse. Connessi allo stesso supporto (=debole interazione), gli orologi avanzano a velocità perfettamente identica (=adattamento del ritmo). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 /4

3 Lo scenario tipico è quello di una lingua di Arnold: f, f : frequenze degli oscillatori non interagenti ( f = f f Δ ) F, F : frequenze degli oscillatori interagenti ( F = F F ε : grado di interazione Δ ) La sincronizzazione ( ΔF = 0) può avvenire se f Δ è sufficientemente piccolo. La sincronizzazione può avvenire con ε piccolo a piacere (ma richiede f più piccolo). Δ sempre C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 3/4

4 L osservazione che due variabili oscillano in modo sincrono non implica necessariamente che vi sia sincronizzazione. Esempio: preda-predatore x = n di prede x = n di predatori Se le due variabili sono disaccoppiate (il predatore non trova le prede) le oscillazioni svaniscono. Il sistema non è separabile in sottosistemi (non interagenti) che oscillano indipendentemente. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 4/4

5 Non è corretto parlare di sincronizzazione se l interazione tra gli oscillatori è forte. Quando l interazione si può considerare debole? Intuitivamente, se un sotto-sistema cessa di oscillare non deve impedire agli altri di continuare a farlo. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 5/4

6 SINCRONIZZAZIONE DI FASE DI OSCILLATORI PERIODICI Fase di oscillatori periodici La fase Φ (t) di un oscillatore di periodo T è definita come: πt Φ( t) = + const = ωt + const T Φ (t) è una variabile che cresce linearmente nel tempo. ω = dφ( t) dt è la pulsazione di oscillazione. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 6/4

7 Sincronizzazione di un oscillatore periodico con una forzante periodica Un oscillatore periodico sottoposto a forzante periodica u (t): Φ u (t) =fase della forzante ( u = dφu ( t) dt Φ (t) =fase dell oscillatore ( ω = dφ( t) dt ) ω ) ω ω. Senza interazione ( u ( t) = 0) supponiamo risulti u L oscillatore si dice sincronizzato con la forzante (sincronizzazione di fase, phase locking ) quando Φ( t) Φu ( t) = const o più in generale Φ( ) Φ ( t) < const t u C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 7/4

8 Nota bene: Φ( ) Φ ( t) < const t u se e solo se ω = ω u La sincronizzazione di fase equivale quindi alla sincronizzazione di frequenza ( frequency locking ). In definitiva, la sincronizzazione fa in modo che l oscillatore sia agganciato alla frequenza della forzante. Le ampiezze dei segnali possono invece restare incorrelate. Più in generale, si parla di sincronizzazione in frequenza di ordine quando n : m ( n, m interi) nω u = mω cioè Φ ( t) mφ( t) < const Ciò significa che l oscillatore compie n periodi ogni m periodi della forzante ( nt = mtu ). n u C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 8/4

9 Esempio: ventilazione polmonare forzata C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 9/4

10 Esempio: sincronizzazioni di vari ordini n : m in un laser Nel laser non forzato l intensità luminosa oscilla con f 0 40Hz ( ω0 π f0). Il sistema viene sottoposto a ingresso periodico (segnale di tensione) con varie frequenze (pulsazione ω ) ed ampiezze (V). u Sincronizzazione :: l oscillatore compie periodo ogni periodi della forzante. ω = ω u / ω = ω u Lingue di Arnold relative a sincronizzazioni di vari ordini. ω u /ω 0 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 0/4

11 Sincronizzazione di due oscillatori periodici Due oscillatori si influenzano reciprocamente: Nota: i segnali u e u possono dipendere dagli stati di entrambi i sistemi. Φ ( t ) =fase dell oscillatore ( = dφ ( t) dt Φ ( ) =fase dell oscillatore ( = d ( t) dt t ω ) ω Φ ) Senza interazione ( u = u = 0) supponiamo risulti ω ω. I due oscillatori si dicono sincronizzati (in fase e in frequenza) quando Φ < ( t ) Φ ( t) const cioè ω = ω Analogamente si definisce la sincronizzazione di ordine n : m come n ω = m ( nt = mt ) cioè n Φ ( t) mφ ( t) const ω < C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 /4

12 Esempio: due atleti fanno jogging su una pista circolare, ciascuno con la propria velocità (costante): Φ& Φ& = ω = ω Il sistema ( Φ, Φ) ha funzionamento (genericamente) quasi-periodico. I due atleti sono amici e cercano di sincronizzare le loro velocità, correggendo la loro velocità di base con un termine dipendente dalla loro distanza: Φ& Φ& = ω + k = ω + k sin( Φ sin( Φ Φ Φ ), ), k k < ω < ω La differenza di fase ϕ = Φ Φ è quindi governata dal sistema di ordine : & ϕ = ω ω ( k + ) sinϕ k C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 /4

13 I due atleti sincronizzano se Φ = Φ, cioè se & & ϕ& = 0 ω sin ω ϕ = k + k Se ( ω ω) è abbastanza piccolo e/o ( k + k ) è abbastanza grande, esistono due valori di equilibrio per ϕ, uno asintoticamente stabile ( ϕ * ) e l altro instabile. * Quando ϕ = ϕ, il sistema ( Φ, Φ) ha funzionamento periodico. I due corridori hanno fase sincronizzata poiché Φ & = Φ& cioè Φ t ) Φ ( t) = ( const Tuttavia, in generale, Φ ( t) Φ( t) (i due atleti corrono alla stessa velocità ma continuano a restare separati ). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 3/4

14 La sincronizzazione di fase (=soluzione periodica (, Φ ) asintoticamente stabile) avviene quando ω ω k < + k cioè all interno di una lingua di Arnold. Al variare di ( ω ω) e/o ( k + k), la perdita di sincronizzazione avviene, attraversando la frontiera della lingua di Arnold, mediante una biforcazione nodo-sella (=tangente) che coinvolge una soluzione periodica ( Φ, Φ ) asintoticamente stabile e una instabile. In questo esempio non ci sono altre lingue ( n : m con, m n ). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 4/4

15 Esempio: sincronizzazione di oscillatori a triodo (Appleton, 9) I due oscillatori interagiscono attraverso i campi magnetici generati dai due induttori (posti fisicamente vicini). C ω varia in funzione della capacità variabile C ) rilevano un intervallo di C in cui vi è sincronizzazione. Gli esperimenti riportati nel diagramma ( ω C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 5/4

16 Esempio: sincronizzazione di generatori elettrici I generatori collegati alla rete elettrica (nazionale, internazionale) mantengono la medesima velocità di rotazione (=frequenza del segnale elettrico) per sincronizzazione. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 6/4

17 Esempio: ritmo respiratorio e battito d ali nel volo delle oche migratorie f / 4 f / 3 f / 3: f La distribuzione delle frequenze di respirazione presenta una netta evidenza di sincronizzazione di ordine 3: con la frequenza del battito d ali ( 3 f = f, 3T = T, ovvero respiro ogni 3 battiti d ali). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 7/4

18 SINCRONIZZAZIONE DI FASE DI OSCILLATORI CAOTICI Fase di oscillatori caotici La fase Φ (t) di un oscillatore caotico deve essere definita come una variabile monotonicamente crescente che parametrizza il movimento del sistema. La pulsazione media dell oscillatore è definita come ω = t) lim Φ( t t C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 8/4

19 Fase in un oscillatore caotico: Proiezione dell attrattore E una definizione di fase possibile quando l attrattore ha opportune caratteristiche geometriche. Esempio: sistema di Rössler Φ ( t) = arctan y( t) x( t) ~ y ~ x Per altri valori dei parametri, l attrattore è tale da rendere impossibile la definizione di fase prima adottata. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 9/4

20 In alcuni casi, la definizione di fase mediante la proiezione dell attrattore diventa possibile con un cambio di variabile. Esempio: sistema di Lorenz z C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 0/4

21 Fase in un oscillatore caotico: Sezione di Poincaré Individuata nello spazio di stato un opportuna sezione di Poincaré Π, si definisce (t) modo che aumenti (linearmente) di π tra due attraversamenti consecutivi di Π. Φ in Φ t t ( t) = π k + πk, tk t < tk+ tk+ tk C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 /4

22 Una sezione di Poincaré comoda è quella che corrisponde ai massimi di una delle variabili di stato. In questo modo è anche possibile associare una fase Φ (t) ad una serie temporale caotica (analisi picco-picco). Esempio: sistema preda-predatore (Rosenzweig-MacArthur) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 /4

23 Sincronizzazione di un oscillatore caotico con una forzante periodica Φ è la fase della forzante periodica, ω = dφ ( t) dt u (t) u u Φ (t) è la fase dell oscillatore caotico, ω lim Φ( t t = t ) L oscillatore si dice sincronizzato con la forzante (sincronizzazione di fase) quando Φ( ) Φ ( t) < t u const Quindi la differenza tra le fasi può variare ma deve rimanere limitata. Nota bene: Φ( ) Φ ( t) < const t u se e solo se ω = ω u La sincronizzazione di fase equivale quindi alla sincronizzazione di frequenza. In definitiva, la sincronizzazione fa in modo che l oscillatore sia agganciato alla frequenza della forzante. Le ampiezze dei segnali possono invece restare incorrelate. In particolare: Il movimento dell oscillatore può rimanere caotico. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 3/4

24 Esempio: sistema di Rössler con forzante periodica x& = y z + ε cos( ω t) y& = x + 0.5y z& = z( x 8.5) u La sincronizzazione di fase avviene all interno di una lingua di Arnold. ω ω u ω u C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 4/4

25 Diagramma stroboscopico: i punti marcano la traiettoria negli istanti multipli di periodo della forzante). π ω (il u In assenza di sincronizzazione (figura b) i punti sono distribuiti su tutto l attrattore (la loro fase è distribuita tra π e π ). In regime di sincronizzazione (figura a) i punti sono concentrati in un intervallo di fase molto ristretto. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 5/4

26 Esempio: esperimento su un tubo Geissler forzato periodicamente Il tubo (tipo Geissler ad elio), sottoposto alla tensione costante di 800V, presenta oscillazioni caotiche nell intensità luminosa. In figura l attrattore ricostruito proiettato in uno spazio di dimensione. La stima della dimensione frattale è d =. 8. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 6/4

27 Diagramma stroboscopico del sistema non forzato: i punti sono distribuiti su tutto l attrattore (la loro fase è distribuita tra π e π ). Applicando una forzante sinusoidale (ampiezza 0.4V, frequenza 3850 Hz ) si ottiene sincronizzazione di fase. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 7/4

28 Esempio: sistema di Lorenz con forzante periodica x& = 0( y x) y& = 8x y xz z& = (8 3) z + xy + ε cos( ω u t) In questo caso, la sincronizzazione di frequenza è imperfetta ( 0) comunque siano scelti a zero). ω ω u ω e ε (anche se per certi valori di ω e ε la differenza ω ω è molto vicina u u u ω ω u ω u C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 8/4

29 Si osservano lunghi intervalli di apparente sincronizzazione ( interrotti da improvvisi salti di ( t) Φu ( t) giro rispetto alla forzante). Φ di π Φ( ) Φ ( t) < const t u ), (ogni tanto l oscillatore perde un ( Φ( t) ω t) / π u Nel caso del sistema di Lorenz, ciò avviene quando la traiettoria passa molto vicina alla sella ( x, y, z) = (0,0,0), nei pressi della quale può rimanere intrappolata per un tempo arbitrariamente lungo ( effetto sella ). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 9/4

30 Esempio: sincronizzazione imperfetta nella locomozione dello halobacterium salinarium E un batterio cigliato, che si muove in un fluido invertendo direzione ad intervalli irregolari. Sottoposto a stimolazione luminosa periodica (=sequenze di flash) di ampiezza A, la durata degli intervalli di commutazione tende a sincronizzare con il periodo T di stimolazione. A = T =.5 A = 4 T =. 5 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 30/4

31 ( A T Per certe coppie, ), tuttavia, alcuni flash non producono inversione di direzione. A = T = 9 A = T = 6 Si tratta di sincronizzazione imperfetta: lunghi intervalli di apparente sincronizzazione (=il batterio commuta con la stessa frequenza della forzante) sono interrotti da improvvisi salti di fase (=il batterio commuta volta ogni impulsi luminosi). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 3/4

32 Sincronizzazione di due oscillatori caotici Φ ( t) =fase dell oscillatore ( lim ( t t ω = t Φ ) ) Φ ( t ) =fase dell oscillatore ( lim ( t t ω = t Φ ) ) ω. Senza interazione ( u = u = 0) supponiamo risulti ω I due oscillatori caotici si dicono sincronizzati (in fase e in frequenza) quando Φ t ) Φ ( t) const cioè ω = ω ( < C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 3/4

33 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 33/4 Esempio: due sistemi di Rössler debolmente accoppiati [ ] [ ] [ ] 5.7) ( 0. ) ( 0. ) ( ) ( ) ( + + = + + = + + = x z z y x y x x z y x δ δ ε δ & & & [ ] [ ] [ ] 5.7) ( 0. ) ( 0. ) ( ) ( ) ( + = + = + = x z z y x y x x z y x δ δ ε δ & & & La sincronizzazione di fase avviene all interno di una lingua di Arnold. ε δ Δω

34 Esempio: controllo posturale Con una speciale piattaforma, è possibile rilevare le oscillazioni anteriore/posteriore x (t) e laterale y (t) di un soggetto in piedi, in varie condizioni sperimentali (occhi aperti, occhi chiusi, ). La serie temporale ( x (t), y (t)) ( stabilogramma ) contiene importanti informazioni sul sistema nervoso centrale. In generale, interrelazioni tra le due variabili denotano la presenza di patologie. In questo esempio, sebbene le ampiezze di x (t) e y (t) siano variabili e incorrelate, le due oscillazioni sono perfettamente sincronizzate in fase. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 34/4

35 SINCRONIZZAZIONE COMPLETA Consideriamo due sistemi Σ e Σ : tra loro identici ( f è la stessa): x & = f ( x, u ) x & = f ( x, u ) & in regime caotico quando non interagenti ( x & = F( x ), x = F( x ), F( x) = f ( x,0) ) u interagenti in modo uni- o bi-direzionale: = g( x, x ), u = g( x, x ) Nota: Σ e Σ ammettano lo stato sincronizzato (o sincrono), ovvero la varietà (lineare) x ( t) = x ( t) è invariante. Nello stato sincronizzato si vede la dinamica del sistema x = x = x, x& = f ( x, g( x, x)), che coincide con quella del singolo sistema isolato & se g ( x, x) = 0. x = F(x) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 35/4

36 Tra Σ e Σ avviene sincronizzazione completa se lim x ( t) x ( t) = t 0 Nota bene: La definizione equivale a richiedere che lo stato sincronizzato x ( t) = x ( t) sia asintoticamente stabile (almeno localmente). A differenza della sincronizzazione di fase (=stessa frequenza media ma ampiezze non necessariamente correlate), la sincronizzazione completa comporta la perfetta coincidenza del movimento dei due sistemi. Perché ciò avvenga, l interazione necessaria può non essere debole. Più in generale, i due sistemi possono venire considerati non identici ma simili (p.e. stesse equazioni ma parametri leggermente diversi). In questi casi si richiede che x ( t) x ( t) < const La sincronizzazione completa preserva la caoticità del movimento dei due sistemi (se nello stato sincronizzato si vede la dinamica del singolo sistema isolato). g( x, x) = 0 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 36/4

37 Esempio: sincronizzazione di due mappe F (x) I due sistemi sono a tempo discreto, di ordine (mappa a tenda asimettrica, a = 0. 7 ): F ( x) = ( x x) a ( a) se 0 x < a se a x Senza interazione, la dinamica è caotica. x I due sistemi vengono fatti interagire in modo bi-direzionale: x ( t + ) = x ( t + ) = f ( x ( t), u ( t)) = ( ε ) F( x ( t)) + εf( x ( t)) f ( x ( t), u ( t)) = εf( x ( t)) + ( ε ) F( x ( t)) con f ( x, u) = F( x) + u e g ( x, x ) = ε ( F( x ) F( x )) (verifica!). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 37/4

38 Il parametro ε misura l entità dell interazione: ε = 0 (nessuna interazione) x (t) e x (t ) evolvono indipendentemente in modo caotico. x (t ) x (t) ε = 0. (debole interazione) x (t ) x (t) e x (t) sincronizzare. mostrano la tendenza a x (t) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 38/4

39 Sperimentalmente, si rileva che la sincronizzazione completa si ha per ε > ε c Per ε di poco inferiore a c (p.e. ε = ε c 0. 00) si rilevano intervalli di apparente sincronizzazione, interrotti da fiammate di de-sincronizzazione. ε ( x x ) / ε = 0.3 (sincronizzazione completa) x (t) e x (t) coincidono in ogni istante e riempiono l intervallo (0,). x (t) x (t) ε = corrisponde alla massima interazione: si ha x ( t) = x ( t) a partire da = t (vedi equazioni) per ogni condizione iniziale (sincronizzazione completa in tempo finito). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 39/4

40 Esempio: sincronizzazione (sperimentale) di due circuiti di Chua Due circuiti teoricamente identici (in pratica, leggermente diversi a causa delle tolleranze dei componenti) interagiscono tramite un accoppiamento uni-direzionale: Le equazioni (adimensionalizzate) dei due sistemi sono le seguenti: x& = α( y x h( x )) y& = x y + z + u z& = βy u = K( y y ) x& = α( y x h( x )) y& = x y + z z& = βy Il parametro K misura l entità dell interazione. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 40/4

41 La sincronizzazione completa avviene superando un valore critico K = K c (.,.). K =. K =. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 7/0/03 4/4