Dinamica di sistemi non lineari

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Flaviano Giordano
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Dinamica di sistemi non lineari DINAMICA: ANALISI DI SISTEMI CHE EVOLVONO NEL TEMPO ( in prima battuta, determinazione della presenza di equilibri e valutazione della loro stabilità).

1 Dinamica di sistemi non lineari DINAMICA: ANALISI DI SISTEMI CHE EVOLVONO NEL TEMPO ( in prima battuta, determinazione della presenza di equilibri e valutazione della loro stabilità). CENNI STORICI Metà del 1600 Nascita della dinamica: Isaac Newton legge di interazione Sole-Terra (problema dei corpi). Interazione Sole-Terra-Luna (problema dei 3 corpi)? 1700 Fioritura del calcolo e della meccanica classica Studi analitici del moto planetario problema dei 3 corpi impossibile da risolvere. Fine 1800 Henri Poincaré analisi qualitativa della dinamica di un sistema (metodo geometrico). Intuisce che un sistema deterministico può ammettere comportamenti aperiodici che dipendono sensibilmente dalle condizioni iniziali impossibile previsione a lungo termine Lapique introduce il primo modello (fortemente astratto) di neurone, originando la categoria dei modelli "integra e spara" (integrate and fire o IF) Oscillatori non lineari ( invenzioni della radio, del radar e del laser). Comportamenti complessi nella meccanica Hamiltoniana (estensione del metodo geometrico di Poincaré). 1

2 Anni '50 Calcolatori ad "alta" velocità (previsioni del tempo) sviluppo di intuizioni relative ai sistemi non lineari. 195 Modello di Hodgkin e Huxley (premi Nobel nel 1963) dell'attività elettrica dell'assone del calamaro gigante: descrive tale attività mediante un sistema dinamico. È il primo della categoria dei cosiddetti modelli "conductancebased", che tengono conto dei fenomeni biofisici alla base del comportamento elettrico del neurone. Anni '60 Lorenz moto caotico in modello semplificato delle celle di convezione nell'atmosfera. Soluzioni: non raggiungono mai un equilibrio nè uno stato periodico, continuano a oscillare in modo irregolare, aperiodico. Due stati iniziali leggermente differenti soluzioni ben presto completamente diverse ("effetto butterfly"). 45 Alan Lloyd Hodgkin Andrew Huxley X T

3 Conclusione: sistema atmosferico intrinsecamente impredicibile. Esiste un ordine anche in sistemi caotici: nello spazio delle variabili del modello, le soluzioni si mantengono limitate ( sorta di farfalla) Z Y X X Y Anni '70 Boom degli studi sul caos nei settori più disparati: fluidodinamica, chimica, elettronica, meccanica, biologia, economia (più tardi). Frattali (Benoit Mandelbrot). 3

4 L'IMPORTANZA DELLA NON LINEARITA' Sistemi dinamici: evolvono nel tempo e sono caratterizzati da uno stato. Stato di un sistema: è l'insieme delle informazioni necessarie e sufficienti per predire il futuro del sistema stesso (che si suppone noto, con gli eventuali ingressi), a partire da un certo istante t 0 è l'insieme delle condizioni iniziali (in t = t 0 ) di un insieme limitato di variabili (dette di stato). Le equazioni che descrivono il modo di evolvere di tali variabili possono essere: equazioni differenziali sistemi a tempo continuo (es.: filtri analogici): ( ) x = f x (t),,x (t);u (t),,u (t);t N 1 M ( ) x = f x (t),,x (t);u (t),,u (t);t N N 1 N 1 M Tutte le altre variabili (non di stato) del sistema si ricavano algebricamente (un sistema puramente algebrico è un caso particolare di sistema dinamico): ( ) y (t) = g x (t),,x (t);u (t),,u (t);t N 1 M ( ) y (t) = g x (t),,x (t);u (t),,u (t);t P P 1 N 1 M equazioni alle differenze (mappe iterate) sistemi a tempo discreto (es. filtri digitali, filtri a capacità commutate): x(t ) = f 1 k+ 1 1 x (t ) = f N k+ 1 N ( ) ( ) Anche in questo caso, tutte le altre variabili (non di stato) del sistema si ricavano algebricamente. 4

5 Equazioni differenziali: ordinarie (ODE) alle derivate parziali (PDE) Esempio di ODE oscillatore armonico smorzato: m dx + b dx + kx = dt dt Esempio di PDE equazione del calore: = u u t x 0 Sistema di ODE: può essere espresso (in assenza di ingressi e di dipendenze esplicite dal tempo) come dove x k dxk =. dt a x = f x,..., x a N x = f x,..., x f (*) N N 1 N f Se f = N cx k j j j= 1 (k = 1,,N) sistema lineare. In caso contrario sistema non lineare. Esempio: oscillatore armonico smorzato. Definiamo x 1 = x e x = x : x x = x 1 b = m x k m x 1 sistema lineare Se esiste soluzione unica x 1 (t) e x (t). 5

6 Soluzione sul piano (x 1,x ) istante per istante: tempo continuo tempo discreto x traiettoria linea continua x 1 (t 0 ),x (t 0 ) x 1 (t f ),x (t f ) verso del tempo traiettoria successione di punti x 1 (t 0 ),x (t 0 ) x x 1 (t 4 ),x (t 4 ) x 1 (t 1 ),x (t 1 ) x 1 (t 3 ),x (t 3 ) x 1 (t ),x (t ) x 1 x 1 Caso particolare: regime periodico x x 1 (t),x (t) = x 1 (t+t),x (t+t) NOSTRO OBIETTIVO: sistema N-dimensionale (o di ordine N) (*) disegnare le traiettorie (senza risolvere il sistema!) informazioni sulle soluzioni. N è la dimensione dello spazio degli stati. Sistemi lineari (o, entro certi limiti, lineari a tratti) si spezza l'analisi in sottoproblemi più semplici e si ricombinano le soluzioni parziali (p. es. usando sovrapposizione degli effetti, trasformate di Laplace o analisi di Fourier). Sistemi non lineari "smooth" meccanismi di interazione o interferenza, cooperazione o competizione analisi molto più complessa (spesso non x 1 si riescono a trovare soluzioni in forma chiusa). 6

7 SISTEMI AUTONOMI E SISTEMI NON AUTONOMI Il sistema a x = f x,..., x a N x = f x,..., x f (*) N N 1 N si dice autonomo perché non include alcuna dipendenza esplicita dal tempo. Sistema non autonomo di ordine N sistema autonomo di ordine N+1. f Esempio: oscillatore armonico con forzante sinusoidale m dx b dx kx F t dt + dt + = cos (eq. non autonoma del ordine) m 0 F cos t Sistema (autonomo) corrispondente (basta introdurre una nuova variabile x 3 = t): x x x = x 1 k m x b = m x + = F cos x m (sistema non lineare autonomo del 3 ordine) Punto di vista fisico: lo stato dell'oscillatore armonico forzato è in effetti 3D (per poter predire il futuro, dato il presente, servono 3 variabili: posizione x, velocità x e tempo t). x Vantaggio di questo cambio di variabili? Riesco a visualizzare le traiettorie [x 1 (t),x (t),x 3 (t)] in uno spazio (spazio di stato) in cui il tempo NON compare esplicitamente posso adottare un metodo geometrico per ricavare informazioni sulla soluzione. 7

8 SISTEMI DETERMINISTICI E SISTEMI STOCASTICI Sistema deterministico: al tempo t 0 +Δt c'è un unico stato possibile x(t 0 +Δt) come conseguenza di un dato stato iniziale x(t 0 ). Sistema stocastico (o random): al tempo t 0 +Δt c'è più di una possibilità la scelta viene effettuata in base a una certa distribuzione di probabilità. Esempio: oscillatore armonico con forzante sinusoidale e rumore additivo m dx b dx kx F t n t dt + dt + = cos + ( ) dove, per esempio, n(t) è un rumore gaussiano a varianza σ e media nulla. Schema seguente: ) fornisce esempi di sistemi a diversi livelli di complessità (lineari o non lineari, di diverse dimensioni). ) dice che useremo strumenti di analisi applicabili a sistemi provenienti dalle discipline più diverse (fisica, biologia, economia, ecc.). ) differenti livelli di complessità (diverse zone della mappa) esempi relativi a varie discipline e comportamenti tipici. ) In ambito lineare conoscenze ben assestate. Nel non lineare zone solo parzialmente conosciute. La ricerca si svolge attualmente nella maggior parte dei casi proprio in queste regioni. 8

9 Complessità di un sistema N = 1 N = N = 3 N >> 1 N (continuo) Crescita, decadimento o equilibrio Oscillazioni Fenomeni collettivi Onde e patterns Crescita esponenziale Oscillatore lineare Meccanica razionale Oscillatori armonici Elasticità accoppiati LINEARE Circuito RC Circuito RLC Ingegneria civile Fisica dello stato solido Equazioni delle onde Decadimento radioattivo Problema dei due corpi (Newton, Keplero) Ingegneria elettrica Dinamica molecolare Elettromagnetismo (Maxwell) Quantomeccanica (Schrödinger, Heisenberg, Dirac) Calore e diffusione Acustica NON LINEARE Caos deterministico Complessità spazio-temporale Punti fissi Cicli limite Attrattori strani (Lorenz) Oscillatori non lineari accoppiati Onde non lineari (onde di shock, solitoni) Biforcazioni Oscillatori biologici (neuroni, Problema dei 3 corpi Laser Plasmi cellule cardiache) (Poincarè) Elettronica non lineare Cinetiche chimiche Fisica dello stato solido non Terremoti (Van der Pol, Josephson) lineare (semiconduttori) Oscillatori non lineari Reti neurali formali e reti Relatività generalizzata (forzati) e sistemi caotici neuronali Frattali e mappe iterate Ecosistemi Fenomeni di reazione-diffusione Caos stocastico Economia Onde biologiche e chimiche Risonanza stocastica Turbolenza dei fluidi (Navier- Stokes) 9

10 SISTEMI CHE SARANNO TRATTATI NEL CORSO Nell'ambito del corso considereremo sistemi (modelli) non lineari, deterministici, autonomi, con particolare attenzione ai modelli di neuroni biologici, a diversi livelli di astrazione. Daremo qualche cenno sui modelli astratti (del tipo integra e spara), che rivestono grande importanza quando si tratta di simulare reti con un elevato numero di neuroni. Analizzeremo in maniera più approfondita (dal punto di vista della dinamica non lineare) modelli "conductance-based", che hanno una maggiore aderenza al sistema biologico che modellano, ma la cui complessità rende difficili simulazioni di reti su larga scala. Schema che classifica vari modelli sulla base della plausibilità biologica e del costo computazionale: I modelli che analizzeremo più in dettaglio sono incorniciati in rosso.

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