ATTRATTORI CAOTICI. Attrattori. Classificazione degli attrattori: equilibri, cicli, tori, caos. Esponenti di Liapunov di attrattori

Transcript

1 ARAORI CAOICI Attrattori Classificazione degli attrattori: equilibri, cicli, tori, caos Esponenti di Liapunov di attrattori Sistemi dissipativi C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 1/21

2 ARAORI Consideriamo un sistema a tempo continuo o discreto e indichiamo con x( t) Φ( t, x0) x & = f (x) oppure x ( t + 1) = f ( x( t)) =, 0 t, il movimento che si origina dallo stato iniziale x 0. Definizione: Un insieme chiuso e limitato n A R è un attrattore se i) è invariante (cioè: Φ ( t, A) A per ogni t 0) (cioè: partendo da A si rimane in A per sempre) ii) è attrattivo (cioè: esiste un insieme aperto U A tale che Φ ( t, U ) A per t + ) (cioè: partendo da un punto vicino ad A si tende ad A) iii) è minimo (o indecomponibile) (cioè: non esiste nessun sottoinsieme proprio di A che soddisfa le condizioni i) e ii) ) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 2/21

3 La condizione iii) può essere sostituita con altre (in larga misura equivalenti ma più rigorose), che mettono in evidenza importanti proprietà dell attrattore: A è indecomponibile (o topologicamente transitivo): per ogni coppia di insiemi X X A Φ( t, X ) X 0, aperti di A esiste 0 t tale che A contiene orbite genericamente dense: per un generico punto x A 0, l insieme { Φ( t, x0) t 0} è denso in A, cioè partendo da un generico punto di A si passa prima o poi arbitrariamente vicino a qualunque punto di A C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 3/21

4 Bacino di attrazione (A) iniziali da cui il movimento tende ad A. B è l insieme B A) = { x Φ( t, x) A} (, cioè l insieme di stati Esempio: due quadri delle traiettorie con attrattori multipli C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 4/21

5 Per definizione, gli esponenti di Liapunov i,x( ) traiettoria (cioè ad uno stato iniziale x (0)). L 0, i 1,2, K, n Se la traiettoria converge ad un attrattore A, cioè se ( 0) B( A) L 1 lim ln λ i t =, sono associati ad una x, nell equazione [ J ( x( t 1)) J ( x( t 2)) LJ ( (0))] i, x(0) = x t il contributo dovuto al transitorio di avvicinamento ad A tende a 0 per t. Di conseguenza, tutte le traiettorie che si originano da stati iniziali x( 0) B( A) hanno gli stessi EL: Gli EL caratterizzano l attrattore A. Interpretazione probabilistica: media dei tassi di espansione/contrazione locali pesata per la probabilità che la (generica) traiettoria che visita l attrattore ha di percepire tali tassi ad un arbitrario istante. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 5/21

6 EQUILIBRI La distanza tra due qualunque traiettorie vicine si contrae gli EL saranno negativi. Più precisamente: a tempo discreto se x( t) x allora J ( x( t)) J ( x), quindi: 1 1 ln λ i i = t t t [ J( x( t 1)) J( x( t 2)) L J( x(0)) ] ln λ [ J( x) ] ln λ [ J( x) ] Gli EL sono quindi il logaritmo del modulo degli autovalori dello Jacobiano. Poiché l equilibrio è un attrattore, genericamente risulta i < 1 a tempo continuo se λ per ogni i, quindi: 0 > L1 L2 K L n : tutti gli EL sono negativi. x t) x ( allora J F ( x( t)) J ( x) = e F J ( x), quindi: i L i 1 = 1 ln λ ) i F λi [ J ( x ] [ J ( x) ] = ln e = Re[ λ [ J ( x) ] i C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 6/21

7 CICLI A tempo discreto un ciclo { ( 1) (2), ( A x, x, K x ) } a equilibri L (k ) x della mappa = di periodo della mappa f corrisponde f (), quindi ( ) (2) (1) 1 ( k 1 [ J ( x ) J ( x ) J ( x )] = ln λ [ J ( ) ( x )] = ln [ A] 1 ) i i μ f i = ln λi L Gli EL sono quindi il logaritmo del modulo dei moltiplicatori del ciclo diviso il periodo. Esempio: mappa logistica ( 1 x( )) x( t + 1) = rx( t) t Quando r è tale che il sistema ha comportamento -periodico, l esponente di Liapunov risulta L < 0. Eccezioni: ad ogni biforcazione flip: = 1 μ L = 0 per certi valori di r : μ = 0 L C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 7/21

8 Consideriamo un ciclo A del sistema a tempo continuo x & = f (x). Due traiettorie vicine con origine in B (A) tendono entrambe al ciclo A, ma la loro distanza rimane finita (non nulla). Infatti, la componente della differenza ( x ( t) x ( t) ) lungo il ciclo rimane (mediamente) invariata: Un esponente di Liapunov è nullo: L 1 = 0 Gli altri EL sono valutabili per mezzo della mappa di Poincaré z ( t + 1) = P( z( t)), z R n 1 il cui equilibrio z = P(z) corrisponde al ciclo A. Quindi: 1 L = ln μ [ A], i = 1, K, 1 i+ 1 i n Poiché il ciclo è un attrattore, genericamente gli autovalori dello Jacobiano della mappa di Poincaré risultano i < 1 0 > L2 K L. μ per ogni i, quindi n C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 8/21

9 Esempio: circuito di Chua Per certi valori dei parametri, il sistema ha un ciclo asintoticamente stabile. Il calcolo numerico degli EL dà come risultato: L L L = = = C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/2012 9/21

10 ORI A tempo discreto un toro A è costituito da una curva invariante su cui il sistema opera una rotazione incommensurabile con π. Due traiettorie vicine che si originano in B (A) tendono entrambe alla curva A, ma la loro distanza rimane finita (non nulla). Infatti, la componente della differenza ( x ( t) x ( t) ) lungo la curva rimane (mediamente) invariata: L, 0 > L2 L3 K L (genericamente) n 1 = 0 Un toro A del sistema a tempo continuo x = f (x) & è generato da 2 frequenze tra loro incommensurabili. Diversamente dal caso di un ciclo, vi sono 2 componenti che rimangono invariate: della differenza ( x ( t) x ( t) ) L 1 = L2 = 0, 0 > L3 L4 K Ln (genericamente) In generale, un k -toro (= k rotazioni/frequenze) avrà k EL nulli. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

11 CAOS Definizione: Un insieme chiuso e limitato n A R è un attrattore caotico se i) è un attrattore ii) L 1 > 0 Quindi, in un attrattore caotico, due (generiche) traiettorie vicine si separano esponenzialmente ( stretching non è detto che inizialmente si separino, come in figura). Ma poiché l attrattore A è limitato, l incremento di x(t) non può protrarsi all infinito: la non-linearità del sistema riporta vicine le traiettorie ( folding ). Nota bene: per differenze x(0) finite, la divergenza è esponenziale solo inizialmente (e approssimativamente), poi interviene il folding. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

12 Sensibilità alle condizioni iniziali La presenza di stretching ( L 1 > 0) provoca dipendenza sensibile dallo stato iniziale: stati iniziali arbitrariamente vicini ( x ( 0) = ε > 0 ) danno luogo a traiettorie che, in tempo finito, risultano tra loro distanti. Quindi, una incertezza arbitrariamente piccola sullo stato iniziale (0) impredicibile nel medio/lungo termine. x rende x (t) 0.8 Esempio: circuito di Chua Due traiettorie distanti inizialmente 3 x (0) = 10 si separano dopo un certo intervallo di tempo, dando luogo a comportamenti differenti. x t C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

13 Esempio: sistema di Lorenz Evoluzione di un piccolo insieme contenente 10 4 stati iniziali. Dopo un po di tempo, le traiettorie sono praticamente incorrelate. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

14 Struttura di un attrattore caotico Un attrattore caotico contiene infinite traiettorie periodiche instabili (di tipo sella; l attrattore è la chiusura dell insieme delle traiettorie periodiche), lungo le quali gli EL sono dati dai moltiplicatori del ciclo. Esempio: una traiettoria caotica e 4 cicli instabili contenuti nell attrattore caotico di Chua. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

15 EL di un attrattore caotico Genericamente, dato un attrattore caotico A: > 0 divergenza tra le traiettorie: ipercaos) k EL sono positivi a causa dello stretching (se > 1 L K per sistemi a tempo continuo x = f (x) traiettoria rimane mediamente invariata 1 L2 Lk > 0 k vi è più di una direzione di &, 1 EL è nullo: la componente di x(0) L k+1 = 0 i rimanenti EL sono negativi, a causa della attrattività 0 L, per x & = f (x) > Lk + 2 Lk + 3 K 0 L, per x ( t + 1) = f ( x( t)) > Lk + 1 Lk + 2 K n n lungo la la somma degli EL è negativa (eccetto il caso di mappe mono-dimensionali, dove la non reversibilità ha ruolo fondamentale!), perché vicino all attrattore i volumi n-dimensionali si contraggono (per distribuirsi sull attrattore che ha dimensione < n). exp 1 2 L n è il tasso medio di espansione/contrazione dei volumi n -dimensionali. Nota bene: ricorda che per un attrattore A, la quantità ( L + L + K+ ) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

16 Esempio: EL di un sistema forzato periodicamente Un modello semplificato di laser a CO 2 è il seguente [ x2 u ( 1 bsin( ))] ex ax exp( x + e( f g) x & 1 = a + ct x & 2 = dx ) + x & 3 = hx3 + lx2 in cui exp( x 1 ) è proporzionale all intensità luminosa. Per certi valori dei parametri, il funzionamento è non periodico. exp( x 1 ( t)) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

17 Il modello del laser è un sistema x & = f ( t, x) periodico (=forzato periodicamente), di periodo = 2π / c. E quindi equivalente alla mappa di periodo : (( k 1) ) F( x( k )) x = +, 3 x R Calcolo degli esponenti di Liapunov: L L L = > 0 5 = < 0 = < 0 L 1 > 0 indica che il funzionamento è caotico. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

18 Nota bene: il calcolo del primo esponente di Liapunov L 1 permette, in molti casi, di classificare il tipo di attrattore: x & = f (x) x ( t + 1) = f ( x( t)) L 1 < L 1 < 0 Ciclo L 1 = 0 2 < 0) L 1 < 0 oro L 1 = 0 2 = 0, L 3 < 0 ) L 1 = 0 ( L 2 < 0) Caos L 1 > 0 L 1 > 0 Equilibrio 0 Il calcolo del solo primo esponente di Liapunov può essere effettuato in maniera molto efficiente e numericamente stabile. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

19 SISEMI DISSIPAIVI La mappa x ( t + 1) = f ( x( t)) si dice dissipativa se contrae i volumi (e conservativa se invece li mantiene invariati). x ( t 1) = f ( x( t)) + è dissipativa se ( f ( S) ) vol( S) vol <, per ogni insieme n S R Se J (x) è lo Jacobiano di f (x) di un punto x vale det ( x), il tasso di espansione/contrazione del volume nell intorno J, per cui ( f ( S) ) = vol det J ( x) dx S quindi x ( t 1) = f ( x( t)) + è dissipativa det ( x) < 1 J per ogni n x R C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

20 Preso invece un sistema a tempo continuo x & = f (x): il suo Jacobiano sarà J ( x) = f x definiamo la mappa di periodo > 0, cioè x(( k + 1) ) = F ( x( k )) lo Jacobiano della mappa F sarà J F ( x) = F x Il sistema è dissipativo se det ( x) < 1 F per ogni x e per ogni > 0 J. Gli Jacobiani J e J F sono legati tra loro dalla formula di Liouville : det J = F ( x) exp tr J ) 0 ( x( t ) dt quind x = f (x) & è dissipativo tr ( x) = div f ( x) < 0 J per ogni n x R C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21

21 Esempio: sistema di Lorenz x& = σx + σy y& = rx y xz z& = bz + xy σ σ J = r z 1 y x 0 x b In questo caso, tr J ( + 1+ b) Il sistema di Lorenz è quindi dissipativo. = σ risulta negativa e indipendente dal punto (, y, z) x. Nota bene: abbiamo definito la dissipatività come una proprietà globale del sistema. Sistemi non dissipativi possono però contrarre i volumi n-dimensionali localmente, in certe zone dello spazio di stato (dove è soddisfatta la condizione sullo Jacobiano). Ricorda che per un attrattore A, L1 + L2 + K + Ln < 0, quindi vicino ad A il sistema contrae i volumi n- dimensionali. E localmente dissipativo, ma non è detto che lo sia globalmente. La contrazione dei volumi può essere una proprietà locale. In un sistema (globalmente) dissipativo, risulta ΣL i < 0 per qualsiasi traiettoria. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 06/12/ /21