ANALISI PICCO-PICCO. Diagramma picco-picco. Dinamica picco-picco. Diagramma dei tempi di ritorno. Calcolo del primo esponente di Liapunov

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1 ANALISI PICCO-PICCO Diagramma picco-picco Dinamica picco-picco Diagramma dei tempi di ritorno Calcolo del primo esponente di Liapunov C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 /2

2 DIAGRAMMA PICCO-PICCO (PPP, Pea-to-Pea Plot) Supponiamo sia disponibile una serie temporale dell uscita y( t) R di & ( t) y( t) f ( ( t)) g( ( t)) ottenuta mentre il sistema funzione su un attrattore caotico n A R. Da y (t) è possibile ricavare le successioni: y : ampiezze dei picchi (massimi relativi) t : istanti in cui avvengono i picchi { } { } C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 2/2

3 L insieme delle coppie S {( y, y ),,2,K} + definisce il diagramma picco-picco (PPP). [dinamica picco-picco semplice] In (a) (sistema di Lorenz) e (b) (reattore chimico) il PPP può essere accuratamente approssimato con una curva, che definisce una funzione a un solo valore y Y ( y + [dinamica picco-picco complessa] In (c) (sistema di Chua) il PPP può essere accuratamente approssimato con un numero finito di curve (2, nell esempio), che definiscono una funzione a più valori y Ψ( y + In (d) (sistema iper-caotico di Rössler) non è possibile una approssimazione accurata. ) ) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 3/2

4 DINAMICA PICCO-PICCO (PPD, Pea-to-Pea Dynamics) La serie temporale y (t) è caratterizzata da PPD se d ( A) 2 dove d (A) è la dimensione frattale (p.e. bo counting) dell attrattore caotico A. Quando l uscita (t) attraversa la sezione di Poincaré Σ definita da y ha un massimo, la traiettoria (t) y& g( ) f ( ) 0 Se d ( A) 2 allora ( P) approssimabile da una o più curve. d, cioè l insieme P è Introduciamo una coordinata p sull insieme P. La PPD sarà semplice se p e y sono in corrispondenza biunivoca su P, complessa in caso contrario ( esistono p p2 che corrispondono allo stesso valore di y ). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 4/2

5 Esempio: sistema di Lorenz: y 3 y 2 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 5/2

6 Dinamica picco-picco complessa Nell esempio (c) (sistema di Chua), partizionamo il PPP { y, y )} S, S 2, in modo da definire 2 mappe a un solo valore y Y (, α),2 + y α Ciò induce una partizione dell insieme S { y, y )} due sottoinsiemi S., S 2 S ( + in 2 sottoinsiemi ( delle coppie di predecessori in C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 6/2

7 Quindi per determinare y + bisogna conoscere il valore del picco precedente l indice y (un numero reale) α dell insieme a cui appartiene la coppia dei predecessori (, y ) α,2 ) intero: nell esempio { } y (un In conclusione: Se la serie temporale ha PPD, la dinamica (ristretta al funzionamento a regime sull attrattore caotico) è modellizzata dal sistema ibrido: y α + + Y ( y Q( y dove {,2, L m} α,., α ), α ) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 7/2

8 Esempi di PPP ottenuti da esperimenti: C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 8/2

9 Esempi di PPP ottenuti da simulazioni: C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 9/2

10 DIAGRAMMA DEI TEMPI DI RITORNO (RTP, Return-Time Plot) Quando la serie temporale ha PPD, è possibile determinare con accuratezza non solo il valore y + del prossimo picco, ma anche l istante t + in cui avverrà. Esempio: sistema di Lorenz y 3 y 2 τ T (, α ) + y, τ + t + t è l intervallo tra due picchi consecutivi. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 0/2

11 CALCOLO DEL PRIMO ESPONENTE DI LIAPUNOV La PPD (p.e. semplice) definisce una mappa picco-picco y Y ( y + in cui la funzione Y viene determinata dal PPP per interpolazione numerica. La serie temporale (scalare) dei massimi { y } è caotica, con esponente di Liapunov L ˆ Il primo esponente di Liapunov dove N lim N N ) 0 ln Y ( y ) L associato alla serie (t) L Lˆ τ y risulta allora dato da τ τ è il valore medio dell intervallo tra due picchi consecutivi. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 /2

12 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/2/2009 2/2 Esempio: anarchia e dispotismo nella Cina medievale G B R D B E Q H B & & & Diagramma PPP per 2 y, con polinomio interpolante di ordine 5 Il calcolo di L mediante la mappa picco-picco converge a L