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Albina Mancuso
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1 Prefazione... v 1 I frattali e il nostro mondo Considerazioni iniziali Nomen est Numen Jean Perrin I frattali naturali e non I frattali e la fisica Lo sviluppo del presente volume Ringraziamenti I frattali geometrici Introduzione Dimensione di Hausdorff-Besicovitch La curva di Peano Dimensione frattale di box counting Le coste della Norvegia e di altri Paesi La codimensione frattale La curva triadica di Koch L insieme triadico di Cantor Curdling, trema e whey Dimensione di somiglianza: affinità La dimensione frattale di cluster Cantor e Koch generalizzati Frattali autoinversi Insiemi di Mandelbrot-Given e di Sierpinski Frattali veri: automobili ad idrogeno Un audace proposta I supercondensatori frattali... 38

2 x Indice I supercondensatori nelle auto ad idrogeno Il test su strada Un volo ardito nell evoluzione Le funzioni frattali Introduzione Linee e funzioni, aree ed integrali Il paradosso di Schwarz Lo scaling delle funzioni frattali La funzione di Weierstrass La funzione di Weierstrass-Mandelbrot Funzioni di W-M deterministiche Funzioni di W-M stocastiche Random Walks e Frattali Introduzione Il moto browniano di Einstein Random walks mono-dimensionali Proprietà di scaling Il moto browniano frazionale Definizione di moto browniano frazionale Simulazione del moto browniano frazionale L analisi range-varianza Misure di insiemi frattali Introduzione Barra di Cantor e scale diaboliche Il processo moltiplicativo binomiale Sottoinsiemi frattali Esponente di Lipschitz-Hölder e f (α) Gli esponenti di massa La relazione tra τ (q)ef(α) Frattali stocastici semplici Introduzione Evidenza empirica dello scaling Il rapporto area perimetro I voli di Lévy Le serie temporali di pioggia FSP monodimensionali Simulazione di FSP in una dimensione La FSP in due dimensioni

3 xi 7 I multifrattali stocastici Introduzione Importanza della codimensione Cascate e processi moltiplicativi I modelli moltiplicativi Il modello β Il modello α Scaling multiplo delle distribuzioni Proprietà della funzione c(γ) Dimensione stocastica del campione Scaling dei momenti statistici Proprietà della funzione K(q) La codimensione duale dei momenti Prima classificazione di Multifrattali Proprietà bare e dressed: il flusso I trace moments o momenti di traccia Classificazione di fluttuazioni e di processi Modello α e momenti statistici Multifrattali universali Introduzione Multifrattali universali conservativi Multifrattali non conservativi I momenti a doppia traccia: DTM Conclusioni Il caos e gli attrattori strani Introduzione Introduzione ai sistemi dinamici Relazione tra mappe e flussi Sistemi conservativi e dissipativi Stabilità di un sistema dinamico Insiemi invarianti ed attrattori Rappresentazione delle soluzioni Il caos deterministico Lo shift di Bernoulli Gli esponenti di Liapunov Le equazioni di Lorenz Derivazione delle equazioni di Lorenz Semplificazioni e approssimazioni Considerazioni generali Studio comparato traiettorie-fluido Risultati numerici Caos e ordine Esponenti di Liapunov ed equazioni di Lorenz...190

4 xii Indice 9.11 L attrattore strano di Lorenz Dimensione frattale dell attrattore strano La congettura di Kaplan e Yorke Criticalità auto-organizzata Conclusioni La materia dell Universo Introduzione I cataloghi astronomici Analisi tramite la funzione ξ (r) La probabilità condizionata Validazione delle funzioni usate Analisi comparativa del catalogo CfA Analisi multifrattale Conseguenze dei risultati ottenuti Multifrattali ed economia Introduzione Multifrattali e listino di Borsa Modelli stocastici Processi di Wiener e fenomeni di diffusione Processi di Wiener generalizzati e processi di Ito Il lemma di Ito e sue conseguenze Comportamento empirico dei prezzi Conclusioni I casi di Seveso e Chernobyl Introduzione Seveso: 10 luglio, Simulazione monofrattale Analisi con i multifrattali universali Chernobyl: 27 aprile, Provenienza e selezione dei dati La simulazione frattale Concentrazione in aria: curve di arrivo Simulazione per il Nord Italia Risultati finali per il Nord Italia Deposizione al suolo di 137 Cs in Europa Appendice Richiami di statistica A.1 Introduzione A.1.1 Distribuzione binomiale di Bernoulli A.1.2 Distribuzione di Poisson A.1.3 Distribuzione di DeMoivre-Gauss A.1.4 Teorema del limite centrale A.1.5 La distribuzione multinomiale

5 xiii A.1.6 Alcune osservazioni A.2 Altre distribuzioni di probabilità A.2.1 Distribuzione rettangolare A.2.2 Distribuzione di Boltzmann A.2.3 Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein A.2.4 Distribuzione esponenziale A.2.5 Distribuzione di Breit-Wigner o di Cauchy A.2.6 Altri estimatori di dispersione: il quantile A.2.7 Variabili, parametri e voli di Lévy A.3 Le distribuzioni log-normali A.4 Le funzioni caratteristiche A.5 Affidabilità delle stime A.6 Distribuzioni bivariate gaussiane A.7 Funzioni e integrali di correlazione A.8 Funzioni generatrici A.9 Conclusioni Bibliografia Indice analitico...303

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