A mia moglie che mi sopporta da oltre 50 anni, ai miei figli che sono il mio presente, ai miei nipoti che sono il mio futuro

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1 A mia moglie che mi sopporta da oltre 50 anni, ai miei figli che sono il mio presente, ai miei nipoti che sono il mio futuro

2 Sergio Peppino Ratti Introduzione ai frattali in fisica ~ Springer

3 Sergio Peppino Ratti Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica Università dipavia UNITEXT- Collana di Fisica e Astronomia ISSN versione cartacea: ISSN elettronico: ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York c Springer-Verlag Italia 2011 Questo libro è stampato su carta FSC amica delle foreste. Il logo FSC identifica prodotti che contengono carta proveniente da foreste gestite secondo i rigorosi standard ambientali, economici e sociali definiti dal Forest Stewardship Council Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art.68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n.108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. L editore è a disposizione degli aventi diritto per quanto riguarda le fonti che non è riuscito a contattare. Copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: CompoMat S.r.l., Configni (RI) Stampa: GECA Industrie Grafiche, Cesano Boscone (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I Milano Springer fa parte di Springer Science + Business Media (

4 Prefazione Questa bella monografia sui frattali di Sergio Ratti esce a pochi mesi dalla scomparsa di Benoit Mandelbrot, colui che ha introdotto questo concetto nella matematica ma soprattutto ha argomentato in modo molto convincente che la natura ci fornisce moltissimi esempi di strutture complesse di questo tipo. Nel 1993 ha vinto il Wolf Prize per la fisica per aver trasformato la nostra visione della natura. Questa motivazione chiarisce che il contributo di Mandelbrot va molto al di la della geometria e della matematica e riguarda, in qualche modo, tutte le scienze. La geometria frattale permette di caratterizzare le strutture che godono della proprietà di invarianza di scala, questo significa che le stesse proprietà si ripetono a varie scale. Il termine frattale (dal latino fractus = rotto o frammentato) è stato introdotto solo nel 1975 da Mandelbrot (Mandelbrot, 1983). In pochi anni questo concetto è divenuto però molto popolare in diverse discipline come matematica, fisica, biologia ed economia. Questa nuova geometria, pur non usuale rispetto ai canoni matematici, rappresenta invece un concetto naturale e inevitabile per la descrizione di un gran numero di fenomeni, sia naturali sia sociali. Da un punto di vista strettamente matematico i concetti di dimensione non intera e di autosomiglianza sono noti da molto tempo. Fin dal 1919 essi furono discussi da F. Hausorff in una forma simile a quella attuale e si possono trovare anche nei lavori di H. Poincaré del Anche Weiestrass, von Koch, Fatou, Julia e altri autori studiarono oggetti matematici con queste proprietà. Per lungo tempo però questi concetti che descrivono le strutture fortemente irregolari sono stati relegati ai margini della matematica e quasi completamente ignorati nelle altre discipline. Il motivo è che la maggior parte dei metodi matematici e geometrici usuali sono basati sul concetto di regolarità o analiticità. L autosomiglianza o invarianza di scala implica infatti una grande irregolarità che non è possibile descrivere con i metodi matematici tradizionali. è facile constatare comunque che in natura l irregolarità è molto comune come dimostrano chiaramente le strutture di piante, montagne, nuvole fulmini etc. È importante notare che il concetto di invarianza di scala non è nuovo nella fisica e si è sviluppato in modo parallelo ma indipendente dalla geometria frattale. Solo più tardi i due campi si sono in qualche modo unificati. Esso era ben noto nello studio

5 vi Prefazione delle proprietà critiche delle transizioni di fase ed è stato di cruciale importanza nella formulazione della teoria del gruppo di rinormalizzazione. Nel caso dei fenomeni critici però l autosimilarità era considerata una peculiarità della competizione tra ordine e disordine alla temperatura critica per sistemi in equilibrio termodinamico. Le strutture frattali dimostrano invece che l invarianza di scala è una proprietà ben più generale ed è presente in molti fenomeni di non equilibrio in cui questa proprietà risulta da un processo di auto-organizzazione. Questa visione permette di capire perché le strutture con tali caratteristiche sono in realtà molto comuni e non dovute a situazioni peculiari come il punto critico dell equilibrio termodinamico. Una peculiarità dei frattali è il ruolo che ha avuto il calcolatore. Nel caso di problemi di tipo tradizionale il suo uso ha permesso di ottenere soluzioni accurate di problemi complicati. Nel caso delle strutture frattali e, in genere complesse, il suo ruolo è stato molto più fondamentale. I modelli matematici in questo campo sono di carattere iterativo e quindi specialmente adatti a essere programmati. Si è così scoperto che alcuni sistemi iterativi all apparenza molto semplici possono generare strutture di grande complessità. Queste simulazioni al calcolatore rappresentano pertanto una sorta di esperimenti numerici per l esplorazione e lo studio di queste strutture. In tal senso la geometria frattale ha reintrodotto elementi estetici nel campo scientifico che erano stati essenzialmente eliminati dall avvento delle equazioni differenziali. Rendersi conto che certe strutture in natura hanno proprietà frattali non spiega perché questo accada, ma è fondamentale per formulare le domande appropriate. Così dopo l introduzione della geometria frattale si è sviluppata una grande attività per definire dei modelli fisici per sistemi che mostrano proprietà frattali e di autoorganizzazione. Il fatto che molti fisici avessero lavorato sui fenomeni critici è stato fondamentale per lo sviluppo di questi modelli e per il grande impatto che la geometria frattale ha avuto nella fisica. I metodi matematici dei fenomeni critici, come ad esempio il gruppo di rinormalizzazione, risultarono però inadeguati a questo nuovo campo per vari motivi. I principali sono che i modelli di crescita frattale sono basati su una dinamica irreversibile per la quale non è possibile utilizzare l ipotesi ergodica. Inoltre il fatto che sono il prodotto di un processo di auto-organizzazione critica e non corrispondono ad alcun equilibrio termodinamico ha posto problemi concettuali molto difficili e ancora in gran parte aperti. Questi modelli sono basati su una probabilità di crescita definita dalle soluzioni dell equazione di Laplace e pertanto hanno validità molto generale anche per fenomeni apparentemente diversi. Un aspetto molto peculiare dell attività scientifica di Mandelbrot è la mancanza di una certa sistematicità, almeno nel senso che si usa dare a questo termine. Mandelbrot infatti si è sempre considerato un rivoluzionario e non ortodosso rispetto alla cultura scientifica dominante. Forse anche per questo ha avuto moltissimi ammiratori e seguaci ma non ha creato una scuola scientifica con allievi diretti. Questa situazione si è in qualche modo riflessa anche nella letteratura del campo e nei vari libri che sono apparsi sui frattali. Uno dei grandi meriti di questo volume è proprio di colmare questa lacuna con una monografia sistematica che fornisce degli strumenti operativi molto utili per uno studente che si accinga a intraprendere un attività scientifica nel campo. La prospet-

6 Prefazione vii tiva generale è rivolta alle applicazioni concrete dei concetti frattali alla fisica e ad altre discipline e traspare chiaramente la fascinazione e l entusiasmo contagioso dell autore per questo soggetto. Nei primi nove capitoli si descrivono gli aspetti generali e metodologici in modo da fornire una base tecnica operativa per le successive applicazioni. Negli ultimi tre si considerano alcuni esempi particolarmente importanti come i sistemi dinamici, la struttura a larga scala dell universo, i principi della matematica economica per finire con applicazioni alla descrizione di due disastri ecologici: l incidente chimico di Seveso e quello nucleare di Chernobyl. Complessivamente si tratta di un volume veramente ben fatto e che fornisce metodi ed esempi estremamente utili e abbastanza rari nell attuale letteratura del campo. Roma, gennaio 2011 Luciano Pietronero Istituto dei sistemi Complessi - CNR, Università di Roma La Sapienza

7 Indice Prefazione... v 1 I frattali e il nostro mondo Considerazioni iniziali Nomen est Numen Jean Perrin I frattali naturali e non I frattali e la fisica Lo sviluppo del presente volume Ringraziamenti I frattali geometrici Introduzione Dimensione di Hausdorff-Besicovitch La curva di Peano Dimensione frattale di box counting Le coste della Norvegia e di altri Paesi La codimensione frattale La curva triadica di Koch L insieme triadico di Cantor Curdling, trema e whey Dimensione di somiglianza: affinità La dimensione frattale di cluster Cantor e Koch generalizzati Frattali autoinversi Insiemi di Mandelbrot-Given e di Sierpinski Frattali veri: automobili ad idrogeno Un audace proposta I supercondensatori frattali... 38

8 x Indice I supercondensatori nelle auto ad idrogeno Il test su strada Un volo ardito nell evoluzione Le funzioni frattali Introduzione Linee e funzioni, aree ed integrali Il paradosso di Schwarz Lo scaling delle funzioni frattali La funzione di Weierstrass La funzione di Weierstrass-Mandelbrot Funzioni di W-M deterministiche Funzioni di W-M stocastiche Random Walks e Frattali Introduzione Il moto browniano di Einstein Random walks mono-dimensionali Proprietà di scaling Il moto browniano frazionale Definizione di moto browniano frazionale Simulazione del moto browniano frazionale L analisi range-varianza Misure di insiemi frattali Introduzione Barra di Cantor e scale diaboliche Il processo moltiplicativo binomiale Sottoinsiemi frattali Esponente di Lipschitz-Hölder e f (α) Gli esponenti di massa La relazione tra τ (q)ef(α) Frattali stocastici semplici Introduzione Evidenza empirica dello scaling Il rapporto area perimetro I voli di Lévy Le serie temporali di pioggia FSP monodimensionali Simulazione di FSP in una dimensione La FSP in due dimensioni

9 Indice xi 7 I multifrattali stocastici Introduzione Importanza della codimensione Cascate e processi moltiplicativi I modelli moltiplicativi Il modello β Il modello α Scaling multiplo delle distribuzioni Proprietà della funzione c(γ) Dimensione stocastica del campione Scaling dei momenti statistici Proprietà della funzione K(q) La codimensione duale dei momenti Prima classificazione di Multifrattali Proprietà bare e dressed: il flusso I trace moments o momenti di traccia Classificazione di fluttuazioni e di processi Modello α e momenti statistici Multifrattali universali Introduzione Multifrattali universali conservativi Multifrattali non conservativi I momenti a doppia traccia: DTM Conclusioni Il caos e gli attrattori strani Introduzione Introduzione ai sistemi dinamici Relazione tra mappe e flussi Sistemi conservativi e dissipativi Stabilità di un sistema dinamico Insiemi invarianti ed attrattori Rappresentazione delle soluzioni Il caos deterministico Lo shift di Bernoulli Gli esponenti di Liapunov Le equazioni di Lorenz Derivazione delle equazioni di Lorenz Semplificazioni e approssimazioni Considerazioni generali Studio comparato traiettorie-fluido Risultati numerici Caos e ordine Esponenti di Liapunov ed equazioni di Lorenz...190

10 xii Indice 9.11 L attrattore strano di Lorenz Dimensione frattale dell attrattore strano La congettura di Kaplan e Yorke Criticalità auto-organizzata Conclusioni La materia dell Universo Introduzione I cataloghi astronomici Analisi tramite la funzione ξ (r) La probabilità condizionata Validazione delle funzioni usate Analisi comparativa del catalogo CfA Analisi multifrattale Conseguenze dei risultati ottenuti Multifrattali ed economia Introduzione Multifrattali e listino di Borsa Modelli stocastici Processi di Wiener e fenomeni di diffusione Processi di Wiener generalizzati e processi di Ito Il lemma di Ito e sue conseguenze Comportamento empirico dei prezzi Conclusioni I casi di Seveso e Chernobyl Introduzione Seveso: 10 luglio, Simulazione monofrattale Analisi con i multifrattali universali Chernobyl: 27 aprile, Provenienza e selezione dei dati La simulazione frattale Concentrazione in aria: curve di arrivo Simulazione per il Nord Italia Risultati finali per il Nord Italia Deposizione al suolo di 137 Cs in Europa Appendice Richiami di statistica A.1 Introduzione A.1.1 Distribuzione binomiale di Bernoulli A.1.2 Distribuzione di Poisson A.1.3 Distribuzione di DeMoivre-Gauss A.1.4 Teorema del limite centrale A.1.5 La distribuzione multinomiale

11 Indice xiii A.1.6 Alcune osservazioni A.2 Altre distribuzioni di probabilità A.2.1 Distribuzione rettangolare A.2.2 Distribuzione di Boltzmann A.2.3 Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein A.2.4 Distribuzione esponenziale A.2.5 Distribuzione di Breit-Wigner o di Cauchy A.2.6 Altri estimatori di dispersione: il quantile A.2.7 Variabili, parametri e voli di Lévy A.3 Le distribuzioni log-normali A.4 Le funzioni caratteristiche A.5 Affidabilità delle stime A.6 Distribuzioni bivariate gaussiane A.7 Funzioni e integrali di correlazione A.8 Funzioni generatrici A.9 Conclusioni Bibliografia Indice analitico...303