In ricordo dei miei genitori

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1 In ricordo dei miei genitori

2 Daniele Mundici Logica: Metodo Breve

3 B Daniele Mundici Dipartimento di Matematica U. Dini Università di Firenze UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN print edition: ISSN electronic edition: ISBN DOI / ISBN (ebook) Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York Springer-Verlag Italia 2011 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle normecomportalesanzioniprevistedallalegge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Layout copertina: Beatrice., Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH,Germany (www.ptp-berlin.eu) Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (Mi) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l.,Via Decembrio 28, I Milano Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media (www.springer.com)

4 Prefazione In questo manuale viene data una dimostrazione del teorema di completezza di Gödel e di alcune sue conseguenze, utilizzando il teorema di completezza di Robinson e il teorema di compattezza di Gödel per la logica di Boole. Il lettore incontrerà qui altre idee chiave della logica: una sintassi non ambigua, la risoluzione, la procedura di Davis-Putnam, la semantica di Tarski, l equivalenza e la conseguenza logica, i modelli di Herbrand, gli assiomi dell eguaglianza, le forme normali di Skolem, le refutazioni come oggetti grafici, e la costruzione di alcuni modelli nonstandard. I prerequisiti matematici sono minimi: il testo è accessibile a chiunque abbia già visto qualche dimostrazione per induzione. Queste pagine sono il distillato di numerosi corsi di Logica Matematica che ho tenuto al Dipartimento di Scienze dell Informazione dell Università di Milano a partire dal 1996, e successivamente al Dipartimento di Matematica Ulisse Dini dell Università di Firenze. Vari capitoli sono stati sperimentati anche in un corso offerto nell anno accademico dal Collegio Ghislieri a studenti di vari corsi di laurea dell Università di Pavia.Il testo attuale è il risultato di un lungo processo di interazione tra insegnante e allievi di diverse provenienze culturali. A loro va il mio primo ringraziamento. Il manuale può essere usato in un primo corso di Logica Matematica per matematici e per informatici. Parti del testo possono essere utili in un corso di Logica per filosofi e linguisti, anche per i numerosi esercizi, mai troppo difficili, di collegamento tra logica e linguaggio naturale. I lettori desiderosi di proseguire lo studio della Logica otterranno da questo Metodo Breve gli strumenti necessari per comprendere i teoremi di incompletezza di Gödel dimostrati, ad esempio, negli undici capitoli della monografia di R.M. Smullyan Gödel s Incompleteness Theorems, Oxford University Press, Ringrazio Giulietta e Massimo Mugnai, Pierluigi Minari, Annalisa Marcja e in particolare Carlo Toffalori per la loro lettura di versioni precedenti e i loro suggerimenti. Firenze, novembre 2010 Daniele Mundici

5 Simboli e termini Il simbolo sta a significare la fine di una dimostrazione. Il simbolo denota l insieme vuoto. L insieme N dei numeri naturali è definito come N = {0, 1, 2,...}. L avverbio non e le congiunzioni e ed o giocano un ruolo fondamentale in questo manuale, e hanno un significato ben preciso su cui èbene intendersi fin da ora. Essenzialmente per ragioni di comodità, o verrà sempre inteso nel senso concessivo, come il latino vel, in opposizione alla congiunzione aut. In questo modo la negazione della frase Luigi non sa l inglese e non suona il piano è o Luigi sa l inglese o suona il piano, che, per quanto abbiamo appena stipulato, lascia aperta la possibilità che Luigi sappia l inglese e suoni anche il piano. Una volta chiarito questo punto, la negazione di Luigi lavora a Firenze o vi abita è Luigi non lavora a Firenze e non vi abita. Per semplicità la congiunzione se verrà trattata in maniera assai riduttiva rispetto al suo molteplice uso nel linguaggio quotidiano. Ad esempio la frase se Luigi ha fatto tredici lo vedremo vestito meglio viene interpretata come o Luigi non ha fatto tredici o lo vedremo vestito meglio. Questa frase lascia aperta la possibilità di vedere Luigi vestito meglio anche se non ha fatto tredici. La negazione di questa frase è Luigi ha fatto tredici e (=ma) non lo vedremo vestito meglio. Abbiamo così l opportunità di ricordare che in matematica la congiunzione ma viene piattamente identificata con e. La congiunzione se si incontra in diversi contesti: anche se, se anche, solo se, se solo, come se, seppure, semmai, sebbene. Viene anche usata per introdurre frasi che esprimono dubbio, come non so se ho studiato abbastanza. Spesso è difficile capirne il significato. In matematica ci si occupa di dare un significato preciso a A solo se B, intendendo che voglia dire se non B allora non A, il che èequivalentea sea allora B, visto che entrambi sono equivalenti a B o non A. Il neologismo matematico sse sta per se, e solo se. Così per esempio, un numero pari è primo sse è eguale a 2.

6 VIII Simboli e termini Per rendere queste parti del discorso indipendenti dalla loro formulazione nei vari linguaggi naturali, quando ci troveremo di fronte a frasi da analizzare sistematicamente scriveremo invece di e, e scriveremo invece di o. L avverbio non si scrive. DatelefrasiA e B, invece di dire se A allora B scriveremo A B che, per quanto detto, sta per A B. Invece di A sse B scriveremo A B, che ècomedire(a B) (B A). Quanto ci guadagna la congiunzione e a essere scritta? Quello che ci guadagna la preposizione per a essere scritta.

7 Indice Parte I Logica di Boole 1 Introduzione Le nozioni logiche fondamentali Sintassi Semantica Conseguenzaedequivalenzalogica... 8 Esercizi La risoluzione Clausoleeformulecomeinsiemifiniti Risoluzione ProceduradiDavis-Putnam(DPP) Esercizi Teorema di completezza di Robinson Enunciatoedimostrazione Refutazione Esercizi Classi fulminee per DPP ClausoleKrom ClausoleHorn Esercizi Teorema di compattezza di Gödel Materialepreparatorio Ilteorema:enunciatoedimostrazione Esercizi... 35

8 X Indice 7 Logica di Boole: sintassi Leformulebooleane Non ambiguitàdellasintassi Esercizi Logica di Boole: semantica Assegnazione,conseguenza,equivalenza Esercizi Forme normali Alcuneequivalenzelogiche Logicabooleanaelogicadelleclausole Esercizi Ricapitolando: espressività ed efficienza Parte II Logica dei Predicati 11 I quantificatori esiste e per ogni Introduzione Esercizi Sintassi della logica dei predicati Glielementidellasintassi Formalizzazioneinclausole Sostituzionediterminialpostodivariabili UniversodiHerbrand Refutazione Esercizi Significato delle clausole LasemanticadiTarski:tipiemodelli La semantica di Tarski per le clausole: M = S Istanziazione, risoluzione e loro correttezza Esercizi Teorema di completezza per la logica delle clausole Introduzione Completezza e compattezza Commenti al teorema di completezza Esercizi... 85

9 Indice XI 15 Assiomi per l eguaglianza Introduzione L assiomatizzazione dell eguaglianza Esercizi La logica dei predicati L Introduzione TrasformazionediformuleinPNF Laskolemizzazione Completezza, compattezza, modelli non standard Esercizi Considerazioni finali Indice analitico...123

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