UNITEXT La Matematica per il 3+2

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1 UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 82

2 ClaudioCanuto Anita Tabacco Analisi Matematica I 4a edizione

3 Claudio Canuto Dipartimento di Scienze Matematiche Politecnico di Torino, Torino Italia Anita Tabacco Dipartimento di Scienze Matematiche Politecnico di Torino, Torino Italia UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: ISSN versione elettronica: ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2014 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale,alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti Layout copertina: Simona Colombo, Giochi di Grafica, Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany ( Springer fa parte di Springer Science+Business Media (

4 adina, luce di un sorriso che l ombra della vita non puòspegnere

5 Prefazione Il presente testo intende essere di supporto ad un primo insegnamento di Matematica in quei corsi di studio (quali ad esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico è parte significativa della formazione dell allievo. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in una variabile sono presentati con l obiettivo primario di addestrare lo studente ad un loro uso operativo, ma critico. La filosofia che ha ispirato l impostazione generale è stata quella di presentare il materiale in modo chiaro e direttamente fruibile senza però rinunciare al rigore espositivo e scadere in un mero prontuario di regole e formule. Alla luce degli attuali OrdinamentiDidattici, l organizzazionedi un primo corso di Matematica richiede spesso di effettuare delle scelte sui contenuti, sul linguaggio usato e sul livello di approfondimento con cui viene trattata la materia. In questa prospettiva, il testo permette tre diversi livelli di lettura. Il livello intermedio corrisponde, per ciascuno degli argomenti trattati, ai contenuti presentati negli undici capitoli in cui si articola il testo. I concetti sono dapprima introdotti in modo discorsivo e poi rigorosamente definiti; successivamente, si discutono le varie proprietà matematiche ad essi collegate e si delineano le metodologie di calcolo chenederivano.iteoremieleproprietàpiù importanti sono accompagnati dalla relativa dimostrazione. Un livello di lettura più essenziale prevede l omissione di tutte le dimostrazioni riportate, che a tale scopo sono facilmente distinguibili, e di quelle parti di testo presentate sotto la voce Osservazione. Per facilitare lo studente, le formule assolutamente fondamentali, e quelle comunque importanti, sono state messe in rilievo mediante l uso del colore, rispettivamente ciano e grigio. Alcune tabelle, nel testo e al fondo del libro, riassumono formule di uso frequente. Non si è invece voluto stabilire una classifica di importanza tra i teoremi, per lasciare al docente la libertà di operare eventuali scelte in tal senso. Un terzo livello prevede anche la lettura del materiale contenuto nelle cinque appendici e permette all allievo più motivato ed interessato di approfondire la sua preparazione. Riteniamo infatti che vada salvaguardata la possibilità, per gli studenti più capaci e volenterosi, di acquisire una formazione solida e completa, secondo la migliore tradizione universitaria italiana. Negli undici capitoli si trovano

6 VIII Prefazione numerosi riferimenti alle varie appendici, dove il lettore può trovare complementi e approfondimenti degli argomenti di volta in volta trattati. In tal modo, tutti gli enunciati presenti nel testo risultano corredati dalla rispettiva dimostrazione. Per consentire un approccio morbido alla materia, nei primi due capitoli si è scelta una esposizione più discorsiva, in cui definizioni e proprietà sonosovente inglobate nel testo; nei capitoli successivi, la veste grafica mette in luce in modo più evidente tali strutture. Deliberatamente, di alcune definizioni e teoremi non si fornisce la forma più generale possibile, al fine di privilegiare l immediatezza di comprensione da parte dello studente. Gli enunciati sono in genere immediatamente seguiti da numerosi esempi; lo stesso vale anche per la descrizione dei procedimenti di calcolo. Varie osservazioni fanno da complemento all esposizione principale, mettendo in luce, fra l altro, casi particolari ed eccezioni. Un rilevante numero di esercizi viene fornito al termine di ogni capitolo, permettendo all allievo di valutare immediatamente lo stato delle conoscenze acquisite. Gli esercizi sono raccolti in gruppi che riprendono i principali argomenti trattati nel capitolo e sono ordinati per difficoltà crescente. Di tutti gli esercizi viene fornita la soluzione; per oltre la metà di essi, si delinea il procedimento risolutivo. Nel testo saranno usate le seguenti convenzioni grafiche: le definizioni appaiono su sfondo grigio, mentre gli enunciati su sfondo ciano; gli esempi sono segnalati da una barra verticale in colore; gli esercizi di cui si fornisce la soluzione sono indicati con un riquadro nel testo (ad esempio 12. ). Questo volume è dedicato all amica Dina Giublesi, per molti anni preziosa collaboratrice, di cui sempre ricordiamo la luminosa figura. Questa quarta edizione riflette l esperienza didattica ormai decennale di uso del testo; tale esperienza, a nostro avviso, ha mostrato la validità dell impostazione scelta. Siamo riconoscenti ai molti colleghi e studenti che ci hanno permesso, con i loro consigli, suggerimenti ed osservazioni, di giungere a questo risultato. Ringraziamo infine la dottoressa Francesca Bonadei, responsabile editoriale del programma di Matematica presso Springer Italia, per il costante incoraggiamento e per il caloroso sostegno nella preparazione della quarta edizione di questo volume. Torino, agosto 2014 Claudio Canuto, Anita Tabacco

7 Indice 1 Nozioni di base Insiemi Elementidilogicamatematica Connettivilogici Predicati Quantificatori Insieminumerici L ordinamentodeinumerireali La completezza di R Fattorialiecoefficientibinomiali Prodottocartesiano Relazioninelpiano Esercizi Soluzioni Funzioni Definizionieprimiesempi Immagineecontroimmagine Funzionisuriettiveeiniettive;funzioneinversa Funzioni monotòne Funzionicomposte Traslazioni, cambiamenti di scala, riflessioni Funzioni elementari e loro proprietà Funzionielevamentoapotenza Funzionipolinomialierazionali Funzioni esponenziali e logaritmiche Funzionitrigonometricheeloroinverse Esercizi Soluzioni... 61

8 X Indice 3 Limiti e continuità I Intorni Limitidisuccessioni Limiti di funzioni; continuità Limiti all infinito Continuità.Limitialfinito Limiti destro e sinistro; punti di discontinuità Limitidifunzionimonotone Esercizi Soluzioni Limiti e continuità II Teoremisuilimiti Teoremi di unicitàepermanenzadelsegno Teoremidelconfronto Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo algebrico Teoremadisostituzione Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale Proprietàglobalidellefunzionicontinue Esercizi Soluzioni Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche SimbolidiLandau Infinitesimi ed infiniti Asintoti Ulteriori proprietàdellesuccessioni Serienumeriche Serieaterminipositivi Serieaterminidisegnoalterno Esercizi Soluzioni Calcolo differenziale Laderivata Derivatedifunzionielementari.Regolediderivazione Punti di non derivabilità Punti di estremo e punti critici di una funzione ITeoremidiRolle,LagrangeeCauchy Prima e seconda formula dell incremento finito Intervallidimonotoniadiunafunzione Derivatediordinesuperiore Convessitàeflessi Estensione del concetto di convessità...203

9 Indice XI 6.10 Studiodifunzioni Lefunzioniiperboliche Il Teorema di de l Hôpital Applicazioni del Teorema di de l Hôpital Esercizi Soluzioni Sviluppi di Taylor e applicazioni LeformulediTaylor Sviluppi di Taylor notevoli Operazioni sugli sviluppi di Taylor Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione Esercizi Soluzioni Rappresentazioni del piano e dello spazio Coordinatepolari,cilindriche,sferiche Vettorinelpianoenellospazio Vettori applicati nell origine Moduloeprodottoscalare Vettoriapplicatiinunpunto Numericomplessi Operazionialgebriche Coordinatecartesiane Forma trigonometrica e forma esponenziale Potenzeeradici Equazionialgebriche Curvenelpianoenellospazio Cenni alle funzioni di piùvariabili Continuità Derivateparzialiegradiente Esercizi Soluzioni Calcolo integrale I Primitiveeintegraliindefiniti Regolediintegrazioneindefinita Integrazionedifunzionirazionali Integralidefiniti IntegralesecondoCauchy IntegralesecondoRiemann Proprietà dell integrale definito Mediaintegrale IlTeoremafondamentaledelcalcolointegrale Regolediintegrazionedefinita...354

10 XII Indice Applicazionealcalcolodiaree Esercizi Soluzioni Calcolo integrale II Integraliimpropri Integrali su intervalli illimitati Integralidifunzioninonlimitate Altriintegraliimpropri Integrali curvilinei Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea Integralidilinea Esercizi Soluzioni Equazioni differenziali ordinarie Definizionigenerali Equazionidelprimoordine Equazioniavariabiliseparabili Equazionilineari Equazioniomogenee Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo Il problema di Cauchy per le equazioni del primo ordine Funzionilipschitziane Una condizione di risolubilità del problema di Cauchy Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Esercizi Soluzioni Appendici A.1 Principio di induzione A.2 Complementi su limiti e continuità A.2.1Limiti A.2.2Funzionielementari A.2.3NumerodiNepero A.3 Complementi sulle proprietà globali delle funzioni continue A.3.1Sottosuccessioni A.3.2Funzionicontinuesuunintervallo A.3.3 Continuitàuniforme...467

11 Indice XIII A.4 Complementi sul calcolo differenziale A.4.1Formulediderivazione A.4.2 Teorema di de l Hôpital A.4.3Funzioniconvesse A.4.4FormulediTaylor A.5 Complementi sul calcolo integrale A.5.1IntegralediCauchy A.5.2IntegralediRiemann A.5.3Integraliimpropri Tavole e formulari Indice analitico...503