Argomentidiprobabilitàestatistica

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1 Argomentidiprobabilitàestatistica

2 Rita Giuliano Argomenti di probabilità estatistica

3 Rita Giuliano Dipartimento di Matematica UniversitàdiPisa ISBN DOI / e-isbn Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York Springer-Verlag Italia 2011 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle normecomportalesanzioniprevistedallalegge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Layout copertina: Beatrice., Milano Immagine di copertina: Il paradosso della scimmia di Borel, disegno di Nina Giuliano, elaborazione grafica di Riccardo Antonini. Riproduzione su autorizzazione B Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH,Germany ( Stampa: Isabel Litografia, Gessate (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l.,Via Decembrio 28, I Milano Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media (

4 Prefazione Queste note sono rivolte agli studenti dei corsi di laurea triennali in cui è presente un modulo di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Per la scelta e la quantità dei contenuti, e per la forma in cui essi sono presentati, queste pagine non costituiscono, non vogliono costituire, un vero libro di testo: oramai se ne trovano di ottimi anche in italiano (in bibliografia ne sono elencati alcuni) e non esiste certamente la necessità di produrne un altro. Vorrei qui elencare alcuni dei difetti che un lettore esperto della materia sicuramente rileverà: il linguaggio usato è discorsivo, sebbene si sia cercato di mantenerlo comunque preciso e puntuale; manca una sezione di esercizi, sia svolti che semplicemente proposti: la stesura degli argomenti sarebbe risultata a mio avviso troppo frammentaria; gli esempi proposti si riferiscono a discipline diverse: quest ultima caratteristica, se da una parte rende il testo auspicabilmente abbastanza flessibile e utilizzabile da parte di studenti di vari corsi di studio, dall altra certamente ne è un limite, poiché diverse discipline hanno bisogno di diversi approfondimenti. Tuttavia ho ritenuto che uno studente interessato possa rimediare senza difficoltà proseguendo con letture più mirate. Un altro difetto molto evidente è il fatto che alcuni punti della trattazione sono svolti in modo assai più particolareggiato di altri, e questo sicuramente provoca una certa sproporzione tra i vari argomenti; d altra parte, per la mia pluridecennale esperienza di insegnamento, credo di avere ormai abbastanza chiare le difficoltà di uno studente con media preparazione matematica, ed i punti su cui si insiste nella trattazione sono quelli che, a mio avviso, risultano in generale più critici. Un esempio per tutti: il teorema di cambiamento di variabile negli integrali (per la ricerca della densità di una variabile funzione di un altra) spesso viene usato in modo errato; ho deciso pertanto di dedicare a questo argomento un intero, lungo paragrafo. Queste note devono dunque essere intese soprattutto come un aiuto per gli studenti, che, dovendo assimilare una quantità di nozioni nuove in breve tempo, per necessità o anche per scarsa maturità personale, spesso restano alla superficie della materia. L obiettivo (forse troppo ambizioso) di queste

5 VI Prefazione pagine è quello di aiutare il lettore a comprendere i concetti fondamentali della disciplina, limitando per quanto possibile gli strumenti tecnici (che, pur indispensabili, talvolta risultano preponderanti e oscurano le idee di base) e motivando in ogni caso l introduzione di ogni nuova nozione con esempi semplici ma al tempo stesso significativi. Desidero ringraziare il prof. M. Pratelli per avermi aiutato a rendere più completo il testo e la dott.ssa Bonadei della Springer per la pazienza con cui mi ha seguito nella stesura di questi appunti. Livorno, febbraio 2011 Rita Giuliano

6 Indice 1 Spazi di probabilità Introduzione Esempiedefinizioni Alcuneconseguenzedegliassiomi Spazi di probabilità uniformi Probabilitàcondizionaleeindipendenza Loschemadelleproveindipendenti LaformuladiBayes Variabili aleatorie Definizioni e prime proprietà Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria: definizione eproprietà Variabilialeatoriediscrete Principali densità discrete Vettorialeatoridiscreti Variabilialeatorieindipendenti Speranza matematica e varianza Definizioni e proprietà Variabili aleatorie assolutamente continue Definizioni e prime proprietà Alcune densità di variabili aleatorie assolutamente continue Le principali densità della statistica; il teorema Limite Centrale;ilteoremadiCochran Lafunzionediripartizionedellaleggenormalestandard LaLeggedeiGrandiNumeri Ricerca di leggi (e densità) di v. a. assolutamente continue... 78

7 VIII Indice 5 La statistica inferenziale Introduzioneaiproblemistatistici Ilconcettodistimatore Iquantili Intervalli di fiducia (o di confidenza) Teststatistici(parametrici) Testpercampionigaussiani Il test del chi-quadro per l adattamento (goodness-for-fit test) Motivazione Descrizione del test del χ Altre applicazioni del test del χ Appendice A Richiami di calcolo combinatorio Appendice B Grafici e tavole Bibliografia...147