UNITEXT La Matematica per il 3+2

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1 UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 81

2 Paolo Biscari Tommaso Ruggeri Giuseppe Saccomandi Maurizio Vianello Meccanica Razionale 2a edizione

3 Paolo Biscari Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano Italia Giuseppe Saccomandi Dipartimento di Ingegneria Industriale Università di Perugia Italia Tommaso Ruggeri Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Bologna Italia Maurizio Vianello Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano Italia UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: ISSN versione elettronica: ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2014 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale,alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti Layout copertina: Beatrice B., Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany ( Springer fa parte di Springer Science+Business Media (

4 Prefazione Il presente testo è stato concepito con l obiettivo di venire incontro all evoluzione subita dai corsi di Meccanica Razionale, sia in termini di organizzazione che di contenuti. Il nostro sforzo è stato quello di proporre un testo specificamente mirato alle necessità delle Scuole di Ingegneria, dove la Meccanica Razionale ha il duplice ruolo di introdurre sia alla modellizzazione fisico-matematica rigorosa che a specifiche applicazioni ingegneristiche. Riteniamo quindi essenziale una trattazione che presenti i concetti fondamentali a partire da esempi e problemi concreti, anche comuni ad altre discipline, in vista di sinergie didattiche a volte favorite dalla presenza di corsi integrati. Abbiamo cercato di dare al libro una impostazione il più possibile coerente con questa finalità, soprattutto in alcune sezioni tradizionalmente caratterizzate da una trattazione forse più astratta: dai vincoli al Principio dei lavori virtuali, dal Principio di d Alembert alla Meccanica Analitica. A tal fine abbiamo fortemente rinforzato in questa Seconda Edizione il numero di esempi ed esercizi svolti. Tali esempi non intendono coprire il ventaglio completo di applicazioni che normalmente vengono mostrate agli studenti durante le Esercitazioni dei corsi di Meccanica Razionale. Essi sono infatti pensati per accompagnare l allievo nell apprendimento dei concetti teorici, mostrandone immediatamente un applicazione concreta. Abbiamo comunque mantenuto la tradizionale e, a nostro parere, irrinunciabile struttura ipotetico-deduttiva nello svolgimento delle argomentazioni, che fa ancora della Meccanica Razionale un disciplina formalmente rigorosa. Sono perciò presenti dimostrazioni anche complesse, sia pure sempre motivate alla luce del contesto applicativo nel quale si vanno a collocare. Le nostre formazioni, così come le realtà didattiche in cui ci muoviamo, sono significativamente diverse. Pur consapevoli che questo fatto avrebbe potuto costituire una difficoltà nella costruzione di una presentazione unitaria, abbiamo pensato che da un confronto fra punti di vista non uniformi sarebbe nata una trattazione forse più stimolante e meno prevedibile, con qualche elemento di originalità. Ci auguriamo che questa nostra aspettativa si sia almeno in parte realizzata.

5 vi Prefazione Vogliamo infine ringraziare tutti coloro che ci hanno aiutato con osservazioni e commenti, fra i quali in particolar modo Sandra Forte e Augusto Muracchini, che hanno anche suggerito utili modifiche per eliminare carenze espositive. Bologna, Milano, Perugia, giugno 2014 Paolo Biscari Tommaso Ruggeri Giuseppe Saccomandi Maurizio Vianello

6 Indice 1 Cinematica del punto Componenti intrinseche di velocità e accelerazione Motopianoincoordinatepolari Cinematica del corpo rigido Configurazionirigide Angoli di Eulero Angoli di Cardano Rotazioni intorno a un asse prefissato Velocità angolare Formule di Poisson Caratterizzazione dei moti rigidi Motirigidi Moto traslatorio Moto rototraslatorio Moto polare Velocità angolare e rotazioni Attodimotorigido TeoremadiMozzi Centro di istantanea rotazione Campo spaziale delle accelerazioni Cinematica relativa Derivatadiunvettorerispettoadueosservatori Teorema di Galileo TeoremadiCoriolis Legge di composizione delle velocità angolari Velocità angolare e angoli di Eulero Sistemi vincolati Esempidisistemivincolati... 47

7 viii Indice Punto su una guida circolare fissa Asta con estremo vincolato su guida fissa Due aste vincolate in un sistema biella-manovella Punto vincolato su guida mobile Vincolo unilatero Vincoli,spostamentievelocitàvirtuali Attidimotoespostamentirigidivirtuali Coordinatelibere Sistemi labili, iperstatici e isostatici Vincoli bilateri olonomi Vincolidipurorotolamentoedicontatto Disco che rotola senza strisciare Vincoli di mobilità e vincoli anolonomi Gradidilibertà Base e rulletta Esempi di problemi cinematici Geometria delle masse Baricentro Momentidiinerzia Momentidiinerziarispettoadassiparalleli Momentidiinerziarispettoadassiconcorrenti Assi e momenti principali d inerzia Ellissoidediinerzia Ricercadegliassiprincipali Sistemipiani Forze, lavoro, potenziale Sistemidiforze Riduzione di sistemi di vettori applicati Lavoroelementare Lavoro lungo un cammino finito Lavoro e potenza Forze posizionali Forzeconservative Potenziali di forze conservative Energia potenziale Lavorodiunsistemadiforze Lavoro di forze agenti su un corpo rigido Lavoro di forze agenti su un sistema olonomo Leggi della Meccanica Principi della Meccanica Riferimenti inerziali Equazione fondamentale della dinamica

8 Indice ix Principio di azione e reazione Principio di sovrapposizione delle forze Determinismo meccanico Sistemidiriferimentononinerziali Postulato delle reazioni vincolari Lanaturasperimentaledelleforze Forze interne ed esterne Il punto di vista di Mach Statica LeggediCoulomb-Morin Vincoliideali Principiodeilavorivirtuali Statica dei sistemi olonomi Vincoli bilaterali Vincoli unilateri Teorema di stazionarietà del potenziale Equilibrio stabile in senso statico Diagrammi di biforcazione Tecnica dello svincolamento Equazionicardinalidellastatica Riducibilità delle forze nei corpi rigidi Equilibrio di corpi rigidi Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale liscio Equilibrio di una scala Equilibrio di un corpo rigido con un punto fisso Equilibrio di un corpo rigido con un asse fisso Corpi rigidi sottoposti ad altri vincoli Incastro Collare cilindrico Guida cilindrica Vincoli piani Problemidistatica:alcuniesempi Dinamica del punto materiale Moto su traiettoria prestabilita Studio qualitativo del moto Motosottoforzecentrali LeggidiKeplero.Leggedigravitazioneuniversale Dinamica dei sistemi Quantità di moto Momento delle quantità di moto Momento delle quantità di moto in un atto di moto rigido Derivata temporale del momento delle quantità di moto

9 x Indice 10.3 Energia cinetica Energia cinetica in un atto di moto rigido Energia cinetica di un sistema olonomo Un esempio di calcolo di quantità meccaniche Equazioni cardinali della dinamica Integrali primi del moto Moto del baricentro Teorema dell energia cinetica Dinamica del corpo rigido Corpo rigido libero Equazioni di Eulero e angoli di Eulero Moti alla Poinsot Rotazioni permanenti Stabilità delle rotazioni permanenti Moti alla Poinsot di un giroscopio Corpo rigido vincolato Corpo rigido con un punto fisso Corpo rigido con un asse fisso Corpo rigido appoggiato Moto di un disco su una guida rettilinea Attrito volvente Meccanica Relativa Statica relativa Forza centrifuga Componenti conservative della forza di trascinamento Forza peso Dinamica relativa Problema dei due corpi Deviazione verso Oriente nella caduta dei gravi Dinamica relativa del corpo rigido Un problema di meccanica relativa Meccanica lagrangiana Principio di d Alembert Riduzione delle forze d inerzia in un atto di moto rigido Equazione simbolica della dinamica Equazioni di Lagrange Determinismo lagrangiano Lagrangiana Integrali primi lagrangiani Integrale dei momenti cinetici Hamiltoniana Stabilità dell equilibrio

10 Indice xi Teorema di stabilità di Dirichlet-Lagrange Criteri di instabilità Stabilità di sistemi con un grado di libertà Modi normali di sistemi con più gradi di libertà Linearizzazione delle equazioni di moto Analisi del moto linearizzato Funzione di dissipazione Vincoli anolonomi lineari Statica dei continui monodimensionali Equilibrio dei corpi monodimensionali Azioni interne Forze e momenti esterni Equazioni indefinite di equilibrio Forze concentrate Aste elastiche: il modello di Eulero Asta pesante incastrata Fili Equilibrio di un filo omogeneo pesante Archi resistenti a sole pressioni Ponti sospesi Filo teso su una superficie Appendice A. Richiami di calcolo A.1 Punti,vettori A.2 Curve A.3 Trasformazionilineari,matrici A.4 Diagonalizzazione simultanea di matrici simmetriche A.5 Richiamidiequazionidifferenzialiordinarie A.5.1 Equazioni differenziali a variabili separabili A.5.2 Equazioni differenziali lineari Riferimenti bibliografici Indice analitico