Sistemi Meccatronici

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1 Sistemi Meccatronici Introduzione alla Dinamica e al Controllo dei Sistemi Meccanici rev. 0.9 prof. Paolo Righettini Università di Bergamo 20 novembre 2009

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3 Indice 1 Modelli di sistemi meccanici Sistemi a corpi rigidi Sistemi a corpi deformabili Conclusioni Equazione di moto per sistemi ad un gdl Velocità geometrica Esempio Accelerazione geometrica Esempio Bilancio di potenze Esempi Integrazione Numerica dell equazione di moto Metodo di Eulero Applicazione all equazione di moto Equazioni di Lagrange Esempio Comportamento dinamico in un intorno della posizione di equilibrio Esempi sulla scrittura delle equazioni di moto Manovellismo Pendolo Risoluzione dell equazione di moto Vibrazioni libere Vibrazioni smorzate Rigidezza degli elementi elastici Esempi Sistemi ad un grado di libertà forzato Forzanti armoniche Forze d inerzia rotanti ed alternate

4 4 INDICE 4.3 Eccitazione per spostamento del vincolo impresso Forze trasmesse Isolamento dalle vibrazioni Esempi Funzioni di trasferimento Determinazione e caratteristiche della funzione di trasferimento Transitori Risposta allo scalino di un sistema del secondo ordine Risposta al gradino di sistemi del primo ordine Esempi Risposta di regime - analisi in frequenza Diagrammi asintotici di Bode Introduzione al controllo dei sistemi meccanici Modello motore corrente continua Modello elettrico Comportamento dinamico Accoppiamento statico con il carico Controllo in anello aperto Controllo in anello chiuso Funzione di trasferimento ad anello chiuso Regolatori PID A Dal P.L.V. al teorema dell energia cinetica 125 B Trasformata di Laplace 127 B.1 Derivazione nel dominio del tempo B.2 Integrazione nel dominio del tempo B.3 Linearità B.4 Teorema del valore iniziale e finale B.5 Trasformate razionali B.6 Sviluppo di Heavside B.6.1 Poli reali distinti B.6.2 Poli complessi coniugati

5 Capitolo 1 Modelli di sistemi meccanici Il comportamento dinamico di sistemi meccanici può essere analizzato ricorrendo ad opportuni modelli in funzione del tipo di indagine richiesta. Una prima analisi dinamica possibile è lo studio del movimento degli elementi costituenti il sistema in funzione delle forze esterne applicate (motrici e resistenti). Per questo tipo di analisi risulta di sovente sufficiente una schematizzazione a corpi rigidi degli elementi costituenti il sistema. In questa schematizzazione si trascureranno perciò le deformabilità degli elementi meccanici, comunque presenti per il fatto che essi sono soggetti a coppie e forze. L entità di tale deformazione viene ritenuta trascurabile rispetto al movimento complessivo e non viene introdotta nella stesura del modello. I sistemi descritti con questo tipo di modello sono detti sistemi a corpi rigidi. Questa schematizzazione può essere considerata valida fino a che la deformabilità degli elementi non influenza il moto complessivo o le reazioni vincolari non assumo valori eccessivamente diversi rispetto al caso rigido. In queste circostante risulta opportuno utilizzare un modello che tenga conto anche della deformabilità degli elementi, al fine di indagare quanto questa possa influenzare il moto o le forze che gli elementi si scambiano fra loro. Si tratterà quindi di introdurre corpi deformabili nel modello del sistema. Un secondo tipo di analisi dinamica è allora lo studio delle vibrazioni, dovute alla cedevolezza degli elementi. In questo caso risulta allora utile analizzare il comportamento in un intorno di una configurazione, in modo da valutare l effetto introdotto dalla deformabilità degli elementi. I sistemi meccanici così studiati vengono chiamati sistemi a corpi deformabili. 5

6 6 CAPITOLO 1. MODELLI DI SISTEMI MECCANICI Figura 1.1: Schema a corpi rigidi di un mandrino 1.1 Sistemi a corpi rigidi Uno dei problemi ampiamente diffuso nel campo dell ingegneria è l analisi del moto di un sistema meccanico, costituito da più elementi meccanici fra di loro collegati da opportuni vincoli cinematici. Gli elementi meccanici interconnessi sono considerati rigidi, la loro deformata dovuta al carico applicato è considerata trascurabile rispetto al movimento che compiono. Nel modello i vincoli cinematici sono considerati lisci (non dissipano energia), ideali, con deformazioni nulle per qualsiasi carico applicato, ovvero i vincoli sono considerati olonomi. Questi possono essere ad esempio cerniere o carrelli, che dal punto applicativo corrispondono a cuscinetti o guide prismatiche. Le ipotesi enunciate sono molto forti, condizioni irrealizzabili costruttivamente, si dovrà allora valutare se effettivamente il loro comportamento è assimilabile a quello ideale per l applicazione in studio. I parametri necessari alla descrizione di questo tipo di modello sono quelli di massa, le equazioni di vincolo introdotte dalle coppie cinematiche e le forze applicate al sistema. Il numero delle coordinate libere dipende dal numero di corpi rigidi che costituiscono il modello e dal numero delle equazioni di vincolo. Un esempio di un sistema a corpi rigidi è riportato in figura 1.1. Il sistema ha un solo gradi di libertà, ad esempio la rotazione del motore α m, a cui sono linearmente legate le rotazioni di tutti gli altri corpi. Il comportamento dinamico ci permette di legare le accelerazioni del motore alle coppie motrici/resistenti applicate in funzione dei parametri di massa, viene trascurata la cedevolezza degli alberi di trasmissione e ruote dentate. I risultati ottenuti possono permettere una valutazione delle caratteristiche meccaniche delle ruote dentate e alberi di trasmissione necessarie affinchè nelle condizioni operative il sistema sia in condizioni di sicurezza oppure di determinare l andamento della coppia motrice richiesto per un assegnato movimento del

7 CAPITOLO 1. MODELLI DI SISTEMI MECCANICI 7 Figura 1.2: Schema a corpi rigidi di un manovellismo carico. L equazione di moto può essere determinata ricorrendo agli equilibri dinamici. A tal riguardo si può citare il manovellismo di figura 1.2, composto da 4 elementi (manovella, biella, corsoio e telaio), fra di loro opportunamente collegati per mezzo di tre cerniere piane ed una guida prismatica. Il sistema ha un grado di lebertà, infatti essendo costituito dal tre corpi mobili, per complessivi 9 gdl, 4 coppie cinematiche ognuna delle quali pone 2 equazioni di vincolo per un totale di 8 gdv. Complessivamente ha quindi un solo grado di libertà, ad esempio la rotazione della manovella. In questo meccanismo è di interessa il legame fra la rotazione della manovella e lo spostamento del corsoio (o il legame fra la coppia applicata alla manovella e la forza applicata al corsoio). 1.2 Sistemi a corpi deformabili In questo tipo di sistemi si è generalmente interessati all analisi dell influenza della cedevolezza degli elementi sul moto o l insorgenza di fenomeni vibratori. Tale indagine viene generalmente effettuata paragonando il comportamento del moto in piccolo rispetto al caso statico, ovvero rispetto al caso in cui il moto in piccolo è completamente assente. Le cedevolezze introdotte possono rappresentare anche la deformabilità dei vincoli, in modo che nel modello possano essere introdotte delle coppie cinematiche ideali. La scelta di quali elementi all interno del modello considerare rigidi e quali flessibili deve tenere conto della rigidezza associata agli elementi e del carico inerziale che li attraversa. L introduzione di elementi flessibili comporta un cospicuo aumento dei parametri che descrivono il modello, la cui valutazione può essere in talune circostanze onerosa o valutabile solamente dal punto di vista sperimentale. In alcune applicazioni si potranno considerare sistemi deformabili a parameappunti delle lezioni - Sistemi Meccatronici /2010

8 8 CAPITOLO 1. MODELLI DI SISTEMI MECCANICI Figura 1.3: Schema a corpi rigidi di un mandrino con albero deformabile tri concentrati, scelta che permette di ridurre la complessità computazionale ed il numero di parametri. Altrimenti si possono introdurre sistemi continui le cui equazioni costitutive permettono l analisi di ogni singolo punto appartenente all elemento. Oltre ai parametri indicati nel caso dei modelli a corpi rigidi si devono introdurre le cedevolezze (deformabilità) e le masse delle parti deformabili. Il numero dei gradi di libertà aumenta con il numero di cedevolezze introdotte ed il modello dinamico risulta più complesso. In questo tipo di modelli rientrano anche quelli delle strutture (costruzioni in acciaio o cemento armato) che sono statiche. Infatti esse non hanno moto in grande, ma viene studiato il moto in piccolo per valutare l effetto degli elementi deformabili sulle reazioni di vincolo quando sono soggette ad un terremoto. A titolo d esempio possiamo considerare il sistema di figura 1.3 che rappresenta il modello di un mandrino con un albero di trasmissione torsionalmente deformabile. La deformabilità dell albero è rappresentata dalla rigidezza torsionale k t. Complessivamente il sistema ha perciò 2 gdl, ad esempio la rotazione dell albero motore e del carico, che ci permettono analizzare di quanto il comportamento dinamico di questo modello si discosta da quello presentato in figura 1.1 per la cedevolezza dell albero. L integrazione di questo sistema a due gradi di libertà risulta più onerosa rispetto al caso rigido. Il sistema presentato in figura 1.4 rappresenta un manovellismo in cui la cerniera del corsoio è deformabile lungo la direzione del corsoio. La deformabilità del vincolo è rappresentata dalla rigidezza k v. In questo caso il sistema ha un grado di libertà in più rispetto al caso di figura 1.2, che ci permette di analizzare di quanto il moto della massa M si discosta dal caso rigido per la presenza della cedevolezza del vincolo.

9 CAPITOLO 1. MODELLI DI SISTEMI MECCANICI 9 Figura 1.4: Schema a corpi rigidi di un manovellismo 1.3 Conclusioni Lo studio del problema dinamico prevede quindi la definizione di un modello che possa adeguatamente descrivere il comportamento del sistema in studio. La definizione del modello comprende anche la determinazione dei parametri che lo descrivono (geometrici, di massa, strutturali, forze motrici e resistenti, ecc.). Successivamente si dovrà scrivere l equazione di moto (più equazioni per sistemi a più gradi di libertà) le cui caratteristiche potranno dare indicazioni sul comportamento dinamico del sistema. L equazione differenziale risultante potrà essere integrata in forma chiusa o numericamente per analizzare i transitori.

10 10 CAPITOLO 1. MODELLI DI SISTEMI MECCANICI

11 Capitolo 2 Equazione di moto per sistemi ad un gdl L equazione di moto di un sistema ad un grado di libertà può essere scritta seguendo diversi approcci. Il primo proposto è il bilancio di potenze che permette di ottenere l equazione di moto senza considerare le reazioni vincolari. Infatti nei modelli a cui facciamo riferimento i vincoli sono ideali e lisci, condizioni nelle quali le reazioni vincolari non lavorano e quindi non dissipano energia. Prenderemo in considerazione le forze generalizzate agenti sul sistema, forze o coppie a seconda dei casi, ovvero le forze esterne applicate in punti definiti dei corpi e, ricorrendo al principio di D Alambert, le forze d inerzia. Nel caso di sistemi piani la risultante dei forze d inerzia di un corpo rigido dipende dalla massa e dell accelerazione del baricentro F in = m g a G. (2.1) La risultate delle coppie d inerzia, nelle medesime ipotesi, dipende dal momento d inerzia baricentrale e dell accelerazione angolare del corpo M in,g = J G ω. (2.2) Il calcolo delle azioni d inerzia risulta quindi il prodotto di un parametro di massa per l accelerazione (lineare o angolare) del baricentro del corpo rigido. Per il calcolo delle potenze di tutte le forze facciamo allora riferimento a tutti gli N punti a cui sono applicate delle forze esterne e/o delle azioni d inerzia. Considerando le forze generalizzate, e quindi non distinguendo fra accelerazioni lineari ed angolari e fra masse e momenti d inerzia, la potenza delle forze generalizzate applicate al punto i-esimo sarà allora W i = (F i m i a i ) v i, (2.3) 11

12 12 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL Figura 2.1: Schema a corpi rigidi di un motociclo in cui il pedice i fa riferimento ai corpi a cui è applicata una coppia esterna, o che hanno un momento d inerzia, e a punti a cui sono applicate forze esterne o che sono caratterizzati da masse concentrate. Il bilancio di potenza dell intero sistema potrà allora essere imposto per mezzo della relazione N (F i m i a i ) v i = 0. (2.4) i=1 Per applicare il bilancio di potenza si dovrà quindi: definire la coordinata libera del sistema; calcolare la velocità v i dei punti di applicazione delle forze esterne; calcolare l accelerazione a i dei punti di massa; sviluppare il bilancio di potenze espresso dall equazione 2.4. Nel modello semplificato di motociclo ad un solo grado di libertà, presentato in figura 2.1, i corpi sono considerati rigidi e i vincoli ideali, le ruote ruotano senza strisciare sul piano ed il vincolo di contatto sul piano sia bilatero. Si trascurano le masse e i momenti d inerzia associati alle ruote, si considera come unico punto di massa il baricentro del motociclo. Alla ruota motrice è applicata la coppia Cm(t) in verso orario e si assume come coordinata libera la rotazione oraria α della ruota motrice. In questo caso i punti di interesse sono due, uno la traccia dell asse di rotazione della ruota a cui viene applicata la coppia motrice, l altro il baricentro del motociclo. Si tratta quindi di determinare per ambedue i punti la dipendenza della loro velocità dalla coordinata libera. Per il baricentro, essendo punto di massa, sarà necessario determinare la dipendenza della sua accelerazione dalla coordinata libera.

13 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL Rotazione ruota. La rotazione della ruota coincide con la coordinata libera, per cui il vettore velocità di rotazione sarà un vettore perpendicolare ed entrante nel piano del foglio con modulo α; 2. Baricentro. La posizione del baricentro può essere espressa dalla coordinata x nel sistema di riferimento di figura, ovvero in notazione vettoriale x = x i dove i è il versore dell asse assunto come riferimento, parallelo al piano stradale. Il legame fra la posizione x del baricentro e la coordinata libera è x = Rα a partire da un arbitraria origine. Il vettore velocità si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione. In questo caso la derivazione è semplice in quanto il verso del vettore non varia in funzione della coordinata libera, rimane, per ogni posizione raggiunta, parallelo al piano stradale. Il vettore velocità sarà allora diretto come i di modulo ẋ = R α. Analogamente il modulo dell accelerazione saraà ẍ = R α. È ora possibile applicare il bilancio di potenze espresso dalla 2.4 per i due punti individuati nell esempio: da cui C m α m G R α i R α i = 0 (2.5) α(t) = C m(t) m G R 2. (2.6) L equazione di moto trovata fissa il legame fra l accelerazione del motociclo e la coppia applicata alla ruota. L integrazione di questa equazione differenziale a coefficiente costanti del secondo ordine ci permette di risalire alla legge oraria che descrive il movimento del veicolo. α(t) = α(0) + α(t)dt α(t) = α(0) + α(t)dt (2.7) La complessità dell integrazione in forma chiusa dipende solamente dalla complessità della funzione C m (t). In ogni caso è sempre possibile determinare la soluzione numerica dell integrale. Il legame cinematico fra i punti di interesse e la coordinata libera non è in generale così semplice come presentato nell esempio precedente, in cui la direzione del vettore x è costante ed il modulo dipende linearmente dalla coordinata libera. La sospensione rappresentata in figura 2.2 è un sistema con caratteristiche cinematiche più complesse rispetto al caso del motociclo. In questo modello viene trascurata la cedevolezza della gomma, tutti gli elementi sono

14 14 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL Figura 2.2: Schema a corpi rigidi di una sospensione rigidi, i vincoli sono ideali e l unico elemento dotato di massa è la ruota. È composta da 7 corpi rigidi, per un totale di 21 gdl, 8 cerniere che impongono 16 gdv e 2 manicotti che impongono 4 gdv. Il sistema ha quindi 1 solo gdl. La coordinata libera scelta è la rotazione α dell asta A 0 A. Per applicare il bilancio di potenze espresso dalla 2.4 si deve determinare la velocità e l accelerazione del baricentro G della ruota che, per generalità, indicheremo come il punto P i. 2.1 Velocità geometrica La posizione di P i è fissata dalla configurazione raggiunta dal sistema in funzione della coordinata libera α, e può essere descritta, in un opportuno sistema di riferimento, da un vettore P i, anch esso funzione di α, risulta cioè P i = P i (α). (2.8) Per una variazione α della coordinata libera, come mostrato in figura 2.3, il punto raggiungerà una nuova posizione, descritta dal vettore P i(α + α), scostata rispetto alla precedente della quantità S i (α) = P i P i funzione della configurazione, e quindi di α. Se l incremento α viene imposto nell intervallo di tempo t, la velocità media di spostamento del punto è v i = S i t (2.9)

15 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 15 Figura 2.3: Spostamento del punto P i Per intervalli di tempo t 0, gli spostamenti S i divengono infinitesimi e la velocità media di spostamento tende alla velocità istantanea v i, v i = ds i dt = ds i dα dα dt = τ i α. (2.10) Il vettore τ i descrive il legame fra lo spostamento infinitesimo di un punto per una variazione infinitesima dα della coordinata libera, dipende da α, che fissa la configurazione geometrica raggiunta, non dipende dal tempo, e quindi descrive una caratteristica geometrica del punto P i. Viene indicato come velocità geometrica o rapporto di trasmissione generalizzato; è descritto dai due parametri tipici dei vettori, modulo e anomalia, che sono funzione della sola coordinata libera α, per cui τ i = τ i (α). La velocità di un punto di un corpo del sistema è rappresentata dal prodotto della velocità geometrica del punto per la velocità della coordinata libera v i = τ i α. (2.11) La velocità geometrica τ i è allora un vettore tangente alla traiettoria come lo è il vettore velocità v i τ i = τ i t. (2.12) Può essere facilmente determinata dall analisi cinematica, come la velocità del punto calcolata per velocità unitaria α = 1 della coordinata libera Esempio In riferimento alla figura 2.4, rappresentante una parte della sospensione di figura 2.2 viene illustrato il calcolo di τ del baricentro della ruota. Per il

16 16 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL Figura 2.4: Calcolo di τ calcolo si fa riferimento all equazione 2.11 che lega la velocità di un punto al corrispondente rapporto di trasmissione τ. Il mozzo della ruota è rigidamente collegato alla biella del parallelogramma quadrilatero A 0 A B B 0, per cui trasla nel piano. Il Centro di Istantanea Rotazione (CIR) è all infinito nella direzione fissata dai bilancieri A 0 A e B 0 B, tutti i punti solidali alla biella percorrono delle traiettorie ad arco di cerchio di raggio a. La velocità del baricentro coincide allora in modulo e verso con la velocità dei punti A a B pari a V a = V b = V G = a α t e sarà tangente alla traiettoria. Da questa espressione, ricordando la 2.11, e che τ coincide con v per α = 1, risulta τ = a t. In questo caso τ ha modulo costante pari ad a ed anomalia che dipende dalla posizione; infatti il versore tangente alla traiettoria forma con l esse orizzontale un angolo α + π/2. ( ) τ = a i cos(α + π/2) + j sin(α + π/2). (2.13) 2.2 Accelerazione geometrica L accelerazione del punto P i può essere determinata derivando rispetto al tempo la 2.11, risulta allora a i = dv i dt = dτ i dt α + τ i α = dτ i dα dα dt α + τ i α. (2.14)

17 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 17 Figura 2.5: Approssimazione del II ordine della traiettoria L accelerazione dipende da due contributi: il primo τ i α è dovuto all accelerazione α della coordinata libera; il secondo dτ i dα α2 è dovuto alla variazione del rapporto di trasmissione rispetto alla coordinata libera. La derivata del rapporto di trasmissione rispetto alla coordinata libera è una caratteristica geometrica del punto, dipende dalla configurazione raggiunta e quindi dalla coordinata libera, viene indicata come accelerazione geometrica dτ i dα = γ i = γ i (α). (2.15) γ i è un vettore che può essere facilmente determinato dall analisi cinematica, corrisponde all accelerazione del punto P i calcolata per α = 0 e per α = 1; in tali condizioni dalla 2.14 risulta infatti a i = γ i. L accelerazione geometrica ha due componenti significative, una tangente e l altra normale alla traiettoria. Ricordando la 2.12 risulta γ i = dτ i dα = d ( τ i t ) = d τ i dα dα t + τ i d t dα. (2.16) La derivata del versore tangente alla traiettoria rispetto alla coordinata libera può essere determinata ricorrendo alla relazione di Frenet. Facendo riferimento alla figura 2.5, si considera un approssimazione del secondo ordine della traiettoria nel punto P i. Per una variazione infinitesima dα della coordinata libera il punto P i raggiunge la posizione P i con uno spostamento ds. A tale spostamento corrisponde lo spostamento angolare dθ misurato

18 18 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL al centro del cerchio osculatore, tale che ds = ρdθ, con ρ raggio di curvatura della traiettoria. Ricordando la definizione di τ, è anche ds = τ dα. Passando dal punto P i al punto P i la tangente alla traiettoria subisce una rotazione dθ, per cui essa subisce uno spostamento d t di modulo d t = t dθ = 1 ds ρ = τ dα ρ (2.17) e con direzione coincidente con la normale alla traiettoria nel punto P i. La derivata del versore tangente alla traiettoria rispetto alla coordinata libera risulta allora d t dα = τ n, (2.18) ρ mentre l accelerazione geometrica γ i in funzione delle componenti tangenziali e normali è: γ i = d τ i dα t + τ i 2 n. (2.19) ρ Le due componenti sono funzione della coordinata libera, quella tangenziale dipende dalla variazione del modulo del rapporto di trasmissione, mentre quella normale dipende dalla variazione della direzione del rapporto di trasmissione. Queste due componenti non corrispondono in generale all accelerazione normale e tangenziale della traiettoria. Complessivamente l accelerazione è espressa dalle relazioni a i = γ i α 2 + τ i α (2.20) ( d τ a i = γ i α 2 i + τ i α = dα t + τ i 2 ) ρ n α 2 + τ i t α, (2.21) per cui l accelerazione è determinabile in funzione delle derivate di ordine 0, 1 e 2 della coordinata libera; infatti è necessario calcolare la velocità geometrica τ (α) e l accelerazione geometrica γ(α), per poi applicare la relazione Esempio Il calcolo dell accelerazione geometrica del baricentro della ruota di figura 2.6, rappresentante una parte della sospensione di figura 2.1, può essere condotto in due modi. Il primo prevede di derivare rispetto alla coordinata libera α l espressione della velocità geometrica τ, espressa dalla relazione Si ottiene [ ] γ = dτ dα = a i sin(α + π/2) + j cos(α + π/2) [ ] = a i cos(α) j sin(α).

19 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 19 Figura 2.6: Calcolo di γ L accelerazione geometrica ha allora modulo a ed è diretta come la normale alla traiettoria. L accelerazione geometrica può essere calcolata considerando la 2.20 e ricordando che γ coincide con l accelerazione per α = 1 e per α = 0. In questo caso il punto si muove lungo in arco di circonferenza di raggio a, con un velocità angolare α; nelle condizioni specificate ( α = 0) l accelerazione tangenziale è nulla, mentre l accelerazione centripeta è a α. Allora l accelerazione geometrica avrà modulo a e sarà diretta come la normale alla traiettoria. γ = a n. Questo risultato poteva essere dedotta anche dalla 2.21, in cui sono esplicitate le componenti normali e tangenziali; nelle condizioni poste solo la componente normale dell accelerazione geometrica è diversa da zero, in quanto il modulo del rapporto di trasmissione è costante, mentre la direzione dipende da α. 2.3 Bilancio di potenze Lo sviluppo dell analisi cinematica condotta nei paragrafi precedenti permette di riscrivere il bilancio di potenze espresso dalla 2.4; introducendo le espressioni della velocità 2.11 e dell accelerazione 2.14 si ottiene: N [ F i m i (γ i α 2 + τ i α) ] τ i α = 0 (2.22) i=1

20 20 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL N [ F i τ i m i γ i τ i α 2 m i τi 2 α ] = 0. (2.23) i=1 L equazione di moto espressa dalla 2.23 permette di risolvere i due problemi dinamici fondamentali, dinamica diretta e dinamica inversa. In problema dinamico inverso consente di calcolare la coppia motrice necessaria ad ottenere una definita legge oraria della coordinata libera α(t), essendo note le forze resistenti applicate al sistema. In questo caso essendo assegnata la leggere oraria α(t), sono anche assegnate le derivate prime e seconde, per cui i termini differenziali nella 2.23 sono noti; essa si riduce allora ad una semplice equazione scalare che permette di determinare l incognita. Si tratta di determinare le espressioni di τ i e di γ i in funzione della coordinata libera α, la risoluzione è del tutto analoga a quella del caso statico, per tale motivo questo problema è anche detto cinetostatico. Il problema dinamico diretto permette la determinazione dell accelerazione α della coordinata libera note α, α e le forze attive e passive applicate al sistema N [ F i τ i m i γ i τ i α 2] α = i=1 N m i τi 2. (2.24) i=1 La legge oraria α(t) si ottiene dall integrazione dell equazione differenziale espressa dalla 2.23, la difficoltà dell integrazione dipende essenzialmente dalla complessità dei termini che compongono la In alcune circostanze non è possibile determinare l integrale in forma chiusa, in questi casi l unica soluzione possibile è quella numerica. In ogni caso sarà necessario fissare le condizioni iniziali di velocità e posizione che corrispondono alle due costanti di integrazione. Dall equazione differenziale 2.24 si possono facilmente ottenere dei casi notevoli. Ad esempio considerando rapporti di trasmissione e forze costanti in modulo ed anomalia, risulta γ = 0 e quindi otterremo α = cost, moto uniformemente accelerato, facilmente integrabile in forma chiusa Esempi Equazione di moto per una sospensione La figura 2.7 rappresenta lo schema di una sospensione, in cui la forza esercitata dal gruppo molla-ammortizzatore, sempre diretta verso l alto, è indicata con F e, la forza di contatto fra ruota e terreno, sempre diretta verso l alto, è indicata con F c. L unico elemento dotato di massa è la ruota.

21 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 21 Figura 2.7: Schema a corpi rigidi di una sospensione L equazione di moto che descrive il comportamento dinamico della sospensione può essere calcolata ricorrendo all equazione I punti di interesse sono in questo caso 3 come indicato in figura: 1. Punto di contatto ruota terreno. In questo punto è applicata la forza esterna F c. Il suo rapporto di trasmissione è stato determinato nel paragrafo ed è ( ) τ 1 = a i cos(α + π/2) + j sin(α + π/2). 2. Centro di massa della ruota. Per i punti che rappresentano il centro di massa si deve determinare sia τ che γ. Analogamente a quanto visto per il punto 1 risulta ( ) τ 2 = a i cos(α + π/2) + j sin(α + π/2). Il calcolo di γ è riportato nel paragrafo e risulta [ ] γ 2 = a i cos(α) j sin(α). 3. Punto di attacco del gruppo molla-ammortizzatore. Analogamente a quanto visto per il punto 1, il rapporto di trasmissione risulta ( ) τ 3 = b i cos(α π/2) + j sin(α π/2). Le forze esterne hanno le espressioni vettoriali F c = F c j e F e = F e j. Applicando la 2.24 si ottiene α = F c τ 1 + F e τ 3 mτ 2 2

22 22 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL Figura 2.8: Manovellismo α = F ca sin(α π/2) + F e b sin(α + π/2) ma 2 (2.25) Quest ultima relazione esprime l accelerazione della coordinata in funzione della coordinata libera α ed in funzione del modulo delle forze esterne. L integrazione di questa equazione differenziale, fissando le condizioni iniziali di velocità e posizione, ci permette di ricavare l andamento di α(t). Equazione di moto per un manovellismo Il manovellismo rappresentato in figura 2.8 è modellizato a corpi rigidi, i vincoli siano ideali e fissi. Il moto è garantito dalla coppia motrice C m applicata alla manovella, la forza resiste F r applicata al corsoio è funzione della posizione e della velocità del corsoio F r = F r (x, ẋ). Il corsoio ha massa m 2 mentre la manovella ha una massa m 1 ed un momento d inerzia baricentrale J G. Assumendo come coordinata libera la rotazione α della manovella, la posizione del corsoio misurata a partire dal punto morto esterno risulta x = l + r r cos α l 2 r 2 sin 2 α (2.26) mentre la velocità ẋ = [ r sin α + ] r2 sin(2α) α. l2 r 2 sin 2 α Per la scrittura dell equazione di moto per mezzo del bilancio di potenze, si prendono in considerazione tre punti caratteristici: 1. Centro di massa della manovella. Questo punto ha una traiettoria circolare, il rapporto di trasmissione ha modulo costante e verso funzione della coordinata libera, risulta: τ 1 = a t 1

23 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 23 dove t 1 è il versore tangente alla traiettoria seguita dal punto, quindi ruotato di α + π/2 rispetto alla direzione orizzontale assunta come riferimento. L accelerazione geometrica γ 1 è normale alla traiettoria (il modulo di τ è costante) e ha modulo pari ad a. γ 1 = a n Centro del corsoio. In questo punto si intende concentrata la massa del corsoio ed applicata la forza resistente. Dall analisi della velocità del corsoio risulta τ 2 = [ r sin α + r2 sin(2α) l2 r 2 sin 2 α Il rapporto di trasmissione ha allora direzione fissa ma il modulo è funzione della coordinata libera. Ricordando la 2.19, l espressione dell accelerazione geometrica si ottiene derivando rispetto ad α il modulo del rapporto di trasmissione; in questi casi ha una componente tangenziale diversa da zero. Si ottiene: [ ] r 2 cos(2α) γ 2 = r cos α + 2 l2 r 2 sin 2 α + r4 sin(2 a) sin α cos α ( l2 r 2 sin 2 α ) i 3/2 3. Traccia dell asse di rotazione della manovella. La rotazione della manovella coincide con la coordinata libera, per cui τ 3 = 1 k mentre γ 3 è nullo in quanto il rapporto di trasmissione è costante. L espressione dell accelerazione risulta allora: α = F r(x, ẋ) τ 2 m 2 γ 2 τ 2 α 2 + C m τ 3 m 1 τ m 2τ J G ] i (2.27) I termini geometrici che compaiono in quest equazione sono tutti funzione di α, la forza resistente è funzione di α e di α mentre la coppia motrice può essere funzione del tempo. L integrazione in forma chiusa per la determinazione della legge oraria α(t) può risultare complessa o addirittura impossibile. In questi casi il problema dinamico diretto può essere risolto efficacemente ricorrendo all integrazione numerica. 2.4 Integrazione Numerica dell equazione di moto In questo paragrafo sono riportati alcuni cenni sull integrazione numerica di equazioni differenziali, non viene proposta una trattazione esaustiva, e si rimanda a testi specializzati per un approfondimento sulla tematica.

24 24 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL Prendendo in considerazione un problema ai valori iniziali per un equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma esplicita { ẏ(t) = f(t, y(t)) y(t 0 ) = y 0 (2.28) l integrazione alle differenze finite (numerica) consiste nella determinazione di un approssimazione della funzione primitiva y(t). Tale approssimazione viene determinata per un numero finito di valori t 1, t 2, t 3,..., t n della variabile di integrazione Metodo di Eulero Il metodo di integrazione numerica più semplice è quello di Eulero che permette di determinare l approssimazione della funzione primitiva all istante t k+1 per mezzo della relazione y(t k+1 ) = y(t k ) + hf(t k, y(t k )) (2.29) dove h è un opportuno intervallo di tempo fisso, ed il legame fra gli istanti in cui si valuta la funzione primitiva è t k+1 = t k + h (2.30) La 2.29, come in generale tutti i metodi di integrazione, permette di determinare un insieme di valori {y 1, y 2, y 3,..., y n } della funzione primitiva, con y k = y(t k ), in corrispondenza di un insieme di valori {t 1, t 2, t 3,..., t n } della variabile di integrazione. Il metodo di Eulero deriva dallo sviluppo in serie di Taylor, arrestato al primo ordine, della primitiva y(t) nell intorno destro dell istante t k y(t k + h) = y(t k ) + dy(t) dt (t k + h t k ) = y(t k ) + f(t k, y(t k ))h (2.31) t=tk che rappresenta un approssimazione della primitiva nell intervallo h. Questo metodo è detto esplicito in quanto permette di determinare direttamente il valore della funzione y k+1 a partire da y k. La valutazione della primitiva viene quindi fatta a passi, basandosi sul valore della funzione calcolata al passo precedente. Per il primo passo vengono utilizzate le condizioni iniziali y(t 0 ) = y 0 espresse dalla 2.28; nella tabella 2.1 vengono riportati alcuni passi dell integrazione numerica con il metodo di Eulero, la figura 2.9 ne rappresenta l aspetto geometrico. Esistono tecniche di integrazione più complesse, ma più precise, come il metodo dei trapezi (implicito), che permette di determinare l integrale con la relazione y(t k+1 ) = y(t k ) + 0.5h [f(t k, y(t k )) + f(t k+1, y(t k+1 ))]. (2.32) Fra gli altri metodi si possono ricordare quelli Runge Kutta che calcolano le derivate anche in punti intermedi dell intervallo [t k t k+1 ].

25 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 25 t k y(t k ) t 0 y 0 condizioni iniziali t 1 y 1 = y 0 + hf(t 0, y 0 ) t 2 y 2 = y 1 + hf(t 1, y 1 ) t 3 y 3 = y 2 + hf(t 2, y 2 ) Tabella 2.1: Passi dell integrazione numerica con il metodo di Eulero Figura 2.9: Interpretazione geometrica dell integrazione numerica con il metodo di Eulero Applicazione all equazione di moto L equazione di moto di un sistema ad un grado di libertà è un equazione differenziale del secondo ordine che può essere espressa, come visto nelle relazioni 2.27 e 2.25, nella forma α(t) = f(t, α, α). (2.33) L integrazione numerica di quest equazione differenziale può essere ricondotta al caso dell integrazione di equazioni differenziali del I ordine, e seguire il metodo proposto in questo paragrafo. Un equazione differenziale del II ordine può essere ricondotta ad un sistema di equazioni differenziali del I primo ordine introducendo una variabile d appoggio ξ tale per cui α = ξ. (2.34) L equazione differenziale 2.33 è riconducibile allora al sistema di due equazioni differenziali del I ordine { α = ξ. (2.35) ξ = f(t, α, ξ)

26 26 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL t k Y (t k ) t 0 Y 0 t 1 Y 1 = Y 0 + hẏ 0 = t 2 Y 2 = Y 1 + hẏ 1 = [ α0 ξ 0 ] [ α1 ξ 1 ] + h [ ξ0 + h [ f(t 0, α 0, ξ 0 ) ξ1 f(t 1, α 1, ξ 1 ) ] ] Tabella 2.2: Passi dell integrazione numerica dell equazione di moto con il metodo di Eulero Per l integrazione di questo sistema si dovranno introdurre due costanti di integrazione che corrispondono ai valori iniziali delle funzioni da integrare { α(t0 ) = α 0 ξ(t 0 ) = ξ 0 = α 0 (2.36) È possibile una rappresentazione matriciale di questo problema di integrazione. Introducendo il vettore Y (t) = [ α(t) ξ(t) ] (2.37) che rappresenta le funzioni integrali ricercate, il sistema di equazioni differenziali e le condizioni iniziali sono rappresentate dalla [ ] [ ] α(t) ξ(t) Ẏ = f(t, Y ) = ξ(t) f(t, α, ξ) (2.38) Y (t 0 ) = Y 0 che rappresenta la forma matriciale della relazione L integrazione numerica del sistema di equazioni differenziali del primo ordine, può essere condotta con il metodo di Eulero, integrando contemporaneamente le equazioni. Indicando con Y k = la formula di integrazione di Eulero è [ αk ξ k ] (2.39) Y k+1 = Y k + Ẏ kh, (2.40) mentre i passi di integrazione sono espressi dalle relazioni riportate nella tabella 2.2.

27 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 27 Figura 2.10: Integrazione numerica dell equazione di moto di una motocicletta Esempio numerico in ambiente Matlab Viene riportato un semplice esempio dell integrazione numerica dell equazione di moto in ambiente Matlab, facendo riferimento al sistema presentato in figura La determinazione dell equazione di moto può essere eseguita con la procedura indicata in questo capitolo, si ottiene α = C m( α) F r R mr 2 = C m( α) K r (R α) 2 R mr 2. (2.41) La coppia motrice C m applicata è funzione della velocità della coordinata libera, ha andamento parabolico come illustrato in figura. I parametri del modello sono: C m0 = 70 Nm, ω 0 = 100 rad/s, R = 0.2 m, m = 90 kg, K r = 0.7 N/(m/s) 2. Le condizioni iniziali sono: α(0) = 0 e α(0) = 0. Il programma di integrazione è costituito da una funzione principale dinmoto.m riportata in figura Nella prima parte vengono fissate le condizioni iniziali ed il passo di integrazione, nella seconda viene eseguita l integrazione vera e propria tramite un ciclo for, mentre nell ultima parte vengono visualizzati i risultati. La parte di integrazione utilizza il metodo di Eulero per l integrazione della velocità e dell accelerazione, basandosi sull accelerazione espressa dalla 2.41 valutata al passo di integrazione corrente, il cui valore numerico viene determinato con la funzione acc.m riportata in figura Questa funzione determina il valore dell accelerazione in funzione della derivata di ordine 0 e 1 della coordinata libera; il valore dell accelerazione dipende inoltre dal raggio R della ruota motrice. La determinazione dell accelerazione si basa su altre due funzioni, riportate in figura 2.13, che consentono il calcolo della forza resistente e della coppia motrice in funzione della velocità α.

28 28 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL function dinmoto clear all close all %raggio della ruota R = 0.2; %% t=0; %tempo di integrazione tend = 10; %intervallo di integrazione h=0.01; %contatore cicli cc=1; %condizioni iniziali %velocita e posizione nulla alpha = 0; dalpha = 0; for t=0:h:tend ddalpha=accbar(r,alpha, dalpha); %integrazione velocita alpha = alpha + dalpha*h; %integrazione accelerazione dalpha = dalpha + ddalpha*h; % %salvo risultati nella matrice ris(cc,:) = [t,alpha,dalpha,coppiamotrice(dalpha)]; % t=t+h; %incremento la variabile di integrazione cc = cc+1; %incremento il contatore dei cicli end %diagramma forze esterne DiagrammiForzeEsterne(R); %diagrammi dei resiltati DiagrammiRisultati(ris); return Figura 2.11: Integrazione con il metodo di Eulero function ddalpha=acc(r,alpha, dalpha) %calcola l accelerazione nota la posizione e la velocita della coordinata %libera %parametri : %R: raggio della ruota %alpha: coordinata libera %dalpha: velocita della coordinata libera %valore di ritorno: accelerazione della coordinata libera %dati identificativi del modello %massa m=90; %% dx = R*dalpha; %velocita del baricentro %calcolo della forza resistente e della coppia motrice Fr = ForzaResistente( dx ); Cm = CoppiaMotrice(dalpha); %calcolo dell accelerazione ddalpha = (Cm - Fr*R)/(m*R^2); return; Figura 2.12: Calcolo dell accelerazione

29 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 29 function Fr=ForzaResistente(dx) %calcola la forza resistente in funzione della velocita di avanzamento %parametri: velocita di avanzamento Kr = 0.7; Fr = Kr*dx.^2; return function Cm=CoppiaMotrice(dalpha) %calcola la coppia motrice in funzione della velocita di rotazione della %ruota Cm0 = 70; w0 = 100; Cm = Cm0*(1 - (dalpha/w0).^2); return Figura 2.13: Calcolo delle forze esterne

30 30 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL 2.5 Equazioni di Lagrange Le equazioni di Lagrange permettono la scrittura delle equazioni di moto considerando il sistema nel suo complesso, esprimendo in un opportuna forma il lavoro virtuale delle forze d inerzia e delle forze esterne. L effetto dei campi di forza descritti da un energia potenziale V, come ad esempio quelli conservativi, è introdotto per mezzo dell energia potenziale V. Considerando un sistema ad un grado di libertà in cui la coordinata libera è α, l equazione di Lagrange è espressa dalla relazione d dt ( L α ) L α = Q α (2.42) in cui si è introdotta la funzione L = T V (detta Lagrangiana) che rappresenta la differenza fra l energia cinetica totale del sistema e l energia potenziale totale del sistema. La Lagrangiana è funzione della posizione α e della velocità α ed assume l espressione generale L(α, α) = i 1 2 m iv 2 i (α, α) j V j (α) (2.43) in cui compare la somma delle energie cinetiche dei corpi che costituiscono il sistema e la somma di tutte le energie potenziali associate alle forze applicate al sistema. Nel calcolo dell energia cinetica si è fatto riferimento alla massa generalizzata dei corpi, senza distinguere fra traslazioni di punti di massa e rotazioni di corpi con momento d inerzia diverso da zero. Nella 2.43 si è inoltre esplicitata la dipendenza dell energia cinetica e potenziale dalla derivata di ordine 0 e 1 della coordinata libera, senza introdurre delle variabili fisiche di comodo per la descrizione del movimento dei punti di massa o di applicazione delle forze esterne. Il primo membro della 2.42 fa allora riferimento al lavoro virtuale delle forze d inerzia e dei campi di forza che ammettono potenziale, mentre il secondo membro Q α fa riferimento al lavoro delle forze applicate al sistema che non rientrano nel primo membro dell equazione. Il termine Q α prende il nome di componente lagrangiana della sollecitazione attiva k Q α = F k δp k (2.44) δα ed è determinabile come la somma dei lavori virtuali delle forze esterne per una spostamento virtuale δα della coordinata libera diviso lo stesso spostamento virtuale della coordinata libera. Ricordando quanto esposto nel paragrafo 2.1, e ricordando che il lavoro virtuale è quello compatibile con i vincoli e che gli spostamenti virtuali possono essere presi piccoli a piacere, la 2.44 può essere espressa in termini di τ k = ds k /dα Q α = k F k τ k (2.45)

31 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL Esempio Facendo riferimento al manovellismo riportato in figura 2.8 ed allo sviluppo dell esercizio proposto nel paragrafo viene determinata l equazione di moto con l equazione di Lagrange. L energia cinetica del manovellismo sarà T = 1 2 m 1(b α) J G α m 2ẋ 2, la dipendenza della velocità ẋ del corsoio è già stata determinata nel paragrafo [ ] ẋ = r sin α + r2 sin(2α) α = τ 2 (α) α l2 r 2 sin 2 α per cui risulta T = 1 2 m 1(b α) J G α m 2τ 2 2 α 2. Il meccanismo giace nel piano orizzontale, nell espressione della lagrangiana non compare quindi l energia potenziale della forza peso, L = T. Le derivate della lagrangiana che compaiono al primo membro della 2.42 risultano allora α T = m 1b 2 α + J G α + m 2 τ2 2 α ( ) d dt α T = m 1 b 2 dτ 2 α + J G α + m 2 (2τ 2 dt α + τ 2 2 α) ( ) d dt α T = m 1 b 2 dτ 2 dα α + J G α + m 2 (2τ 2 dα dt α2 + τ2 2 α) ( ) d dt α T = m 1 b 2 α + J G α + m 2 (2τ 2 γ 2 α 2 + τ2 2 α) α T = m dτ 2 2τ 2 dα α2 = m 2 τ 2 γ 2 α 2 Il primo membro dell equazione di Lagrange risulta allora m 1 b 2 α + J G α + m 2 (τ 2 γ 2 α 2 + τ 2 2 α) La componente lagrangiana della sollecitazione attiva Q α è Q α = F r τ 2 + C m e quindi l equazione di lagrange porta all equazione differenziale α(m 1 b 2 + J G + m 2 τ 2 2 ) + m 2 τ 2 γ 2 α 2 = F r τ 2 + C m riconducibile con semplici passaggi alla 2.27 α = F rτ 2 + C m m 2 τ 2 γ 2 α 2 m 1 b 2 + J G + m 2 τ 2 2

32 32 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI MOTO PER SISTEMI AD UN GDL

33 Capitolo 3 Comportamento dinamico in un intorno della posizione di equilibrio 3.1 Esempi sulla scrittura delle equazioni di moto Manovellismo Per il manovellismo presentato in figura 3.1 vengono proposti due metodi per la scrittura dell equazione di moto necessaria all analisi dinamica in un intorno della posizione di equilibrio. Si suppone che la lunghezza l della biella sia molto più grande della lunghezza r della manovella. Con queste ipotesi l equazione 2.26 si semplifica e la posizione del corsoio a partire dal punto morto esterno è descritta dalla relazione x = r(1 cos α) in cui α è la rotazione della manovella, assunta come coordinata libera. La molla è applicata al corsoio lungo la sua direzione di scorrimento, ha lunghezza libera l 0, è fissata a terra in un punto che dista h dal punto morto esterno lungo la direzione di scorrimento del corsoio. Nelle condizioni di molla scarica il corsoio avrà allora la posizione x s = l 0 h a cui corrisponde una rotazione della manovella α s = arccos(1 x s /r). 33

34 CAPITOLO 3. COMPORTAMENTO DINAMICO IN UN INTORNO DELLA POSIZIONE 34 DI EQUILIBRIO Figura 3.1: Manovellismo Bilancio di potenze La posizione di equilibrio è individuata dal valore α 0 della coordinata libera, è determinabile dal principio dei lavori virtuali, che può essere espresso nella forma F i τ i = 0, dove la sommatoria è estesa a tutte le forze generalizzate applicate al sistema. Viene indicato con i il versore dell asse x assunto come misura della posizione del corsoio e con k il versore dell asse perpendicolare ed uscente dal piano del foglio. Quindi la coppia applicata alla manovella sarà espressa dalla relazione C 0 = C 0 k, mentre la forza elastica applicata al corsoio sarà F e = F e ( i) in cui F e = k(x x s ) = kr(cos α s cos α). I rapporti di trasmissione dei punti di applicazione delle forze esterne risultano rispettivamente τ 3 = 1 k per la coppia applicata alla manovella, e τ 2 (α) = dx/dα i = r sin α i per la forza elastica applicata al corsoio. La posizione α 0 di equilibrio è allora determinabile della relazione C 0 τ 3 + F e τ 2 = C 0 kr 2 (cos α s cos α 0 ) sin α 0 = 0. L equazione di moto che descrive il comportamento dinamico in un intorno della posizione di equilibrio è m ϕ + k ϕ = 0 in cui e k = ( df i dα m = τ 2 i 0 m i ) τ i0 + F i0 γ i0 α=α0.

35 CAPITOLO 3. COMPORTAMENTO DINAMICO IN UN INTORNO DELLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO 35 Il rapporto di trasmissione del punto 2 ha modulo funzione di α (τ 2 = τ 2 (α), mentre la sua direzione è fissa. Derivando allora il rapporto di trasmissione rispetto ad α si ottiene γ 2 (α) = r cos α i. Applicando le relazioni viste ai punti di interesse indicati in figura 3.1 si ottiene per la massa equivalente l espressione m = m 1 τ m 2 τ 2 2 (α 0 ) + J G, mentre la rigidezza equivalente è ( k = df ) e dα τ 2 (α 0 ) F e0 γ 2 (α 0 ) α=α0, da cui k = kr sin α 0 r sin α 0 + kr(cos α s cos α 0 )r cos α 0 k = kr 2 (sin 2 α 0 + cos α s cos α 0 cos 2 α 0 ). In quest ultima relazione i termini cos α s cos α 0 cos 2 α 0 rappresentano l effetto dell intensità della forza elastica nella posizione di equilibrio, quindi in questo caso la rigidezza equivalente dipende anche dal valore delle forze che determinano la posizione di equilibrio. Infatti si osserva che se la posizione di equilibrio coincidesse con la posizione di molla scarica (ovvero α 0 = α s e quindi C 0 = 0), rimarrebbe solamente l effetto della variazione del modulo della forza esterna df 2 dα α=α0 τ 20 = kr 2 sin 2 α 0, essendo nullo il valore della forza elastica nella posizione di equilibrio. La coppia C 0 applicata alla manovella non compare nell espressione della rigidezza equivalente in quanto il rapporto di trasmissione che lega la rotazione della manovella alla coordinata libera è costante (unitario). Equazione di Lagrange Le espressioni di m e k possono essere ottenute seguendo anche l approccio di Lagrange. Si dovranno scrivere le espressioni dell energia cinetica associata alle masse in movimento e quelle dell energia potenziale associata alle forze elastiche. Nel caso in cui le espressioni ottenute non siano rispettivamente delle forme quadratiche in α per l energia potenziale ed in α per l energia cinetica, l applicazione dell equazione di Lagrange 2.42 porterebbe ad un equazione di moto in generale non lineare con coefficienti non costanti. L analisi del comportamento dinamico in un intorno della posizione di equilibrio statico, può essere efficacemente condotta operando sull equazione di moto linearizzata, in modo da ottenere un equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti del secondo ordine. La forma linearizzata dell equazione di moto può essere ottenuta sviluppando in serie di Taylor le espressioni dell energia cinetica e potenziale in un intorno della posizione di

36 CAPITOLO 3. COMPORTAMENTO DINAMICO IN UN INTORNO DELLA POSIZIONE 36 DI EQUILIBRIO equilibrio α 0, in modo che l energia cinetica sia una forma quadratica in α e l energia potenziale una forma quadratica in α. Per applicare la 2.42, che porta all equazione di moto cercata, si farà riferimento all analisi cinematica sviluppata nella parte precedente, da cui risulta ẋ = dx/dα α = τ 2 (α) α. L energia potenziale associata alla molla è l energia cinetica è V = 1 2 k(x x s) 2 = 1 2 kr2 (cos α s cos α) 2, T = 1 2 (J G + md 2 ) α m 2ẋ 2 = 1 2 (J G + md 2 ) α m 2(r sin α α) 2, mentre la componente lagrangiana della sollecitazione attiva è Q α = C 0. Per la determinazione della posizione di equilibrio statico possiamo far riferimento ancora alla 2.42, annullando l energia cinetica, T = 0. La posizione di equilibrio statico α 0 cercata è allora determinabile dalla relazione da cui risulta V α = Q α kr 2 (cos α s cos α 0 ) sin α 0 = C 0, come precedentemente già ottenuto. L espressione dell energia cinetica T e potenziale V trovate non sono rispettivamente una forma quadratica in α e in α. Si procede allora al loro sviluppo in serie di Taylor in un intorno della posizione di equilibrio; per l energia cinetica si considererà la funzione approssimante T (α) = T (α 0 ) + O 0 = 1 2 (J G + md 2 + m 2 r 2 sin 2 α 0 ) α 2 che risulta una forma quadratica in α. Per l energia potenziale si considererà la funzione approssimante Ṽ (α) = V (α 0 ) + V α (α α 0 ) V α=α0 2 α 2 (α α 0 ) 2 + O 2 α=α0 quadratica in α. Considerando L = T Ṽ ed applicando la 2.42 otteniamo d dt α L = d dt α T = (J G + md 2 + m 2 r 2 sin 2 α 0 ) α = m α