Esercizi di finanza matematica

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1 Esercizi di finanza matematica

2 Emanuela Rosazza Gianin, Carlo Sgarra Esercizi di finanza matematica 13

3 EMANUELA ROSAZZA GIANIN Dipartimento di Matematica e Statistica Università di Napoli Federico II Napoli CARLO SGARRA Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano Milano ISBN Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com Springer-Verlag Italia, Milano 2007 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d autore, ed è soggetta all autorizzazione dell Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Impianti forniti dall autore Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Signum, Bollate (Mi) Stampato in Italia

4 Indice Introduzione vii 1 Richiami di Probabilità e Processi Stocastici Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Formula di Itô ed equazioni differenziali stocastiche Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Modello binomiale Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Modello di Black-Scholes e strategie di investimento Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Equazioni alle derivate parziali in Finanza Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Opzioni Americane Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Opzioni Esotiche Richiami di teoria Esercizi svolti

5 vi Indice 7.3 Esercizi proposti Derivati su tassi d interesse Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Ottimizzazione di portafoglio in modelli discreti Richiami di teoria Esercizi svolti Esercizi proposti Bibliografia 173 8

6 Introduzione Questa raccolta di esercizi nasce da un esperienza di tre anni maturata nell ambito del corso di Metodi Matematici per la Finanza per il corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale del Politecnico di Milano. Il corso è incentrato sulla Teoria Matematica dei Derivati. La difficoltà nel reperire libri di esercizi di Finanza Matematica in generale, in particolare in lingua italiana e adeguati ad un pubblico di studenti con una formazione matematica di buon livello, ci ha spinto a raccogliere il materiale da noi preparato per le esercitazioni del corso. Lo scopo di questa raccolta non è quindi quello di fornire una collezione esaustiva di applicazioni della teoria dei derivati, ma di presentare un quadro abbastanza completo delle metodologie matematiche utilizzabili. In base al primo Teorema Fondamentale dell Asset Pricing, il prezzo di ogni titolo derivato compatibile con il principio di assenza di arbitraggio può essere calcolato come valore atteso attualizzato del valore finale del derivato stesso (noto perché precisato da un contratto), valore atteso rispetto ad una opportuna misura di martingala equivalente. La maggior parte dei testi che presentano la Teoria Matematica dei Derivati concentra pertanto il proprio interesse sugli strumenti di carattere stocastico che permettano di costruire in maniera più o meno esplicita (almeno nei casi di più frequente utilizzo) tale misura e di calcolare il valore atteso rispetto ad essa. D altra parte il teorema di rappresentazione di Feynman-Kac permette di interpretare tale valore atteso come la soluzione di un equazione alle derivate parziali di tipo parabolico all indietro. Da qui l interesse per lo strumento di natura analitica costituito dalle equazioni alle derivate parziali. Tutti i manuali di Teoria Matematica dei Derivati di cui siamo a conoscenza privilegiano l uno o l altro dei due approcci: o quello stocastico o quello analitico; nelle raccolte di esercizi disponibili allo stato attuale si riflette la medesima dicotomia. Scopo dichiarato del corso per cui questa raccolta di esercizi è stata preparata è quello di rendere lo studente familiare con gli strumenti di entrambi i tipi e di far cogliere l intima connessione tra di essi. L obiettivo, certamente un po ambizioso, era anche motivato dalla circostanza che gli studenti, per i quali originariamente tale raccolta era stata concepita, erano studenti di un Corso di Laurea in Ingegneria di secondo livello, che avevano avuto nella loro formazione matematica di base almeno due corsi di Analisi Matematica, in cui avevano avuto modo di affrontare le problematiche di base delle equazioni differenziali, e due corsi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica in cui avevano appreso i concetti di base dei processi stocastici. La raccolta è stata poi successivamente ampliata e arricchita con alcune nozioni introduttive per renderla adeguata anche a studenti con una formazione matematica di livello inferiore. Nella versione attuale il presente testo può essere utilizzato con successo oltre che da studenti di primo livello dei Corsi di Laurea in Matematica o in Ingegneria, anche da studenti di primo livello del corso di Laurea in Economia, purché opportunamente guidati. Abbiamo suddiviso il materiale proposto in 9 capitoli. Il primo capitolo consiste di alcuni esercizi ricapitolativi dei concetti di base di Calcolo delle Probabilità e Statistica e delle loro applicazioni di interesse

7 viii Introduzione finanziario, nonché di alcune applicazioni di fondamentale interesse in finanza della teoria dei processi stocastici a tempo continuo, in particolare del processo di Wiener e del moto browniano geometrico. Il secondo capitolo ha lo scopo di familiarizzare lo studente con l utilizzo dell integrale stocastico e del Lemma di Itô. Il terzo capitolo raccoglie alcuni esercizi di base di teoria delle opzioni svolti nell ambito del modello binomiale. Il quarto capitolo consiste di esercizi svolti nell ambito del più noto modello a tempo continuo: il modello di Black-Scholes; l interesse si concentra sia sui problemi di valutazione, che su quelli di copertura. Il quinto capitolo fornisce alcuni esempi di frequente utilizzo delle equazioni alle derivate parziali in finanza e presenta alcune applicazioni in cui la teoria dei processi stocastici e quella delle equazioni alle derivate parziali mostrano il legame che li caratterizza. Il sesto capitolo affronta i problemi di base legati alla valutazione di opzioni per le quali è consentito l esercizio anticipato: tali opzioni sono comunemente chiamate Americane. In tale capitolo l interesse si concentra sugli aspetti concettuali connessi con l esercizio anticipato, limitando le problematiche relative alla valutazione all ambito del modello binomiale. Le metodologie numeriche complesse richieste per affrontare metodi di valutazione di opzioni Americane nell ambito di modelli a tempo continuo, o anche solo la loro formulazione come problemi a frontiera libera, ci sono sembrati al di fuori della portata del presente testo. Il settimo capitolo si concentra su alcune opzioni comunemente chiamate Esotiche. La varietà di questo tipo di prodotti finanziari e la difficoltà nel valutarli consente di presentare in una raccolta di questo tipo soltanto una panoramica molto limitata. Anche in questo caso gli esercizi sono pertanto svolti essenzialmente nell ambito del modello binomiale, limitando l uso del modello di Black-Scholes soltanto ai casi più semplici. L ottavo capitolo presenta alcuni esercizi sui modelli per tassi di interesse. Infine, il nono capitolo fornisce alcuni esercizi introduttivi di ottimizzazione di portafoglio. Benché la raccolta sia focalizzata sulla Teoria Matematica dei Derivati, infatti, ci è sembrato opportuno fornire almeno qualche applicazione elementare di Teoria Matematica del Portafoglio, benché limitatamente al caso uniperiodale. Nella stesura di questo lavoro abbiamo fatto riferimento a parecchi manuali di Teoria Matematica dei Derivati dove è possibile reperire il background teorico necessario allo svolgimento degli esercizi, manuali di cui forniremo un elenco in bibliografia. All inizio di ogni capitolo abbiamo riassunto in maniera sintetica tutti i risultati utilizzati, ma il lettore che voglia rendersi conto in profondità della teoria che sta dietro alle applicazioni, dovrà necessariamente far riferimento ad un manuale. Precisiamo ad ogni modo di aver preso come manuali di riferimento il testo di T. Björk, Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press, seconda edizione, 2004, per quanto riguarda la parte di teoria che si basa sui processi stocastici, e il testo di P. Wilmott, S.

8 Introduzione ix Howison e J. Dewynne, Option Pricing, Oxford Financial Press, 2003, per la parte di teoria che fa uso della teoria delle equazioni alle derivate parziali. Abbiamo alcuni colleghi da ringraziare per averci dato supporto di vario genere nel realizzare questo lavoro. Ringraziamo i Proff. Fabio Bellini e Marco Frittelli, i Dott. Massimo Morini e Paolo Verzella ed un anonimo referee per aver letto la versione preliminare di questa raccolta ed averci fornito indicazioni e commenti preziosi. Siamo molto grati al Prof. Sandro Salsa per aver letto con attenzione il quinto capitolo, i.e. quello sulle equazioni a derivate parziali, e per averci dato suggerimenti indispensabili. Ringraziamo la Dott. Francesca Bonadei della Springer e tutti i colleghi che hanno incoraggiato la stesura del presente lavoro: in particolare vogliamo ringraziare i Proff. Vincenzo Aversa, Emilio Barucci, Achille Basile, Ernesto Salinelli. Ringraziamo infine di cuore i nostri studenti che, nel seguire il corso con interesse, hanno fornito uno stimolo continuo alla preparazione di questo eserciziario. Ci scusiamo infine fin d ora per gli inevitabili errori che, nella prima stesura di qualunque raccolta di esercizi, potranno essere presenti, nonostante l attenta revisione. Milano, 12 dicembre 2006 Emanuela Rosazza Gianin e Carlo Sgarra