UNITEXT La Matematica per il 3+2

Transcript

1 UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 68 For further volumes:

2 Aldo de Luca Flavio D Alessandro Teoria degli Automi Finiti ~ S p r i n g e r

3 Aldo de Luca Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli Università di Napoli Federico II Napoli Flavio D Alessandro Dipartimento di Matematica G. Castelnuovo Università di Roma La Sapienza Roma UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: ISSN versione elettronica: ISBN DOI / ISBN (ebook) Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2013 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti Layout di copertina: Beatrice B., Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany ( Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (MI) Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I Milano Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media (

4 Prefazione La teoria degli Automi è nata in relazione a due problematiche completamente diverse. La prima sviluppatasi nell ambiente logico-matematico riguarda la formalizzazione nel modo più generale possibile della nozione di algoritmo. Contributi fondamentali in questa direzione sono stati dati verso la fine degli Anni 30 da logici quali A.M. Turing, A. Church e S.C. Kleene. La seconda problematica ebbe origine verso la metà degli Anni 40 ad opera del neurofisiologo W. McCulloch e del matematico W. Pitts in un ambito che potremmo definire Cibernetico. Essa riguardava la possibilità di fornire una descrizione matematica del funzionamento delle cellule nervose, o neuroni, e delle reti di neuroni. Dai due predetti filoni di ricerca nacquero e si svilupparono due teorie di grande interesse sia per la Matematica che per la scienza del calcolo, o Informatica. La prima è la teoria generale della calcolabilità basata sulla nozione di Automa, o Macchina, di Turing, la seconda è la teoria degli Automi finiti. La differenza fondamentale tra gli Automi di Turing e gli Automi finiti risiede nella capacità di memoria. Questa è potenzialmente infinita nelle macchine di Turing nel senso che può accrescersi quanto si vuole se le esigenze di calcolo lo richiedono, mentre è fissa nel caso degli automi finiti. A partire dal lavoro di McCulloch e Pitts la teoria degli Automi finiti ebbe un grande sviluppo sul piano matematico. Un primo passo fondamentale dovuto a Kleene fu quello di presentare una nozione astratta di automa svincolandola dal linguaggio delle reti neurali. Egli tra l altro dimostrò un teorema fondamentale della teoria cioè la coincidenza della classe dei linguaggi (o eventi) riconoscibili da parte di un automa finito e la classe dei linguaggi razionali (o eventi regolari). Successivamente apparvero nella letteratura oggetti matematici denominati Automa di Mealy e Automa di Moore che riproducevano con qualche variante o tentativo di maggiore rigore formale l idea fondamentale del lavoro di Kleene. Il primo lavoro che può ritenersi una esposizione chiara ed abbastanza esauriente della teoria degli Automi finiti è l articolo di M.O. Rabin e D. Scott del Stabiliti i risultati fondamentali della teoria, successivamente si è cercato di dare ad essi una veste sempre più matematica svincolata al massimo dal linguaggio ingegne-

5 vi Prefazione resco della teoria delle macchine digitali. Verso la metà degli Anni 60 si comprese ad opera di matematici quali M.P. Schützenberger, R. McNaughton e S. Eilenberg che il linguaggio matematico adatto a descrivere gli automi finiti è la teoria dei semigruppi e dei monoidi. Da questo punto di vista un automa finito può essenzialmente ridursi ad un morfismo di un monoide libero in un monoide finito ed il teorema di Kleene può interpretarsi quale un profondo teorema di teoria dei monoidi. In questo volume si fornisce una presentazione rigorosa della teoria degli automi finiti e delle macchine sequenziali generalizzate nell ambito della teoria algebrica dei semigruppi. Si noti che quest ultima teoria non è adatta a descrivere le macchine di Turing o macchine di potenza intermedia tra gli automi finiti e le macchine di Turing. Il volume è nato ed è cresciuto raccogliendo materiale didattico sviluppato nei corsi di Lezioni di Algebra Superiore e di Informatica Teorica tenuti dal secondo autore (A. de Luca) rispettivamente presso le Università di Napoli ( ) e di Roma La Sapienza ( ) e nel corso di Teoria degli Automi tenuto dal primo autore (F. D Alessandro) presso l Università di Roma La Sapienza (dal 2003 ad oggi). Il volume si articola in sette capitoli. Ogni capitolo ha una breve introduzione, una sezione di esercizi ed una di note bibliografiche. La risoluzione della maggior parte degli esercizi è riportata alla fine del volume. I primi tre capitoli trattano alcune parti della teoria dei semigruppi che sono di interesse per la teoria degli automi. Nel Capitolo 1 oltre alle nozioni di base di teoria dei semigruppi, si introducono le famiglie delle parti riconoscibili e razionali di un semigruppo e le nozioni di congruenza sintattica e di equivalenza di Nerode di una parte di un semigruppo. Il Capitolo 2 è dedicato alla teoria di Green dei semigruppi. Il Capitolo 3 riguarda la teoria dei semigruppi liberi e dei codici. Si introducono la nozione di linguaggio formale e le operazioni fondamentali sui linguaggi. I capitoli dal quarto al settimo sono dedicati alla trattazione di alcune problematiche di fondamentale importanza nella teoria degli automi. Il Capitolo 4 è dedicato allo studio della riconoscibilità e della razionalità dei linguaggi. Si dimostrano i teoremi fondamentali di Kleene e di Myhill-Nerode. Si fornisce una caratterizzazione dei linguaggi riconoscibili in termini di grammatiche. Si considerano inoltre i codici razionali, gli automi sincronizzanti e gli automi a due vie. Nel Capitolo 5 si studia l equivalenza di automi e l automa minimale di un linguaggio razionale. Il Capitolo 6 tratta delle espressioni razionali ristrette ed estese e dei problemi della profondità dell operatore stella. Si dimostrano due teoremi fondamentali. Il primo di F. Dejean e Schützenberger sulla profondità dell operatore stella per i linguaggi razionali descritti da espressioni razionali ristrette e il secondo di Schützenberger sui linguaggi aperiodici e i linguaggi razionali descritti da espressioni razionali estese senza stella. Il Capitolo 7 è dedicato alla teoria delle relazioni razionali e alle macchine sequenziali generalizzate (o trasduttori razionali). Si fornisce infine un breve lineamento della teoria della decomposizione degli automi e dei semigruppi di K. Krohn e J.L. Rhodes. Uno degli obiettivi del volume è quello di far conoscere e di diffondere la teoria algebrica degli automi nel mondo matematico italiano. Un secondo obiettivo è quello di fornire, agli studenti dei corsi di laurea magistrale in Matematica, in Informatica ed in Ingegneria, un testo in grado di presentare gli automi finiti utilizzando un linguaggio matematico rigoroso. Il testo si rivolge parimenti agli studenti dei corsi di

6 Prefazione vii dottorato e di master in Matematica, in Informatica ed in Ingegneria, interessati ai risultati fondamentali della teoria. La lettura del volume presuppone solo conoscenze elementari di Algebra. Napoli e Roma, maggio 2013 Aldo de Luca Flavio D Alessandro

7 Indice 1 Teoria dei Semigruppi Semigruppi e monoidi Relazioniefunzioni Sottosemigruppi e sottomonoidi. Sottosemigruppi generati Semigruppo monogenico Morfismi e congruenze Morfismi Congruenze Congruenza di Rees e congruenza sintattica Parti riconoscibili di un semigruppo Parti razionali di un semigruppo Semianelli Ideali Ideali generati da una parte di un semigruppo Costanti e coppie sincronizzanti Relazioni binarie ed operatori di chiusura Reticolo delle congruenze di un semigruppo Cenni di algebra universale Esercizi Note bibliografiche Relazioni di Green Teoria di Green dei semigruppi Teoremidistruttura D-classiregolari Ideale minimale di un semigruppo Esercizi Notebibliografiche Semigruppi e monoidi liberi Semigruppi e monoidi liberi

8 x Indice 3.2 Sottomonoidi di monoidi liberi Codici Teorema di Sardinas e Patterson Disuguaglianza di Kraft-McMillan Codici massimali e completi Codici sincronizzanti Morfismi Presentazione di semigruppi e di monoidi Il monoide commutativo libero Il monoide biciclico Parole e linguaggi Parole Ordinamenti nei monoidi liberi Rappresentazione degli interi Linguaggi Famiglie di linguaggi Esercizi Notebibliografiche Automi finiti Semiautomifiniti Automifiniti TeoremidiMyhillediNerode Alcune proprietà di chiusura di Ric(A ) Linguaggi non riconoscibili Proprietàdiiterazione Il monoide delle transizioni Automiincompletienondeterministici Chiusura di Ric(A ) rispetto al prodotto e all operazione stella Chiusura di Ric(A ) rispettoall operazionedishuffle Teorema di Medvedev Teorema di Kleene Grammatiche regolari Codici razionali Automi sincronizzanti Automi a due vie. Teorema di Rabin e Shepherdson Esercizi Note bibliografiche Equivalenza di automi Congruenze di semiautomi ed automi Automa connesso e minimale Morfismidisemiautomiedautomi Morfismi di semiautomi Morfismi di automi

9 Indice xi 5.4 Equivalenzadiautomi Automaminimaleeteoremadiequivalenza Calcolo dell automa minimale e del monoide sintattico Metododeiresti Esercizi Notebibliografiche Espressioni razionali e Star-height Espressionirazionali Identità razionali Espressionirazionaliestese Star-heightdelleespressionirazionali TeoremadiDejean-Schützenberger Star-height generalizzata Linguaggi senza stella Linguaggi aperiodici Monoidi aperiodici Teorema di Schützenberger Ilproblemadellastar-heightestesa Linguaggi localmente testabili Linguaggi testabili a pezzi Esercizi Note bibliografiche Relazioni razionali OltreilteoremadiKleene Relazionirazionali Trasduttori Trasduttoriefunzionisequenziali Teorema di Elgot e Mezei Ilteoremadicross-section Decomposizione di automi e semigruppi Esercizi Notebibliografiche Esercizi svolti Riferimenti bibliografici Indice analitico