A Nanù, Libero e Gaia per tanti buoni motivi

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1 A Nanù, Libero e Gaia per tanti buoni motivi

2 Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guida Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

3 Roberto Piazza I capricci del caso Introduzione alla statistica, al calcolo delle probabilità e alla teoria degli errori 123

4 ROBERTO PIAZZA Dipartimento di Chimica, Materiali e Ingegneria Chimica Politecnico di Milano - Sede Ponzio Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com Springer-Verlag Italia, Milano 2009 ISBN ISBN (ebook) Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore, e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Via Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. Riprodotto da copia camera-ready fornita dall Autore Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano In copertina: Il bacio Rene é Magritte, by SIAE 2009 Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Stampato in Italia Springer-Verlag Italia s.r.l., Via Decembrio, Milano

5 Prefazione Questo libro trae origine da una precisa convinzione: ritengo che chi si avvicina alla fisica (ma anche a molti altri settori delle scienze naturali e dell ingegneria) abbia l esigenza di far pienamente propri, e di sfruttare adeguatamente quanto prima possibile, molti concetti chiave di probabilità e statistica. L esperienza maturata come docente, sia di corsi introduttivi di laboratorio che di fisica statistica a livello intermedio, mi spinge ad affermare che ciò può essere fatto sfruttando quasi esclusivamente gli strumenti matematici che si acquisiscono nel primo biennio di molti corsi di laurea in discipline scientifiche, senza per questo dover rinunciare ad una comprensione di fondo, di converso tutt altro che immediata, di quelli che ho voluto chiamare i capricci del caso. Per quanto possa certamente costituire un testo di base o di supporto per i primi corsi di laboratorio o di fisica statistica, il volume vuole anche essere utile come strumento per l apprendimento personale diretto, ed è rivolto soprattutto a quelle menti vive, curiose e per fortuna non rare che, avvicinandosi alla scienza, non cercano tanto un testo quanto un compagno di viaggio. Sono infatti convinto che dovere primario e ineludibile di chi fa il mio lavoro sia quello di promuovere, per quanto gli è possibile, lo sviluppo del pensiero originale proprio in coloro nei quali si può già chiaramente intravvedere. Con questo obiettivo, ho cercato di scrivere un testo introduttivo, ma non elementare, in cui tutti gli strumenti tecnici necessari alla comprensione vengano introdotti in modo semplice ma sufficientemente adeguato, e dove il livello dei contenuti cresca progressivamente a partire da concetti elementari. Scopo principale dei primi due capitoli è soprattutto quello di suscitare la curiosità del lettore per mezzo di esempi semplici, ma non convenzionali, che permettano nel contempo di introdurre concetti rilevanti come quelli di invarianza di scala, di indistinguibilità quantistica, o di moto browniano. Nel Cap. 3, a cui attribuisco un importanza particolare, le distribuzioni di probabilità per una variabile casuale vengono introdotte in stretta e costante relazione con il loro interesse per la fisica e l ingegneria. I Cap. 5 e 6, dedicati rispettivamente alla teoria degli errori e all analisi dei dati sperimentali, hanno

6 VIII Prefazione un carattere più tradizionale, ma reso più rigoroso, rispetto a quanto fatto di norma nei corsi introduttivi, dai concetti sviluppati nei capitoli precedenti. Un discorso a parte merita il Cap. 4, dove ho cercato di raccogliere tutti quei concetti più avanzati che richiedono conoscenze preliminari aggiuntive, in ogni caso introdotte a livello elementare nel testo o nelle appendici matematiche: in considerazione di quegli studenti speciali a cui mi riferivo, credo che ne sia valsa la pena. Queste nozioni, come quelle contenute nelle sezioni indicate con un asterisco, non sono comunque essenziali per una prima lettura. Ho invece volutamente evitato di discutere metodi numerici o programmi di calcolo specifici per l analisi statistica, sia in quanto ad essi sono già dedicati testi eccellenti, che soprattutto perché l esperienza e l età mi suggeriscono che, da questo punto di vista, qualunque studente un po sveglio saprebbe fare decisamente meglio di me. Non è mio compito giudicare se e quanto abbia raggiunto l obiettivo che che mi ero proposto. Di per certo, credo di essere perlomeno riuscito in un intento più modesto, che tuttavia mi stava a cuore: realizzare quel libriccino che io, nei panni di un giovane studente in fisica, avrei voluto avere sotto mano molti anni or sono, e che neppure oggi mi è facile individuare sul mercato editoriale, a dispetto di intere collezioni dedicate a testi di probabilità e statistica. Se vi sono riuscito, lo devo anche al prezioso aiuto di colleghi, studenti, amici, organizzazioni che, con i loro suggerimenti e le loro correzioni, o per avermi messo a conoscenza di dati statistici interessanti e curiosi, hanno contribuito alla realizzazione di questo volume. Voglio quindi ringraziare in particolare Vittorio Degiorgio, Stefano Buzzaccaro, Daniele Vigolo, Franco Peracchi, Victor Yakovenko, l Istat e il Centro Interuniversitario per l accesso alle Scuole di Ingegneria ed Architettura (CISIA). Un ringraziamento speciale va anche a Springer, ed in particolare a Maria Bellantone e Marina Forlizzi, per avermi spinto a contraddire (spero) la mia convinzione secondo cui scrivere libri èciò che fa un fisico quando diventa troppo vecchio per fare ricerca. Questo libro è stato interamente redatto in L A TEX2ε, utilizzando per l analisi computazionale e la grafica soprattutto piattaforme aperte quali SCILAB: desidero quindi infine esprimere il mio più vivo ringraziamento a tutti coloro (tra cui non posso non menzionare Claudio Beccari) che si adoperano per fini non commerciali al progetto e allo sviluppo di software di qualità, o in altri termini a ciò che viene definito, con un espressione davvero efficace, careware. Tanto basti per i colleghi che leggono queste righe con lo scopo di trovare motivazioni sufficienti per consigliare ai loro studenti questo testo: di più, una prefazione non può e non deve dire. A te, lettore per davvero, è invece riservato il breve programma di lavoro che apre il volume: spero che possa esserti almeno utile a capire che cosa vogliamo fare insieme. Milano, gennaio 2009 Roberto Piazza

7 Indice Un programma di lavoro La descrizione statistica dei dati Descrizione statistica e proprietà emergenti Un(apparente)ossimoro,percominciare Le password dellastatistica Distribuzionidifrequenze Indicatoridiunadistribuzionestatistica Media Momentidiunadistribuzione Deviazionestandardeasimmetria Un esperimentonumerico :Ilmotobrowniano *1.7 Scalecaratteristicheedinvarianzadiscala Correlazioni Probabilità: concetti di base Leregoledicalcolo Eventiindipendenti Probabilitàcondizionata IlteoremadiBayes Eventicompostieconteggideglieventi *2.4.1 Conteggiinfisicastatistica *2.5 Sulle diverse interpretazioni della probabilità *2.5.1 Probabilitàefrequenzerelative *2.5.2 Probabilità oggettiva a priori *2.5.3 Probabilità come inferenza (probabilità bayesiana) Distribuzioni di probabilità Variabili casuali e distribuzioni di probabilità Valore di aspettazione, varianza e momenti successivi Ladistribuzionebinomiale... 92

8 X Indice *3.3.1 Miseriadelsistemista LadistribuzionediPoisson La distribuzione di Poisson come limite della binomiale La distribuzione di Poisson: eventi istantanei in un continuo Distribuzioni di probabilitàpervariabilicontinue Ladistribuzionegaussiana Dallabinomiale(odallaPoisson)allagaussiana Probabilitàgaussianacumulativa *3.6.3 Moto browniano e processi di diffusione *3.7 Laleggedeigrandinumeri *3.7.1 Leggedeigrandinumeri:formulazione debole *3.7.2 Leggedeigrandinumeri:formulazione forte Probabilità: accessori per l uso Funzionidiunavariabilecasuale *4.2 Distribuzioni di probabilità perpiùvariabili *4.2.1 Distribuzionigaussianeperduevariabili *4.3 Funzionididuevariabilicasuali *4.4 Funzionecaratteristica *4.4.1 Alcune proprietà della funzione caratteristica *4.4.2 Funzioni caratteristiche di alcune distribuzioni notevoli. 147 *4.4.3 Funzionecaratteristicaemomenti *4.4.4 Cumulanti: perché la gaussiana è così speciale *4.5 IlTeoremaCentraleLimite *4.6 Probabilitàedinformazione *4.6.1 Entropiastatistica *4.6.2 Ilprincipiodimassimaentropia *4.6.3 Entropiastatisticapervariabilicontinue Teoria degli errori Alleradicideglierrori Lastrutturadiunapparatodimisura Un tour (breveedincompleto)sullecausedierrore Errorisistematiciederroricasuali Precisione ed accuratezza. Distribuzione gaussiana deglierroricasuali *5.1.5 Lo scheletro nell armadio: i dati strani Stimedeiparametridelladistribuzionelimite Perché farepiùmisure Lamediacomestimadelvalorediaspettazione Stima di σ x edeviazionestandard corretta L errorestandard:comesi scrive unrisultato Stima della correlazioni tra due grandezze Propagazione degli errori...187

9 Indice XI Errori misurati ed errori stimati: le misure indirette Stima del valore di aspettazione di y = f(x) Propagazione degli errori per funzioni di una variabile Propagazione degli errori per funzioni di più variabili Erroresulladeviazionestandardecifresignificative Mediepesate *5.6 Piccolicampioni Analisi dei dati sperimentali Ilprincipiodimassimaverosimiglianza Il test del χ Gradi di libertà Distribuzione di probabilità perilχ Il test del χ 2 perunadistribuzione *6.3.1 Massimaverosimiglianzaomassimaentropia? Fit dell andamento di dati sperimentali Ilmetododeiminimiquadrati Relazioni lineari (o riconducibili ad esse) Funzioninonlineari Il test del χ 2 perunfit Utilità e limiti del χ 2 per giudicare la bontà di un fit Far del vizio virtù: il test del χ 2 rovesciato Letture consigliate A Un potpourri matematico A.1 Approssimazione di Stirling e funzione Gamma A.2 Indicatoricaratteristicidelledistribuzioni A.2.1 Binomiale A.2.2 Poisson A.2.3 Gaussiana *A.3 Il teorema di DeMoivre Laplace *A.4 LemmadiBorel Cantellieleggedeigrandinumeri *A.4.1 IllemmadiBorel-Cantelli *A.4.2 La formaforte dellaleggedeigrandinumeri A.5 La δ didirac *A.6 Funzionigeneratrici A.7 La distribuzione del χ B Tavole numeriche Indice analitico...251