I FRATTALI. Chiara Mocenni. giovedì 15 dicembre 11

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1 I FRATTALI Chiara Mocenni

2 IL CAOS DETERMINISTICO Sistema deterministico Comportamento aperiodico Sensibilità alle condizioni iniziali Attrattori strani Infiniti cicli repulsivi

3 GLI ATTRATTORI Un attrattore e un insieme chiuso A con le seguenti proprietà: 1. A e un insieme invariante; 2. A attrae un insieme aperto U di condizioni iniziali, cioè le traiettorie con condizione iniziale su U tendono verso A; 3. A e minimale.

4 ESEMPI DI ATTRATTORI 1 2 A U 3 dx/dt=x-x 3 dy/dt=-y

5 Un attrattore strano e un attrattore con dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Per comprendere la struttura degli strani attrattori occorre introdurre gli oggetti matematici denominati frattali.

6 I frattali ricordano molti oggetti esistenti in natura, come le montagne, le coste frastagliate, gli alberi bronchiali, il cavolo, I fiocchi di neve, ecc. Ciò che accomuna questi oggetti e il fatto di non assomigliare a forme classiche, come coni, rettangoli, triangoli, ecc.

7 L INSIEME DI CANTOR

8 PROPRIETÀ DELL INSIEME DI CANTOR Ha una struttura che permane a scale arbitrariamente piccole; e autosimile; ha dimensione non intera; ha misura nulla; e costituito da un numero non numerabile di punti.

9 MISURA NULLA Ogni insieme C n copre tutti gli insiemi che vengono dopo di lui nella costruzione, cioè l insieme di Cantor viene ricoperto da ognuno dei C n. Quindi la lunghezza dell insieme di Cantor deve essere minore della lunghezza di ogni C n. Sia L n la lunghezza di un C n. Allora, L 0 =1, L 1 =2/3, L 2 =(2/3) 2,..., L n =(2/3) n. Ma L n 0 per n. Quindi l insieme di Cantor ha lunghezza nulla.

10 DIMENSIONE DI UN INSIEME DI PUNTI Un punto ha dimensione nulla, una linea ed una curva liscia hanno dimensione 1, un piano ha dimensione 2, un solido ha dimensione 3, ecc. La dimensione e il minimo numero di coordinate necessarie per descrivere ogni punto nell insieme.

11 DIMENSIONE DI AUTOSIMIGLIANZA Se espandiamo un quadrato di un fattore 2 in ogni direzione otteniamo un quadrato che contiene 4 quadratini uguali all originale. Se espandiamo un quadrato di un fattore 3 in ogni direzione otteniamo 9 quadratini uguali all originale. se espandiamo un quadrato di un fattore r, otteniamo r 2 quadratini uguali all originale.

12 DEFINIZIONE Supponiamo che un insieme sia costituito da m copie uguali all originale dopo che sia stato riscalato di un fattore r. La dimensione di autosimiglianza e l esponente d definito da cioè m = r d, d = ln(m)/ln(r)

13 DIMENSIONE DELL INSIEME DI CANTOR La dimensione di autosimiglianza dell insieme di Cantor e quella che si ottiene considerando che esso e ad ogni passo composto da 2 copie di se stesso, ciascuna riscalata di un fattore 3, quindi d=ln2/ln

14 LA CURVA DI VON KOCH d=ln4/ln3

15 ESEMPI DI FRATTALI u&source=univ&sa=x&ei=sldoto3aac_sgbfy-3yaq&ved=0cecqsaq&biw=1024&bih=573

16 STIMA DELLA DIMENSIONE FRATTALE La stima della dimensione frattale di un attrattore viene effettuata attraverso l applicazione di algoritmi che ne stimano un valore approssimato. Qui presentiamo i due seguenti: La dimensione box-counting La dimensione di correlazione

17 LA DIMENSIONE BOX-COUNTING Si consideri di ricoprire un insieme S con una serie di box di dimensione ε. Sia N(ε) il numero minimo di box necessari per ricoprirlo. Come dipende N(ε) da ε? Per una curva liscia di lunghezza L, N(ε) L/ε, per una regione planare di area A, N(ε) A/ε 2. In generale, N(ε) 1/ε d, cioè la dimensione dell insieme S e uguale all esponente d.

18 Supponiamo di dover ricoprire una curva, una superficie o un cubo con cubetti di lato ɛ.

19 Sia S contenuto in un insieme in R n. Per ogni ɛ > 0, sia N(ɛ) il minimo numero di cubi n-dimensionali di lato ɛ necessari per ricoprire S. Se esiste un numero d tale che N(ɛ) ~ 1/ɛ d per ɛ 0 diciamo che la dimensione box-counting di S e' d.

20 LA DIMENSIONE BOX-COUNTING DELL INSIEME DI CANTOR Per lo stesso insieme di Cantor, ogni C n consiste di 2 n intervalli di lunghezza (1/3) n. Se poniamo ε=(1/3) n ci vorranno 2 n di questi intervalli per ricoprire l insieme. Quindi d = lim ε 0 ln N(ε) ln 1 ε = ln2n ln 3 n = nln2 nln 3 = ln2 ln

21 LA DIMENSIONE DI CORRELAZIONE Consideriamo ora un sistema dinamico che possiede un attrattore strano nello spazio delle fasi. Come possiamo calcolare la dimensione frattale dell attrattore? Si genera un numero molto alto di punti in modo da disporre di una evoluzione (traiettoria) lunga del sistema. Si trascurano quindi i punti appartenenti al transitorio.

22 Si fissa un punto x sull attrattore A. Sia N x (ε) il numero di punti di A contenuti in una palla di raggio ε intorno a x. Cioe N x (ε) misura la frequenza con cui la traiettoria visita una certa regione dell attrattore. All aumentare di ε il numero di punti N x (ε) nella palla tipicamente cresce come ε d. d sara maggiore in zone molto visitate e minore nelle zone piu rarefatte di A.

23 Per avere una stima ragionevole si effettua una media di N x (ε) su x. La quantità che otteniamo e C(ε) ε d, dove d e detta dimensione di correlazione dell attrattore. In generale vale: dimensione di correlazione dimensione box-counting

24 STIMA DELLA DIMENSIONE DI CORRELAZIONE Per stimare d si riporta in un grafico logc(ε) vs. logε. d e la pendenza della retta che si trova nella regione intermedia del grafico (intermedia perché la curva satura per alti valori di ε a causa della limitatezza dell attrattore).

25 LA MAPPA A FERRO DI CAVALLO

26 STRUTTURA DELLA MAPPA A FERRO DI CAVALLO La mappa a ferro di cavallo ha la struttura di un insieme di Cantor. Infatti una sezione trasversale assomiglia a C. Cioè e il prodotto di una curva liscia con un insieme di Cantor. La sua struttura frattale nasce dalla sequenza di meccanismi di stretching and folding che compongono la trasformazione.

27 UTILITÀ DELLA DIMENSIONE DI CORRELAZIONE Se stiamo analizzando sperimentalmente un sistema dinamico e' utile stimare la dimensione frattale perché questa ci da' un'idea della dimensione dello spazio che ha generato l'esperimento, cioè del numero di variabili necessarie per modellare il processo.