La Bussola Magnetica di V. Croquette Dipartimento di Fisica, Università di Bologna Ghirardini Stefano Strumento reale:

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1 La Bussola Magnetica di V. Croquette Dipartimento di Fisica, Università di Bologna Ghirardini Stefano 01/06/2009 Strumento reale: La bussola magnetica di Croquette consta di un ago magnetico immerso in un campo magnetico fisso ed in uno rotante, entrambi i campi sono perpendicolari all'asse di rotazione dell'ago. Il campo rotante ruota con velocità angolare fissata, i moduli dei campi sono costanti nel tempo. Dinamica: m = momento magnetico dell'ago. B F = campo magnetico fisso. B R = campo magnetico rotante. = momento della forza dell'ago magnetico,. N L = momento della quantità di moto dell'ago magnetico.

2 I = angolo tra l'ago magnetico e il campo fisso. = angolo tra il campo rotante e il campo fisso. = momento inerziale dell'ago magnetico. = coefficiente d'attrito, positivo. = L N t = m N B F m B R Il momento magnetico e i due campi giacciono sullo stesso piano perpendicolare all'asse di rotazione della bussola, quindi entrambi i momenti sono diretti lungo l'asse di rotazione e si possono sostituire le loro proiezioni lungo quell'asse: N = m B F sin m BR sin L = I e quindi, aggiungendo anche l'attrito: I = m B F sin m BR sin Adimensionalizziamo il tutto: m BF m BR B F =, B R =, = I I I = B F sin B R sin Siccome: = 0 t L'unica incognita dell'equazione rimane. Ora possiamo scegliere se considerare solo la bussola ed avere un sistema non autonomo con 2 dimensioni nello spazio delle fasi,,, oppure considerare anche il campo rotante ed avere un sistema autonomo con 4 dimensioni,,,,. Dal momento che è costante il tutto si riduce ad un sistema autonomo con 3 gradi di libertà: d = dt d = B F sin B R sin dt d = dt

3 Di cui non c'è soluzione analitica. Simulazione 1: Codice in C++, il programma utilizza un integratore di Runge-Kutta del quarto ordine, si prendono 7 punti di partenza con diversi, i valori del vettore,, vengono salvati ad ogni iterazione e possono essere visualizzati con Gnuplot per ottenere plot sia bidimensionali che tridimensionali, i valori di e variano nell'intervallo 0, 2. dt = N iterazioni = 5000 = 1 I parametri da variare per osservare i vari regimi del sistema sono B R e. B F e rimangono sempre gli stessi. Risultati (in asse orizzontale B F = 0,5, B R = 0, = 0, in verticale ):

4 B F = 0,5, B R = 0,01, = 0 B F = 0,5, B R = 0,04, = 0

5 B F = 0,5, B R = 0,1, = 0 B F = 0,5, B R = 0,2, = 0

6 B F = 0,5, B R = 0,3, = 0 B F = 0,5, B R = 0,4, = 0

7 B F = 0,5, B R = 0, = 0,1 B F = 0,5, B R = 0,1, = 0,1

8 B F = 0,5, B R = 0,2, = 0,1 B F = 0,5, B R = 0,3, = 0,1

9 B F = 0,5, B R = 0,4, = 0,1 B F = 0,5, B R = 0,9, = 0,1

10 B F = 0,5, B R = 1,0, = 0,1 B F = 0,5, B R = 2,0, = 0,1

11 B F = 0,5, B R = 10,0, = 0,1 Le proprietà della dinamica di un sistema sono legati agli esponenti di Lyapunov del sistema. Un esponente di Lyapunov associato ad una dimensione dello spazio delle fasi non fa altro che dire come si comportano le distanze tra i punti nello spazio delle fasi lungo quella specifica dimensione. Se l'esponente è 0 lungo quella dimensione le distanze si conservano; se è positivo le distanze di dilatano, così come l'errore associato alle variabili in evoluzione, per quest'ultimo motivo se è presente un esponente di Lyapunov positivo la dinamica diventa imprevedibile poiché l'errore si espande a tal punto da non poter più rintracciare il punto precedente dell'evoluzione; se è negativo le distanze si contraggono. E' detto esponente di Lyapunov massimo, o k-dimensionale con k pari al numero totale di dimensioni dello spazio delle fasi in questione (nel nostro caso 3), la somma degli esponenti di Lyapunov 1-dimensionali; k = lim t V k t 1 ln k t t 0 V t 0 Dove V k t è il volume k-dimensionale all'istante t. Il valore di questo esponente determina la dinamica del sistema: Esponente massimo uguale a 0, dinamica conservativa, i volumi nello spazio delle fasi si conservano: Se è somma di tutti esponenti 1-dimensionali uguali a 0 la dinamica è periodica o

12 quasi-periodica e deterministica, le orbite giacciono su un toro nello spazio delle fasi, se l'orbita è aperiodica il toro viene ricoperto interamente, se l'orbita è periodica si chiude e ne ricopre solo una parte. Se sono presenti delle coppie di esponenti che si annullano vicendevolmente l'orbita diventa stocastica e tende ad occupare densamente un volume nello spazio delle fasi, perpendicolarmente al flusso i volumi vengono stirati lungo alcune direzioni e contratti lungo altre, la forma iniziale può cambiare sostanzialmente, la presenza di esponenti positivi porta all'imprevedibilità. Esponente massimo negativo, sistema dissipativo, i volumi nello spazio delle fasi si contraggono verso un attrattore: Tutti gli esponenti 1-dimensionali sono negativi, tutte le direzioni contraggono, l'attrattore è un punto. Alcuni esponenti sono nulli, gli altri negativi, la dimensione dell'attrattore è pari al numero di esponenti non negativi. C'è almeno un esponente positivo, la dinamica è imprevedibile nonostante la presenza di un attrattore, attrattore strano, dimensione dell'attrattore frazionaria. Nel nostro caso: In assenza di attrito: Quando il campo rotante è nullo le orbite sono periodiche. Finché il campo rotante è piccolo rispetto a quello fisso rimangono visibili alcune strutture toroidali delle orbite quasi periodiche. Quando il campo rotante diventa comparabile con quello fisso la dinamica è completamente caotica e le traiettorie occupano densamente un volume nello spazio delle fasi, anche se rimangono visibili alcuni tratti di orbite. In presenza di attrito: Se il campo rotante è nullo le traiettorie convergono. Se il campo rotante è abbastanza piccolo l'attrattore è un ciclo limite. Tra B R = 0,3 e B R = 0,4 si osserva la comparsa di un comportamento caotico, nasce l'attrattore strano. Con B R 1,0 nascono delle strutture periodiche e si assiste ad una perdita di caoticità.

13 Appendice: dipendenza dalle condizioni iniziali Dalle simulazioni sembra che il valore del campo magnetico rotante che determina la formazione dell'attrattore strano dipenda in qualche maniera dalle coordinate del punto iniziale dello spazio delle fasi che viene fatto evolvere. 0 = 0,1 B R = 0,326 B R = 0,327 B R = 0,328 B R = 0,329 BR 0 = 0,6 = 0,332 B R = 0,333

14 B R = 0,334 B R = 0,335 0 = 1,1 B R = 0,290 B R = 0,291 B R = 0,292 B R = 0,326 In questo caso sembra comparire una sorta di ritorno all'ordine tra B R = 0,327 e B R = 0,332, intervallo in cui le forme delle traiettorie non hanno sostanziali differenze (vedere sotto), poi ritorna il regime strano a B R = 0,333.

15 B R = 0,327 B R = 0,332 B R = 0,333 B R = 0,334 BR 0 = 1,6 = 0,326 B R = 0,327

16 B R = 0,328 BR 0 = 2,1 = 0,324 B R = 0,326 B R = 0,329 B R = 0,325 B R = 0,327

17 BR 0 = 2,6 = 0,314 B R = 0,316 BR 0 = 3,1 = 0,306 B R = 0,315 B R = 0,317 B R = 0,307

18 B R = 0,308 B R = 0,309 0 = 3,6 B R = 0,315 B R = 0,316 B R = 0,317 B R = 0,318

19 BR 0 = 4,1 = 0,332 B R = 0,334 BR 0 = 4,6 = 0,332 B R = 0,333 B R = 0,335 B R = 0,333

20 B R = 0,334 B R = 0,335 0 = 5,1 A questo punto si assiste di nuovo a quelle che sembrano due transizioni consecutive, anche se in un intervallo molto più breve, e, a differenza di prima, sembrano due aumenti di disordine. B R = 0,329 B R = 0,331 B R = 0,332 B R = 0,333

21 B R = 0,334 BR 0 = 5,6 = 0,302 B R = 0,304 B R = 0,335 B R = 0,303 B R = 0,305

22 0 = 6,1 Qui assistiamo di nuovo all'apparente sequenza ordine-disordine-ordine-disordine. B R = 0,308 B R = 0,309 B R = 0,310 B R = 0,321 B R = 0,322 B R = 0,333

23 B R = 0,334 B R = 0,335 Tutte le curve sono state simulate con: 8 dt = 1 10 N iterazioni = = 1 B F = 0,5 = 0,1 0 = 0,0 0 = 0,0 Grafico: In asse orizzontale il valore di partenza di delle traiettorie, in asse verticale la prima apparizione dell'attrattore strano (si ricorda che varia in 0, 2 ). Questa analisi è stata condotto solo fino alla terza cifra decimale del campo rotante.