Sequenze (Sistemi) di Variabili Aleatorie Se consideriamo un numero di variabili aleatorie, generalmente dipendenti si parla equivalentemente di:
|
|
|
- Rebecca Stella
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Sequenze (Sistemi) di Variabili Aleatorie Se consideriamo un numero di variabili aleatorie, generalmente dipendenti si parla equivalentemente di: N-pla o Sequenza di Variabili Aleatorie Sistema di Variabili Aleatorie Vettore Aleatorio Spesso si usa il simbolismo vettoriale per una sequenza (sistema) di variabili aleatorie. 1
2 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Vettori Aleatori colonna e riga 1 N X.. X.. X T 1 N X X X
3 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Funzioni di Distribuzione e Densità N-dimensionali Date N variabili aleatorie X,X,...,X 1 N la Distribuzione Congiunta di esse è data da: F x, x,..., x 1 N P X x, X x,..., X x 1 1 N N 3
4 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Distribuzione e Densità Congiunta Tale funzione, definita per ogni x i tra e è monotona non decrescente con x i ed inoltre: F,..., 1 La derivata della distribuzione rispetto ai suoi argomenti: f x,..., x 1 N N F x,..., x x x... x 1 N 1 N è la Densità Congiunta delle variabili aleatorie X i. 4
5 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Funzioni di Distribuzione e Densità N-dimensionali P X,..., X D 1 N f x,..., x dx dx D 1 N 1 N Saturando rispetto ad alcune variabili l integrale (ponendo pari ad i corrispondenti termini della funzione di distribuzione) si ottiene la densità (distribuzione) congiunta delle rimanenti variabili. 5
6 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Esempio: N 4 F x, x F x,,x, f x, x 1 3 f x,x, x, x dxdx 6
7 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Le variabili aleatorie Variabili Aleatorie Indipendenti indipendenti se gli eventi X ogni i. Allora: X i sono dette (mutuamente) i i x sono indipendenti per pertanto,...,... F x x F x F x 1 N 1 N,...,... f x x f x f x 1 N 1 N 7
8 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Variabili Aleatorie Indipendenti Ogni sottoinsieme di un insieme di variabili aleatorie indipendenti è, a sua volta, un insieme di variabili indipendenti. Se N variabili aleatorie sono indipendenti a coppie, non è detto che esse siano (mutuamente) indipendenti. 8
9 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Trasformazione di Variabili Aleatorie Date X 1,X,...,X N v.a. con densità congiunta le funzioni: f X x 1,x,...,x N Y g X, X,..., X N Y g X, X,..., X 1 N Y g X, X,..., X N N 1 N 9
10 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Trasformazione di Variabili Aleatorie (segue) definiscono le N variabili aleatorie Y,Y,...,Y 1 N la cui densità congiunta si determina risolvendo: g 1 x1, x,..., xn y1 g,,..., x1 x xn y g,,..., N x1 x xn y N 10
11 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Trasformazione di Variabili Aleatorie (segue) Se tale sistema non ha soluzione per alcuni valori di y i, allora per tali valori: f,..., Y y1 yn 0 Se il sistema ammette un'unica soluzione allora: f y,..., y Y 1 N f x,..., x X 1 N J x,..., x 1 N x,..., 1 x N, 11
12 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 dove: J x 1 g1 g1... x1 x N,..., x N gn g N... x1 xn è lo Jacobiano della trasformazione e J indica il valore assoluto del determinate di J x 1,..., x N. 1
13 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Trasformazione di Variabili Aleatorie (segue) Se le soluzioni del sistema sono più di una, si f y,..., y i termini sommano nella espressione Y 1 N corrispondenti, in maniera del tutto analoga ai casi monodimensionali e bidimensionali. 13
14 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 La Matrice di Covarianza La covarianza delle variabili aleatorie X i e X j è: con E X X EX X ij i i j j i j i j i E X i j E X j 14
15 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 La Matrice di Covarianza Nel caso di N variabili aleatorie appartenenti a considerano le N coppie del tipo i j N R, si X,X e si valutano le relative covarianze (matrice N N): M X N 1 N N1 N NN 15
16 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 La Matrice di Covarianza Utilizzando il formalismo dei vettori colonna: X T con il vettore dei valori attesi X, X,...,X 1 N T X 1,,..., N M E X X EX X T T T X X X La matrice di covarianza è simmetrica: T X M = M X 16
17 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana e Retta di Regressione Vettore Gaussiano bidimensionale (N = ): X X 1 X, 1 con 1 e varianze di X 1 e X, che sono correlate secondo un coefficiente di correlazione pari a. Matrice di covarianza vale: M X T 1 1 E X X 1 17
18 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana e Retta di Regressione da cui risulta: -1 M X M X 1 det Applicando la definizione di multivariata reale per N = si ottiene la densità congiunta o Bivariata Gaussiana: 1 1 T f x exp x x X X det M X -1 M 18
19 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana e Retta di Regressione 1 1 x x x x f X x 1,x exp La densità marginale è data da: 1 x 1 1 fx x 1 1 exp 1 1. f x,x 1 1 f X X x 1 x1 exp q X 1 f X x
20 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 con x 11 x11 x x x11 1 q x11 x11 x x Ovvero: q 1 x11 x 1 = 1 1 x x x x f X X x 1 x1 exp 1 1 0
21 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 ovvero una densità gaussiana con valor medio: e varianza: + x1 1 1 che diventa nulla per 1. Pertanto la curva di regressione: EX x x x coincide con la retta di regressione. 1 1
22 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana: 0,, r 0 X Y X Y
23 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana: 0, 4, 1, r 0 X Y X Y 3
24 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana: 0,,, r 0.7 X Y X Y 4
25 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana: 0, 4, 1, r 0.7 X Y X Y 5
26 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana: 0,,, r 0.99 X Y X Y 6
27 Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana: 0, 4, 1, r 0.99 X Y X Y 7
28 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana Rappresentazione mediante Matrice di Covarianza Dato il vettore bidimensionale: ~0,1 ~0,1 0, 0 1, à Si vuole determinare la matrice tale che il vettore: abbia matrice di covarianza assegnata: 1 1 8
29 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana Rappresentazione mediante Matrice di Covarianza Calcolo degli autovalori di : 1 Calcolo degli autovettori di :
30 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana Rappresentazione mediante Matrice di Covarianza Calcolo degli autovettori di : Autovettore associato a 1:
31 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana Rappresentazione mediante Matrice di Covarianza Autovettore associato a 1:
32 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana Rappresentazione mediante Matrice di Covarianza Matrice degli autovettori e degli autovalori: /
33 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana Rappresentazione mediante Matrice di Covarianza, 1 / 1 / 1 1 / 1 33
34 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Bivariata Gaussiana Rappresentazione mediante Matrice di Covarianza
35 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale v.a. Gaussiane indipendenti varianza : La densità congiunta vale:, con media e y f y exp N 1 1 i i Y N/ 1... N i1 i (1) e può essere scritta come l'esponenziale di una forma quadratica: 35
36 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale 1 T 1 f Y y exp y y c () dove è il vettore dei valori medi e 1 N diag,,..., è la matrice di covarianza (diagonale). La costante c è così definita: exp c 1N... N det N 1 N Come trasformare Y per avere X con assegnata M X? (3) 36
37 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale Supponendo i valori attesi di Y nulli, si consideri la seguente trasformazione: X U Y (4) con U matrice invertibile e ortogonale, cioè -1 T U U, -1 *T H (nel campo complesso U U U ). 1 f X x fy y det J yu dove J è lo Jacobiano della trasformazione T x y g x. 37
38 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale Nel caso in esame, essendo U ortogonale, si ha: J U T e det J 1 Pertanto utilizzando il teorema fondamentale con J U T si ha, dalle () e (4): 1 T f X x exp T x -1 T x c U U 1 T exp x -1 T U U x c 38
39 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale -1-1 T Possiamo indicare con A il prodotto U U ; si dimostra di seguito che A =M X. Si ricorda che se A ha autovalori distinti, come qui supponiamo, allora vale la decomposizione spettrale: A =U U dove U è la matrice unitaria le cui colonne sono gli autovettori di A e la matrice diagonale degli autovalori di A. T 39
40 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale Usando la regola A B B A e ricordando che -1 T U U, si ha che l inversa di A ha decomposizione: -1-1 T A =U U -1-1 pertanto se è vero che A =M X ne consegue che: M =U U X T 40
41 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale Si determini ora la matrice di covarianza di X: T T T MX E X X E UY Y U ricordando che T M E YY Y M U E YY U UU X T T T (5) 41
42 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale Inoltre si ha: in quanto U è unitaria. L'espressione della multivariata reale gaussiana diviene: 1 1 T -1 f x exp x x X N 1 M X det M La matrice corrisponde alla matrice diagonale degli autovalori di M X, mentre la matrice U è la matrice ortogonale le cui colonne sono gli autovettori di M X. X 4
43 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Multivariata Gaussiana Reale La trasformazione inversa della (4): T Y U X rende la matrice di covarianza M X in forma diagonale (ovvero trasforma X in un vettore Y di variabili indipendenti). 43
44 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Densità e distribuzioni condizionate La densità condizionata delle variabili aleatorie X n,..., X k+1 assumendo X k = x k,, X 1 = x 1, è pari a: f x,..., x f x n,...,xk1 x k,...,x 1 f x,..., x 1 n 1 k f x,..., x f x x,..., x f x,..., x 1 n n n1 1 n1 1 f x,..., x f x x,..., x... f x x, x f x x f x 1 n n n
45 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Densità e distribuzioni condizionate Per rimuovere variabili situate sulla sinistra o sulla destra della linea di condizionamento esiste la regola seguente. Ad esempio f x, x x 3 1 integrando rispetto a x si ottiene: f x, x, x 1 3 f x 1 1 f x,,,, 1 x3 f x3 x x1 dx f x1 x x3 dx f x f x f x x
46 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 01/13 Densità e distribuzioni condizionate Per rimuovere le variabili a destra della linea di condizionamento, ad esempio supponiamo di voler eliminare x e x 3 da,,,,, f x x x x f x x x f x x x x Integrando ambo i membri rispetto a x e x 3, si ottiene:,,, f x x x x f x x x dx dx f x x si moltiplica per la densità condizionata di tali variabili, assumendo fisse le rimanenti variabili, e poi si integra. 46
Generazione di Numeri Casuali- Parte 2
Esercitazione con generatori di numeri casuali Seconda parte Sommario Trasformazioni di Variabili Aleatorie Trasformazione non lineare: numeri casuali di tipo Lognormale Trasformazioni affini Numeri casuali
RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno 2013 - FILA A
MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 4 giugno 2013 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i
Esercitazioni di statistica
Esercitazioni di statistica Misure di associazione: Indipendenza assoluta e in media Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 22 ottobre 2014 Stefania Spina Esercitazioni
Esercizi su Autovalori e Autovettori
Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizio n.1 5 A = 5, 5 5 5 Esercizio n.6 A =, Esercizio n.2 4 2 9 A = 2 1 8, 4 2 9 Esercizio n.7 6 3 3 A = 6 3 6, 3 3 6 Esercizio n.3 A = 4 6 6 2 2, 6 6 2 Esercizio
METODI MATEMATICI PER LA FISICA
Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della
Algebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24
Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
Autovalori e Autovettori
Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora
Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2
Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di
La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria
La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria La funzione caratteristica Φ densità di probabilità è f + Φ ω = ω di una v.a., la cui x, è definita come: jωx f x e dx E e j ω Φ ω = 1 La Funzione
CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 5
CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 5 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Misura dell associazione tra due caratteri Uno store manager è interessato a studiare la relazione
Informatica Grafica. Un introduzione
Informatica Grafica Un introduzione Rappresentare la Geometria Operabile da metodi di calcolo automatici Grafica Vettoriale Partiamo dalla rappresentazione di un punto... Spazi Vettoriale SPAZI VETTORIALI
ITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio
ITCS Erasmo da Rotterdam Anno Scolastico 014/015 CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA GLI STUDENTI CON IL DEBITO FORMATIVO
metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame 1 Indice
metodi matematici per l ingegneria prove scritte d esame Indice. Novembre 4 - Prova in itinere. Luglio 5.. Febbraio 6 4 4. Giugno 6. 5 5. Luglio 6 6 . Novembre 4 - Prova in itinere Esercizio. Una scatola
1.5. ISTOGRAMMA 17. Figura 1.3: Istogramma ottenuto mediante campionamento da VA Gaussiana (η x =0, σ 2 X =1).
.5. ISTOGRAMMA 7.5 Istogramma A partire dalle considerazioni svolte nel paragrafo precedente, posto x m = min(x,,x N e x M = max(x,,x N, possiamo ottenere una stima della densità di probabilità p (x suddividendo
(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE
2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta 16.02.2006
Prova scritta 16.02.2006 D. 1 Si derivi l espressione dei legami ingresso-uscita, nel dominio del tempo per le funzioni di correlazione nel caso di sistemi LTI e di segnali d ingresso SSL. Si utilizzi
Misura e integrazione Formulario
Misura e integrazione Formulario Integrale su rettangolo 1. 2. Teorema di riduzione per un rettangolo (Fubini) Per passare dal rettangolo ad un qualsiasi dominio si definisce una nuova funzione. Integrale
Elenco dettagliato degli argomenti da preparare per l esame
Università dell Insubria Facoltà di Giurisprudenza A.A. 007-08 Corso di Economia politica Prof. E. Bellino PROGRAMMA DEL CORSO SVOLTO NELL A.A. 007-08 Libro di testo adottato: Terenzio Cozzi Stefano Zamagni,
CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA
COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno
2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015
Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.
4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13
ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da
1 Integrali su una curva regolare Sia C R N una curva regolare, ossia: (1) C é l immagine di una funzione P (t) definita in un intervallo [a, b] (qui preso chiuso e limitato), tipicamente chiuso e limitato,
CAPITOLO IV RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI COL METODO DEI DETERMINANTI
CAPITOLO IV RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI COL METODO DEI DETERMINANTI 1. REGOLA DI CRAMER Sia S un sistema lineare di n ( 2) equazioni in n incognite su un campo K : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n
Funzioni e loro invertibilità
Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici
Parte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
Lezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo
FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame
CIRCUITI INTELLIGENTI Parte 5: PCA e ICA
Ing. Simone SCARDAPANE Circuiti e Algoritmi per l Elaborazione dei Segnali Anno Accademico 2012/2013 Indice della Lezione 1. Analisi delle Componenti Principali 2. Auto-Associatori 3. Analisi delle Componenti
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21
Contenuto Integrali doppi. Teorema di Fubini Cambio di variabili: coordinate polari. Cambio di variabili: caso generale. Coordinate sferiche. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli.
Statistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Esercizio 1 (stima puntuale) In un processo di controllo di qualità, siamo interessati al numero mensile di guasti
Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).
Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità
Esercizi del Corso di Statistica. Parte I - Variabili Aleatorie Continue
Esercizi del Corso di Statistica Parte I - Variabili Aleatorie Continue 1. Costruire la variabile uniforme U sull intervallo [a, b], con a IR e b IR. 2. Sia X una variabile aleatoria tale che: 0 x < 1
Analisi della varianza
1. 2. univariata ad un solo fattore tra i soggetti (between subjects) 3. univariata: disegni fattoriali 4. univariata entro i soggetti (within subjects) 5. : disegni fattoriali «misti» L analisi della
8 - Analisi della deformazione
8 - Analisi della deformazione ü [A.a. - : ultima revisione 6 ottobre ] Esercizio n. Si supponga di voler conoscere sperimentalmente lo stato di deformazione in un punto M di un solido. A tal fine, si
Metodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 2012/2013 12 febbraio 2013
Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 212/213 12 febbraio 213 1. Disegnare il grafico della funzione: [1
Esercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)
Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti
Le catene di Markov come metodologia utilizzata dai motori di ricerca per classificare le pagine web su internet.
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli Dottorato di Ricerca in Statistica e Finanza Quantitativa - XXI Ciclo Sergio Salvino
Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:
Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura
Esercitazioni 2013/14
Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta
Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
Ripasso di Calcolo Scientifico: Giulio Del Corso
Ripasso di Calcolo Scientifico: Giulio Del Corso Queste dispense sono tratte dalle lezioni del Prof. Gemignani e del Prof. Bini del corso di Calcolo Scientifico (2014/2015) dell università di Pisa. Non
Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007
Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari
Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli
Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli 09- Integrale doppio: Riferimenti: R.Adams, Calcolo ifferenziale 2. Capitoli 5.1, 5.2, 5.4. Esercizi 5.3, 5.4 Integrale
Funzione reale di variabile reale
Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A
Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.
CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1
4. Matrici e Minimi Quadrati
& C. Di Natale: Matrici e sistemi di equazioni di lineari Formulazione matriciale del metodo dei minimi quadrati Regressione polinomiale Regressione non lineare Cross-validazione e overfitting Regressione
MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE
MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE La distanza focale f di una lente convergente sottile è data dalla formula: da cui 1 f = 1 p + 1 q f = pq p + q dove p e q sono, rispettivamente, le
COEFFICIENTI BINOMIALI
COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente
Esempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
FUNZIONI CONVESSE. + e x 0
FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )
LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE
LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali
Capitolo 2. Algebra Lineare numerica 79. a ij x i x j
Capitolo 2. Algebra Lineare numerica 79 Se c 0 e c sono nulli, allora la funzione q (x) = x Ax = n i=1 j=1 n a ij x i x j è detta comunemente forma quadratica (omogenea) ed è omogenea di grado 2. 3 A partire
Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine
Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare
TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2,
Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA 1 1 1 A = 1 0 1. 3 0 1. Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R).
POLITECNICO di BARI - A.A. 2012/2013 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione
POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione Problema Sia f :[0, +[! R una funzione continua. La funzione composta g() =f(kk) è c o n t i n u a? Problema
1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli
1. Richiami di Statistica Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli Dati: Fonti e Tipi I dati sperimentali sono provenienti da un contesto delimitato, definito per rispettare le caratteristiche
p k q n k = p n (k) = n 12 = 1 = 12 1 12 11 10 9 1 0,1208. q = 1 2 e si ha: p 12 (8) = 12 8 4
CAPITOLO QUARTO DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) Molti degli esempi che abbiamo presentato nei capitoli precedenti possono essere pensati come casi particolari di uno schema generale di prove ripetute,
Integrali doppi - Esercizi svolti
Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y
ANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE
ANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE Algebra lineare numerica 121 Ax = b A, b affetti dall errore di round-off si risolve sempre un sistema perturbato: con (A + A)(x + x) = b + b A = ( a i,j
APPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
09 - Funzioni reali di due variabili reali
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014
ANALISI DEI DATI PER IL MARKETING 2014
ANALISI DEI DATI PER IL MARKETING 2014 Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it RIPASSO SULLE MATRICI 1 Addizione tra matrici Moltiplicazione Matrice diagonale Matrice identità Matrice trasposta
Valori caratteristici di distribuzioni
Capitolo 3 Valori caratteristici di distribuzioni 3. Valori attesi di variabili e vettori aleatori In molti casi è possibile descrivere adeguatamente una distribuzione di probabilità con pochi valori di
Condizionamento del problema
Condizionamento del problema x 1 + 2x 2 = 3.499x 1 + 1.001x 2 = 1.5 La soluzione esatta è x = (1, 1) T. Perturbando la matrice dei coefficienti o il termine noto: x 1 + 2x 2 = 3.5x 1 + 1.002x 2 = 1.5 x
Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti
Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con
MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010
elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre
Richiami di algebra lineare e geometria di R n
Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore
Parte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :
Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:
Le funzioni reali di variabile reale
Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un
Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214]
![Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214]](/thumbs/27/10697519.jpg "Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214]")
Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica Calcolo 2 [40214] Attività didattica: Attività didattica [codice] Corso di studio Facoltà Calcolo 2 [40214] Ingegneria delle
1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:
Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi
MATRICI E DETERMINANTI
MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe
FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello
FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di
2 Argomenti introduttivi e generali
1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti
0.6 Filtro di smoothing Gaussiano
2 Figura 7: Filtro trapezoidale passa basso. In questo filtro l rappresenta la frequenza di taglio ed l, l rappresenta un intervallo della frequenza con variazione lineare di H, utile ad evitare le brusche
x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1
Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria R. Vitolo Dipartimento di Matematica Università di Lecce SaLUG! - Salento Linux User Group Il programma OCTAVE per l
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
Matematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B
Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio
SESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE
SESSIONE ORDINARIA 007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE PROBLEMA Si consideri la funzione f definita da f ( x) x, il cui grafico è la parabola.. Si trovi il luogo geometrico dei
Misura e Valutazione del A. Rischio
- 7 Teoria della Finanza Aziendale Prof. Arturo Capasso A.A. 007-008 Misura e Valutazione del A. Rischio - Argomenti Il rischio Il rischio negli investimenti finanziari La misurazione del rischio Varianza
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).
Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza
SciPy. Programmazione Orientata agli Oggetti e Scripting in Python
SciPy Programmazione Orientata agli Oggetti e Scripting in Python SciPy: Informazioni di Base Libreria di algoritmi e strumenti matematici Fornisce: moduli per l'ottimizzazione, per l'algebra lineare,
4. Operazioni binarie, gruppi e campi.
1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in