COMUNICAZIONI ELETTRICHE

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1 COMUNICAZIONI ELERICHE Diploma Universitario Ingegneria Elettronica - Ingegneria Inormatica ESERCIZIO : Si consideri il sistema mostrato in igura. Il iltro ha risposta in requenza H() = j segn (), dove la unzione segn () risulta essere deinita come { se 0 segn () = se < 0. Ponendo in ingresso al sistema il segnale x(t) il cui spettro è mostrato in igura, si determini lo spettro del segnale y(t). cos(π 0 t) X() x(t) y(t) H() B B sen (π 0 t) SOLUZIONE ESERCIZIO : Dallo schema a blocchi di igura possiamo ricavare l espressione analitica del segnale y(t): y(t) = x(t) cos(π 0 t) + [x(t) h(t)] sen (π 0 t). Passando nel dominio della requenza, otteniamo Y () = [X( 0) + X( + 0 )]+ j [X( 0)H( 0 ) X( + 0 )H( + 0 )] Poichè, all uscita del iltro H() abbiamo un segnale con trasormata di Fourier come indicato in igura

2 X()H() j B B j siamo quindi in grado di disegnare le risposte in requenza delle due parentesi quadrate con cui abbiamo scritto il segnale y(t). Inatti dalla prima ricaviamo [X( 0) + X( + 0 )] / 0 B B 0 B B mentre dalla seconda ricaviamo j [X( 0)H( 0 ) X( + 0 )H( + 0 )] / 0 B B 0 B B / Sommando inine i due termini otteniamo lo spettro di igura, dal quale si deduce che lo schema a blocchi presentato eettua una modulazione SSB-LB.

3 Y () B 0 B 0 ESERCIZIO : Un segnale PAM ha espressione s(t) = i=0 a ip(t i ). I simboli a i, equiprobabili ed indipendenti, appartengono all alabeto {±}, mentre l impulso p(t) ha trasormata di Fourier P () = sinc( )e jπ/, con = s. Si determini la densità spettrale di potenza s(t) e se ne disegni il graico. Il segnale è trasmesso su un canale che introduce rumore additivo gaussiano bianco con densità spettrale di potenza N 0 /, con N 0 = 0 5 V /Hz. In ricezione si utilizza lo schema mostrato in igura, in cui DEC è un decisore a soglia con soglia zero. Si determini la probabilità d errore di tale sistema. p(t ) (k+) r(t) ( ) dt DEC â k SOLUZIONE ESERCIZIO : Per poter ricavare l espressione analitica della densità spettrale di potenza di s(t), occorre per prima cosa individuare la sequenza di autocorrelazione della sequenza di inormazione a i. In particolare essa risulta uguale a { σ R a (n) = a + m a se n = 0 σa se n 0. Calcoliamo quindi il valor medio e la varianza di tale sequenza: abbiamo che il valor medio risulta essere dato da m a = E{ai } = a i P (a i ) = = 0 i mentre la varianza risulta essere σ a = E{a i } E {a i } = i 3 a i P (a i ) = + =.

4 Dalla teoria sappiamo che un segnale modulato PAM ha uno spettro di potenza dato dalla espressione G() = σ a P () + ( ma ) + k= P ( ) k ( δ k ). Poichè i simboli di inormazione sono a media nulla, nello spettro di potenza non compaiono delle righe, per cui otteniamo il cui graico è riportato in igura. G s () = σ a P (), 0 All uscita del blocco integratore otteniamo una versione discretizzata del segnale ricevuto. Inatti si ha dove Possiamo quindi scrivere y k = (k+) y k = (k+) r(t) = s(t) + w(t) = r(t)p(t ) dt a i p(t i ) + w(t). i=0 (k+) a k p(t ) p(t ) dt + w(t)p(t ) dt = x k + n k 4

5 Possiamo, a questo punto, are alcune osservazioni. Il rumore gaussiano bianco additivo risulta essere iltrato dalla risposta all impulso dell integratore a inestra mobile. Calcoliamo perciò la sua potenza: { (k+) } (k+) σn = E{n k } = E w(t)p(t ) dt w(α)p(α ) dα = (k+) (k+) = N 0 = N 0 (k+) (k+) (k+) E {w(t)w(α)} p(t ) p(α ) dt dα }{{} Autocorrelazione di w(t) p (α ) dα. p(t ) p(α )δ(t α) dt dα Occorre quindi avere nota l espressione analitica dell impulso ormante p(t) e poi eettuare l operazione di integrazione. In igura è quindi riportato l andamento, nel tempo, dell impulso p(t). p(t) t Possiamo quindi calcolare la potenza di rumore: σ n = N 0. Possiamo inoltre osservare come l impulso ormante non introduca intererenza intersimbolica, in quanto a durata inita e pari all intervallo di segnalazione. Calcoliamo inine la probabilità d errore P e : abbiamo P e = P {y k > 0 a k = }P {a k = } + P {y k < 0 a k = +}P {a k = +} = P { + n k > 0 a k = } + P { + n k < 0 a k = } + 0 = p n (α + ) dα + p n (α ) dα 0 ( ) = Q = Q = Q(3). σ n N 0 5

6 ESERCIZIO 3: Un segnale PAM ha espressione x(t) = k=0 a kp(t ). I simboli a k, equiprobabili ed indipendenti, appartengono all alabeto {±}, mentre l impulso p(t) ha trasormata di Fourier a radice di coseno rialzato, con roll-o uguale a 0.5 e con intervallo di segnalazione = s. Si vuole trasmettere il segnale su un canale aetto da rumore Gaussiano bianco additivo, con densità spettrale di potenza N 0 /, con N 0 = 0 6 V /Hz. Ipotizzando inine che il canale di trasmissione abbia unzione di traserimento pari a H() = { + 0.3e jπ se 0 altrim. al ine di ridurre il più possibile l intererenza intersimbolica introdotta, dimensionare un equalizzatore a 3 prese. Calcolare la potenza del rumore termico all uscita di tale iltro. SOLUZIONE ESERCIZIO 3: La risposta in requenza del canale risulta essere perció H() = + 0.3e jπ da cui è possibile ricavare la risposta all impulso del canale h(t) = δ(t) + 0.3δ(t ). Come stadio di ricezione, consideriamo un ricevitore a iltro adattato all impulso di tipo a radice di coseno rialzato e campionatore a requenza di simbolo. L impulso g(t) all uscita del iltro di ricezione avrà spettro del tipo e quindi l impulso g(t) risulterà essere G() = P ()[ + 0.3e jπ ] g(t) = p CR (t) + 0.3p CR (t ) dove con p CR (t) si è indicato l impulso complessivo a coseno rialzato: supponiamo inoltre che p CR (0) =. All uscita del campionatore a intervalli t = otteniamo l impulso discreto g k = g(t = ) = p CR ( ) + 0.3p CR [(k ) ] per cui il segnale su cui eettuare la decisione risulta essere r k = a k + 0.3a k. Dimensioniamo quindi un equalizzatore a 3 prese. dell equalizzatore può essere espresso come L impulso q(t) all uscita q(t) = c 0 g(t) + c g(t ) + c g(t ) 6

7 dove c 0, c, c sono i coeicienti delle prese dell equalizzatore. Abbiamo quindi q( ) = c 0 g( ) + c g[(k ) ] + c g[(k ) ] = c 0 [δ k + 0.3δ k ] + c [δ k + 0.3δ k ] + c [δ k + 0.3δ k 3 ]. () Imponendo le condizioni dalla () si ottiene il sistema q(0) = 0 q() = q() = 0 c 0 = 0 c c = c c = 0 la cui risoluzione porta ad avere c 0 = 0 c = c = 0.3. Calcoliamo inine la potenza del rumore termico in uscita dall equalizzatore. Abbiamo che il rumore termico n ( ) dopo l equalizzatore può essere espresso in unzione del rumore n( ) prima di tale equalizzatore n ( ) = c 0 n( ) + c n[(k ) ] + c n[(k ) ]. Poiché l autocorrelazione del processo n( ) risulta essere il campionamento di quella del processo tempo continuo n(t) abbiamo R n (τ) = N 0 δ(τ) p(τ) p( τ) = N 0 g CR(τ) da cui è possibile calcolare la varianza σ del processo n ( ) che, essendo a media nulla, coincide con il valore quadratico medio. Ricordando inine che i campioni n( ) del processo di rumore a tempo continuo n(t) sono indipendenti (perchè?), abbiamo σ = E{n ( )} = E{[c 0 n( ) + c n[(k ) ] + c n[(k ) ]] } = (c 0 + c + c ) N 0 =.09N 0. 7