Capitolo 1 - Campionamento (I)

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1 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali apitolo - ampionamento (I) Introduzione... deinizione di campionamento... segnale campionato...3 eorema del campionamento...5 Formula di ricostruzione...8 Errore di aliasing...9 enni al progetto del iltro analogico anti-aliasing... 3 Esempio di campionamento ideale... 4 ampionamento di una sinusoide... 6 ampionamento di un segnale generico... Filtri di ricostruzione... aso particolare: unzione PLO del Matlab... 4 Osservazione... 3 raslazione nel tempo del pettine di campionamento... 3 Possibilità di sottocampionamento ed applicazioni Esercizio Osservazione: possibilità di non usare il campionatore Eetti della non-idealità del campionatore INRODUZIONE Il processo di campionamento di un segnale analogico variabile nel tempo riveste una grossa importanza nella maggior parte dei sistemi elettronici: esso inatti consente il passaggio dal dominio del continuo al dominio del discreto, ossia quindi la conversione dei segnali da analogico in digitale. Le conversioni digitaleanalogico (D A) e analogico-digitale (A D) consentono dunque il collegamento ondamentale tra il mondo delle quantità analogiche ed il mondo dei segnali digitali (o segnali numerici): i cosiddetti DA (acronimo di Digital Analog onverter) sono dispositivi aventi lo scopo di ricostruire un segnale analogico in uscita da un dispositivo digitale dopo, per esempio, una elaborazione o dopo l immagazzinamento in una memoria numerica o semplicemente dopo una trasmissione in orma digitale; invece, gli AD (acronimo di Analog Digital onverter) sono dispositivi che convertono il segnale analogico in ingresso ad un dispositivo nella sua equivalente orma digitale. Nei moderni sistemi digitali è spesso necessario collegare componenti o parti che possono essere lontane tra loro. Questa tendenza è avorita dal atto che i segnali digitali sono meno soggetti, rispetto a quelli analogici, all inluenza dei disturbi e del rumore. Nonostante questo, però, è importante sottolineare che, volendo trasmettere un segnale digitale, è necessario utilizzare linee di trasmissione progettate ad hoc, in

2 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo modo da evitare una degradazione del contenuto inormativo contenuto nel segnale stesso: inatti, i segnali digitali hanno spesso dei tempi di trasmissione estremamente piccoli (dell ordine dei nanosecondi), per cui richiedono delle linee in grado di trasmettere segnali ad elevata requenza. DEFINIZIONE DI AMPIONAMENO La ase iniziale e spesso più critica dell elaborazione digitale di un segnale analogico è quella del campionamento: esso consiste semplicemente nella trasormazione di un segnale continuo nel tempo in un segnale discreto ad esso equivalente. Lo scopo è quello di dare di una unzione s(t) continua nel tempo una descrizione in termini dei valori che essa assume in istanti equidistanti tra loro. e questa operazione non è eseguita correttamente, tenendo presenti le caratteristiche spettrali del segnale tempo-continuo in esame, si ottengono dei risultati errati, in quanto il contenuto inormativo del segnale campionato risulta diverso da quello del segnale di partenza, per cui l inormazione posseduta da quest ultimo non può essere più ricostruita edelmente. onsideriamo dunque un segnale s(t) continuo nel tempo: s(t) t Figura - Generico segnale analogico da campionare. L origine dei tempi è ovviamente del tutto arbitraria ampionare s(t) signiica considerare i valori che esso assume per valori discreti di t, che siano multipli interi di una quantità issa. Dobbiamo dunque scegliere un valore (reale positivo) e valutare i valori che s(t) assume negli istanti di campionamento, ossia negli istanti t n con n-,..., -, -,,,,.... s(t) t Figura - Indicazione degli istanti di campionamento, equispaziati nel tempo di

3 ampionamento (parte I) La quantità prende il nome di periodo di campionamento: esso rappresenta chiaramente l intervallo di tempo che intercorre tra due misure successive del valore di s(t), cioè tra due campioni successivi. L inverso di, ossia /, è la requenza di campionamento e rappresenta il numero di valori di s(t) che si valutano nell unità di tempo, cioè il numero di campioni nell unità di tempo. Quanto più piccolo è, tanto maggiore è e quindi tanti più campioni possiamo raccogliere nell unità di tempo. EGNALE AMPIONAO i proponiamo adesso di veriicare se possiamo ottenere l andamento esatto, cioè l andamento continuo nel tempo, del segnale s(t) a partire solo dalla conoscenza dei suoi campioni. Vedremo perciò come è possibile are questo e sotto quali ipotesi il risultato inale risulta valido. Intanto, è ovvio che l insieme dei valori di s(n ) che otteniamo negli istanti tn, cioè i cosiddetti campioni del segnale in esame, costituiscono il cosiddetto segnale discreto equivalente al segnale continuo s(t): lo possiamo dunque indicare con la notazione s(n ). Prende invece il nome di segnale campionato di s(t) il segnale che si ottiene mediante la ormula s (t) s(n ) (t n ) n Al contrario del segnale discreto, il segnale campionato è dunque un segnale ONINUO nel tempo, costituito da una successione di impulsi, ciascuno traslato di una quantità n rispetto all origine e di area pari al valore del corrispondente campione s(n ). Questo segnale campionato ha ovviamente la particolarità di assumere, in ogni istante, il valore che ivi assume s(t). Andiamo ora a determinare lo spettro del segnale campionato s (t). Intanto, possiamo manipolare ulteriormente l espressione di questo segnale: inatti, considerando che il prodotto s(n )(t-n ) ha senso solo per tn, mentre vale altrove, possiamo porre proprio tn, in modo da ottenere s (t) s(n ) (t n ) s(t) (t n ) s(t) (t n ) n n n La sommatoria di impulsi per cui s(t) viene moltiplicato in questa ormula prende il nome di pettine di campionamento. A partire da questa espressione, calcoliamo (), la quale sarà evidentemente pari alla trasormata del secondo membro; questo secondo membro è costituito da un prodotto: ricordando allora che un prodotto nel dominio del tempo equivale ad una convoluzione nel dominio della requenza (proprietà di convoluzione in requenza della trasormata di Fourier), possiamo scrivere che ( ) ( ) * Fourier (t n n ) Il segnale n g (t) (t n ) è una successione di impulsi di area unitaria, ossia un segnale periodico, dove il periodo è pari proprio al periodo di campionamento : ricordando allora come si 3

4 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo calcola la trasormata di Fourier di un segnale periodico, possiamo scrivere che la trasormata di g(t) ha espressione G( ) n i tratta di una ulteriore successione di impulsi. In altre parole, il pettine di impulsi di campionamento è rappresentabile, spettralmente, con la sovrapposizione di sinusoidi complesse di requenza / e multipli, tutte di ampiezza / : p(t) n 3 t P() - - Figura 3 - Pettine di campionamento nel tempo, p(t), e corrispondente spettro a righe, P() Andando a sostituire nella espressione di () otteniamo ( ) ( )* ( )* n n n A questo punto, ci ricordiamo che la convoluzione tra un qualsiasi segnale e l impulso traslato è pari al segnale stesso calcolato nel punto in cui è applicato l impulso, per cui concludiamo che lo spettro del segnale campionato è ( ) n ome è atto questo spettro? Dato che la unzione () è proprio lo spettro del nostro segnale s(t) di partenza, deduciamo che () consiste in una successione di repliche, a meno del attore costante /, dello spettro di s(t), ciascuna n n Ricordiamo che la trasormata di un segnale periodico è sempre una successione di impulsi. La particolarità, quindi, in questo caso sta nel atto che anche il segnale di cui calcoliamo la trasormata è una successione di impulsi. In pratica, la convoluzione tra una unzione ed un impulso centrato in un certo istante τ produce una semplice traslazione della unzione a cavallo dell impulso 4

5 ampionamento (parte I) traslata rispetto all origine di una quantità pari ad un multiplo della requenza di campionamento / : inatti, andando a sviluppare parzialmente quella sommatoria, troviamo evidentemente che ().. i tratta dunque di un segnale periodico di periodo /. upponiamo, ad esempio, che lo spettro di s(t) sia del tipo seguente: () ( ) B B Figura 4 - pettro di un segnale passa-basso di banda monolatera B (e quindi banda bilatera B) Lo spettro del segnale campionato sarà allora del tipo seguente: () - B - -B Figura 5 - pettro del segnale campionato per il segnale di igura 4. Gli impulsi posizionati sulla requenza e sui suoi multipli rappresentano lo spettro del pettine di campionamento, indicato al ine di evidenziare l eetto della convoluzione: () viene collocato a cavallo di ciascun impulso di campionamento (in requenza). In igura sono indicate solo le repliche a cavallo della requenza, di ± e di ±,, ma sono da considerarsi anche le repliche a cavallo degli ininiti altri multipli della requenza di campionamento EOREMA DEL AMPIONAMENO Fino ad ora, abbiamo dunque ottenuto quanto segue: una volta noti i campioni del segnale tempocontinuo s(t) di partenza, abbiamo costruito il corrispondente segnale campionato s (t) e abbiamo trovato che il suo spettro () è costituito da una successione di ininite repliche (a meno del termine / ) dello spettro di s(t). Allora, è evidente che, se riusciamo ad isolare, a partire da queste ininite repliche, quella centrata nell origine, avremo ottenuto proprio lo spettro di s(t), che è quello che ci interessa ottenere in ase di ricostruzione. i pongono allora due domande: come è possibile isolare lo spettro di s(t) a partire dallo spettro di s (t) e, in secondo luogo, quando è possibile ar questo? 5

6 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo La risposta alla prima domanda è nota: basta inatti moltiplicare () per un rettangolo opportuno 3, tale cioè che azzeri tutte le altre repliche mentre lasci più o meno invariata quella centrale. La risposta alla seconda domanda discende a sua volta da quanto appena detto: inatti, è ovvio che noi possiamo isolare (), cioè la replica centrale, solo a condizione che essa non sia sovrapposta alle altre repliche. Inatti, è chiaro che se () è quello nella igura 5, noi siamo in grado di trovare valori -w,w tali che il rettangolo avente per estremi tali valori racchiuda solo la replica centrale mentre non racchiuda le altre. Al contrario, se () osse del tipo () - - Figura 6 - pettro del segnale campionato (rutto del campionamento del segnale di igura 4) in caso di sovrapposizione spettrale. Anche in questo caso non sono state indicate (ma sono presenti) le repliche spettrali posizionate sugli altri multipli di. è chiaro che noi non potremo mai trovare un intervallo di requenza che racchiuda solo la replica centrale. Questo ci consente dunque di dire che la condizione necessaria perché sia possibile ricostruire il segnale s(t) a partire dai suoi campioni è che le repliche di () che costituiscono () non si sovrappongano reciprocamente. Vediamo allora cosa deve succedere ainché non ci sia la sovrapposizione delle repliche. E subito evidente che la posizione delle repliche dipende strettamente dal valore della requenza di campionamento : allora, indicato con [-B,B], dove B è la banda di (), l intervallo (simmetrico rispetto all origine) che racchiude la replica centrale, è evidente che, ainché non si abbia la sovrapposizione delle repliche, deve essere B () - B - -B Figura 7 - pettro del segnale campionato (rutto del campionamento del segnale di igura 4) in assenza di sovrapposizione spettrale 3 In generale, come avremo modo di osservare più avanti, si tratta di iltrare il segnale campionato mediante un iltro passa-basso; a livello puramente teorico, quello che serve è un iltro ideale, mentre sappiamo bene che, nella pratica, i iltri ideali non esistono e quindi bisogna prendere le opportune precauzioni. 6

7 ampionamento (parte I) La condizione B prende il nome di condizione di Nyquist e sintetizza il cosiddetto teorema del campionamento: eorema - Un segnale analogico passa-basso, di banda B, può essere completamente rappresentato da un sequenza di campioni regolarmente spaziati, ottenuti con una requenza di campionamento non ineriore a B Il valore limite è ovviamente B, nel quale caso avremmo () atto nel modo seguente: () - B - -B Figura 8 - egnale campionato ottenuto ai limiti del teorema di campionamento, ossia prendendo B, ossia anche B / (cioè banda del segnale pari alla requenza di Nyquist) E ovvio che la condizione di Nyquist non ha senso quando B, ossia quando lo spettro di s(t) NON è a banda limitata 4 : inatti, se B, tale spettro si estende da - e ed è quindi inevitabile che le repliche, a prescindere dal valore della requenza di campionamento, si sovrappongano. Per esempio, non sarà mai possibile ricostruire un segnale s(t) il cui spettro sia una unzione periodica. eoricamente, un qualsiasi segnale di durata limitata, e quindi di banda ininita, sarebbe campionabile. Questo, però, renderebbe del tutto inutile, ai ini pratici, il campionamento, in quanto, nella realtà, noi abbiamo sempre a che are con segnali di durata temporale limitata. Questo aspetto sarà comunque discusso in seguito. Quindi, la seconda ed ultima condizione per poter ricostruire s(t) a partire dai suoi campioni è che lo spettro di s(t) sia a banda limitata. otto, dunque, le due condizioni esaminate, possiamo arrivare alla espressione di s(t) a partire dai valori dei suoi campioni: acciamo osservare che questa espressione non è approssimata, ma è esatta (almeno a livello teorico). i sono adesso alcune deinizioni importanti da considerare: in primo luogo, la requenza pari alla metà della requenza di campionamento prende il nome di requenza di Nyquist; inine, si deinisce durata del campionamento (o anche inestra di osservazione) il tempo totale durante il quale si eettua il campionamento del segnale continuo considerato. Idealmente, la inestra di osservazione dovrebbe essere ininita, ma, praticamente, non potrà che essere inita. 4 Ricordiamo la deinizione rigorosa di segnale a banda limitata: si tratta di un segnale il cui spettro presenta ampiezza nulla in tutto il campo eccetto una banda ben deinita. egnali a banda limitata possono derivare da un processo di iltraggio oppure dalle limitazioni in banda imposte da sensori, ampliicatori o altri componenti del sistema 7

8 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo FORMULA DI RIORUZIONE Ritornando adesso all aspetto matematico della questione, abbiamo detto che, per isolare () a partire da (), basta moltiplicare quest ultima unzione per un opportuno rettangolo: vediamo allora quali devono essere le caratteristiche di questo rettangolo. In primo luogo, ricordando che l espressione dello spettro del segnale campionato è ( ) n n è chiaro che le repliche di () di cui è composto sono a meno del attore /. Di conseguenza, se il rettangolo ha altezza pari proprio a, siamo certi che il suo prodotto per () dà la replica con il corretto attore di scala. In secondo luogo è importante la banda del rettangolo (che indichiamo con D), la quale deve essere tale da conservare la replica cui siamo interessati e da azzerare tutte le altre. Il minimo valore, per quanto detto, è pari alla banda B del segnale s(t) di partenza, mentre il massimo valore dipende dalla posizione della replica spettrale immediatamente adiacente e quindi dalla requenza di campionamento. La banda del rettangolo prende il nome di requenza di carico del iltro. Vediamo inine come si arriva, da un punto di vista matematico, al segnale s(t) a partire dallo spettro del suo segnale campionato: abbiamo detto che la prima cosa è la moltiplicazione per un opportuno rettangolo, al ine di ottenere proprio lo spettro di s(t). Detto r () l esito del prodotto, abbiamo dunque che r ( ) ( ) rect D A meno di intererenze, r () è dunque esattamente lo spettro di s(t) (il pedice r sta per ricostruito ). on una operazione di antitrasormazione di Fourier, arriviamo all espressione di s r (t): dato che abbiamo un prodotto nel dominio della requenza, otterremo una convoluzione nel dominio del tempo, per cui s r (t) Fourier [ ( )]*Fourier rect D L antitrasormata di () è il segnale campionato, per cui s r (t) n s(n ) (t n ) *Fourier rect D L antitrasormata di un rettangolo di altezza e base D è invece D sinc(dt), per cui s r (t) n n D s(n s(n ) (t n ) * [ Dsinc(Dt) ] [ s(n ) (t n )]*[ Dsinc(Dt) ] [( (t n ))*( sinc(dt) )] D s(n )( sinc( D(t n ))) ) n n 8

9 ampionamento (parte I) In conclusione, la ormula di ricostruzione del segnale s(t) è la seguente: s ( D(t n ) r (t) D s(n )sinc ) n E ovvio che, avendo a che are con una serie di ininiti termini, questa ormula di ricostruzione è ideale, ossia non è realizzabile nella pratica. uttavia, essa serve per mostrare che eettivamente la ricostruzione di s(t) a partire dai campioni è teoricamente possibile senza che venga eettuata alcuna approssimazione, cioè senza alcuna perdita di inormazioni. Prima di proseguire, vediamo che cosa succede nel caso particolare in cui decidiamo di prendere la requenza di campionamento esattamente uguale al doppio della banda B dello spettro (), ossia B. Questo implica, come già osservato, che lo spettro del segnale campionato sia costituito da repliche di () perettamente adiacenti tra di loro: () - B - -B Figura 9 - egnale campionato ottenuto ai limiti del teorema di campionamento, ossia prendendo B, ossia anche B / (cioè banda del segnale pari alla requenza di Nyquist) e quindi anche che la requenza di carico del iltro sia DB, ossia pari alla banda dello spettro di s(t). Mettendo insieme queste due relazioni, si trova ovviamente che D B In base a questa relazione, la requenza di carico del iltro risulta essere la metà della requenza di campionamento, ossia è pari alla requenza di Nyquist. In queste condizioni, la ormula di ricostruzione si riduce a s ( (t n ) r (t) s(n )sinc ) n ERRORE DI ALIAING Il campionamento può ar incorrere in due errori: l errore di aliasing e l errore di troncamento. In questo paragrao ci occupiamo del primo, rimandando a dopo le considerazioni sull errore di troncamento. L errore di aliasing si ha quando lo spettro del segnale campionato presenta una parziale sovrapposizione delle varie repliche di () che lo compongono. In base a quanto visto prima, 9

10 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo l aliasing si veriica solo quando non viene rispettato il teorema di campionamento, ossia quando si campiona ad una requenza ineriore al doppio della banda del segnale, ossia quando la requenza di Nyquist / è ineriore alla massima requenza contenuta nel segnale s(t) che si sta campionando. upponiamo, ad esempio, di voler campionare un segnale analogico avente il seguente spettro: i osserva che l armonica di massima requenza di tale segnale analogico è alla requenza M. e allora campioniamo ad una requenza superiore a M, lo spettro del segnale campionato risulta essere il seguente: Le repliche spettrali sono separate e quindi quella centrale si può isolare mediante un opportuno iltro passa-basso. Al contrario, se campioniamo ad una requenza ineriore a M, lo spettro del segnale campionato risulta essere il seguente: i veriica dunque la parziale sovrapposizione delle repliche. onsideriamo, in particolare, la replica centrale, che è quella che noi vorremmo isolare per ricostruire il segnale analogico di partenza: l errore di aliasing consiste evidentemente nella sovrapposizione delle requenze più elevate (comprese tra - M ed M ) con le requenze ineriori a /. In particolare, si ha una rotazione di 8, rispetto alla requenza /, delle requenze superiori a / stessa. Il risultato è la nascita di componenti a requenze alse, le quali requenze si ottengono acilmente dalla dierenza tra la requenza di campionamento e le requenze comprese tra / e M. Nel caso in cui queste requenze alse si sovrappongano a requenze già esistenti nello spettro del segnale analogico s(t), si ha il cosiddetto enomeno dell intererenza armonica. Facciamo un esempio numerico per capire bene questi ultimi concetti. upponiamo di voler campionare un segnale sinusoidale s(t) di requenza 5 Hz: sarà dunque un segnale del tipo (t) A cos π t, dove ovviamente 5Hz. Lo spettro di questo segnale è notoriamente costituito ( ) s

11 ampionamento (parte I) da due impulsi, di area A/, posizionati alle requenze - e : analiticamente, l espressione di tale spettro è A A ( ) ( ) ( ) Fissato un generico (per il momento) periodo di campionamento, lo spettro del segnale campionato avrà la seguente espressione: ( ) n n n n A n A n onsideriamo, per l indice n, i valori -,-,,, in modo da ottenere le repliche situate nei pressi dell origine: ( ) A A Ricordando che /, abbiamo dunque che A ( ) A ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] Adesso sostituiamo qualche valore numerico: abbiamo già detto che 5Hz; se volessimo rispettare il teorema di campionamento, dovremmo campionare almeno a Hz; acciamo invece l ipotesi di campionare a 75 Hz, per cui lo spettro del segnale campionato assume la seguente espressione: A ( ) A [ ( ) ( 5) ( 5) ( 5) ( ) ] [ ( ) ( 5) ( 5) ( 5) ( ) ] e adesso consideriamo solo le componenti di interesse isico, ossia quelle a requenza positiva (quelle a requenza negativa sono ovviamente in posizione simmetrica rispetto alla requenza nulla), abbiamo quanto segue: A ( ) [ ( 5) ( 5) ( ) ( 5) ( ) ] Abbiamo dunque 5 componenti, di cui una a 5 Hz, corrispondente al segnale analogico di partenza, una a 5 Hz e altre a requenze di Hz, 5 Hz e Hz. Allora, se andiamo a moltiplicare lo spettro del segnale campionato con un rettangolo tale da iltrare le componenti a

12 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo requenza superiore di 5 Hz, è evidente che otteniamo in uscita sia la componente di 5 Hz, che ci interessa, sia una nuova (e indesiderata) componente a 5 Hz. La ricostruzione, quindi, è aetta da errore di aliasing: il segnale ricostruito presenta una armonica in più rispetto al segnale s(t) di partenza. Vediamo un altro caso: consideriamo un segnale composto da tre componenti armoniche, rispettivamente alle requenze di 5 Hz (armonica ondamentale), Hz e 5 Hz: ( ) ( ) ( ) )t (3 cos )t ( B cos t A cos (t) s π π π dove ovviamente 5Hz. Lo spettro di questo segnale, considerando solo le requenze isiche, è dunque il seguente: ( ) ( ) ( ) 3 B A ( ) ampionando con una generica (per il momento) requenza di campionamento, otteniamo un segnale campionato il cui spettro (includendo, per il momento, tutte le requenze ) è il seguente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 3 n n B n A 3 n n B n A n n ( ) onsideriamo -,, come valori dell indice n: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 B A 3 B A 3 B A 3 B A 3 B A 3 B A ( ) Per rispettare il teorema di campionamento dovremmo campionare a 3 Hz, mentre invece supponiamo di arlo a 8 Hz: sostituendo i valori numerici e considerando solo le componenti isiche (cioè a requenza positiva), otteniamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 B 3 A 33 8 B 3 A 5 B 5 A ( )

13 ampionamento (parte I) i osserva dunque la presenza delle tre componenti di interesse (a 5 Hz, Hz e 5 Hz), alle quali però si aggiungono altre componenti, che in ordine di requenza crescente sono a 3 Hz, 8 Hz, 3 Hz, 3 Hz, 8 Hz e 33 Hz. Queste ultime tre vengono iltrate nel momento in cui si moltiplica () per un rettangolo di banda pari proprio a 5 Hz; rimangono invece le altre tre, che contribuiscono quindi a dierenziare il segnale ricostruito dal segnale originale s(t). In deinitiva, dunque, il rispetto del teorema del campionamento consente di evitare l errore di aliasing. In realtà, questo è vero solo dal punto di vista teorico, mentre invece sorgono diverse diicoltà quando si deve operare concretamente: il problema principale è che non si può campionare ininitamente un dato segnale, ma bisogna limitarsi a arlo in un intervallo di tempo comunque inito, che abbiamo chiamato inestra di osservazione. Questa inestra di osservazione comporta dunque una limitazione temporale del segnale analogico da analizzare, il che corrisponde ad un segnale teoricamente con spettro ininito e quindi inevitabilmente soggetto alla sovrapposizione delle repliche traslate. In altri termini, l errore di aliasing è teoricamente sempre presente. L unico modo per evitare la sovrapposizione delle repliche traslate dello spettro del segnale è quello di limitarlo in banda prima di campionarlo: bisogna cioè utilizzare opportuni iltri (detti perciò iltri antialiasing), i quali eliminano, dal segnale analogico di partenza, un certo numero di requenze, in modo da permettere la successiva corretta discretizzazione. Quali requenze, allora, vanno eliminate? Per limitare al minimo le distorsioni del segnale iltrato rispetto al segnale di partenza, è necessario iltrare solo le componenti a contenuto energetico minore, ossia quelle che contribuiscono in maniera minima al contenuto inormativo del segnale. In generale, il criterio più sensato è quello di ritenere trascurabili quelle componenti di ampiezza conrontabile con le componenti rumore e che quindi da tale rumore sarebbero comunque indistinguibili. Ancora, l inevitabile presenza del rumore è un altro motivo ondamentale per cui non si può prescindere dal pre-iltraggio del segnale s(t) da campionare: abbiamo detto che lo spettro del segnale campionato è una ripetizione periodica, a passo, dello spettro del segnale s(t); il campionatore, però, riceve in ingresso sia s(t) sia il rumore sovrapposto, che, in generale, è un rumore bianco, cioè con spettro di potenza costante su tutte le requenze; allora, se campionassimo l ingresso senza pre-iltrare, noi ripeteremmo, a passo, sia lo spettro di s(t) sia lo spettro del rumore, ma quest ultimo è esteso su tutte le requenze, per cui, in banda base come nel resto delle requenze, avremmo la somma (in potenza) di ininiti contributi di rumore, il che sarebbe inaccettabile. Pre-iltrando, invece, noi otterremmo in banda base un unico contributo di rumore, che è quello relativo alla banda di s(t) e dal quale non possiamo ovviamente liberarci. ENNI AL PROGEO DEL FILRO ANALOGIO ANI-ALIAING Il progetto del iltro analogico anti-aliasing va atto dunque in modo oculato, avendo a priori una idea dei segnali da campionare: per un segnale la cui potenza è concentrata alle basse requenze, verrà utilizzato un iltro passa-basso, mentre, per un segnale la cui potenza è concentrata ad alte requenze (come accade nei segnali modulati), si utilizzerà un iltro passa-banda. Nei iltri analogici non è acile rispettare, nella realizzazione pratica, le speciiche riguardanti la banda passante e quelle di transizione e oscura. Di conseguenza, è proprio il iltro anti-aliasing a degradare le prestazioni complessive di un sistema digitale, a meno ovviamente di non ar crescere in modo consistente il costo. Una soluzione spesso utilizzata è quella di scegliere una banda passante del iltro anti-aliasing maggiore di quella del segnale analogico da analizzare, in modo da degradare il meno possibile, nel campo delle requenze di interesse, il segnale iltrato. Ovviamente, occorre poi rispettare sempre il 3

14 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo teorema del campionamento: generalmente, si sceglie una requenza di campionamento variabile tra 4 e volte quella di Nyquist. Una volta eettuato questo sovracampionamento, è possibile ridurre il numero dei dati da elaborare, scartando quelli di non interesse, usando degli appositi iltri dedicati. In particolare, la requenza di campionamento viene ridotta nello stesso rapporto di eliminazione dei dati, in un processo che prende il nome di decimazione dei dati campionati. EEMPIO DI AMPIONAMENO IDEALE upponiamo di voler ricostruire il segnale x(t) sapendo che la sua banda è w (ovviamente limitata) e che i suoi campioni, misurati con una requenza di campionamento /w e supposti in numero ininito, valgono tutti tranne i seguenti tre: x( ) x. 5 w x. 5 w Dobbiamo semplicemente applicare la ormula generale di ricostruzione, che, per w, è ( ) x ( t) x( n) sinc ( t n) r n viluppando quella sommatoria e tenendo conto che gli unici termini non nulli sono quelli per n-,,, abbiamo quanto segue: ( ) ( ) ( ) x ( t) x( ) sinc ( t ) x( ) sinc t x( ) sinc ( t ) r x w sinc t x sinc t x w sinc t ostituendo i valori dei campioni, otteniamo ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) x ( t). 5sinc ( t ) sinc t. 5sinc ( t ) r ostituendo adesso l espressione della unzione sinc otteniamo x r ( π ( )) sin( π t) sin( π ( t ) ) sin t ( t) π ( t ) π t Ricordando che /, abbiamo inoltre che π ( t ) 4

15 ampionamento (parte I) x r sin t sin t sin t π ( ) π π ( ) ( t) π ( t ) π t π ( t ) t sin sin t t π π π sin π π) π ( t ) π t π ( t ) Adesso, ricordando la proprietà della unzione eno secondo cui abbiamo che x r sin(απ) - sin(α) sin(α-π) - sin(α) t sin sin t t sin sin t π π π π ( t) ( t ) t ( t ) π π π π t t sin t π π sin π t π sin t t t t π t π sin π t t t t w π t Proseguendo con i calcoli, si arriva al seguente risultato inale: sin t π x ( t ) r πwt ( wt ) L andamento graico di questo segnale è il seguente (per w): t t t 5

16 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo A titolo di esercizio, ricaviamo l espressione dello spettro di x r (t): per arlo, partiamo dalla relazione ( ) ( ) ( ) x ( t) 5. sinc ( t ) sinc t 5. sinc ( t ) r. sinc w t sinc( wt). sinc w t w 5 5 w ( ) ( ) ( ). 5sinc wt sinc wt 5. sinc wt La trasormata di questo segnale si può calcolare sruttando una serie di proprietà a noi note: in primo luogo, applicando la proprietà di linearità noi abbiamo che [ ( )] ( ) [ ] [ ( )] X ( ). 5Fourier sinc wt Fouriere sinc wt. 5Fourier sinc wt r Ricordandoci adesso che la trasormata del segnale z( t) sinc( ω t) si calcola mediante la proprietà di dualità e vale Z( ) w rect w abbiamo che X ( ). Fourier sinc wt w rect r 5 w. [ ( )] 5Fourier sinc( wt ) [ ] Ricordandoci inine della proprietà di traslazione nel tempo, concludiamo che X r ( ) jπ w w rect w e jπ w w rect w w rect 4 4 w e Possiamo inoltre applicare le ormule di Eulero, ottenendo che X r w rect j j ( ) e w e w w w rect cos w π π π Da questa espressione, in particolare dalla presenza della unzione rect, di nota che lo spettro X() del nostro segnale è certamente a banda limitata, il che costituisce la condizione ondamentale perché si possa operare la ricostruzione di s(t) a partire dai suoi campioni. w AMPIONAMENO DI UNA INUOIDE Abbiamo già atto in precedenza un esempio di campionamento di una sinusoide. Analizziamo adesso la cosa con maggiori dettagli, in modo da introdurre nuovi concetti. Faremo le ipotesi sempliicative di assenza di rumore e di segnali a banda limitata (quindi teoricamente di durata ininita). 6

17 ampionamento (parte I) onsideriamo dunque una sinusoide a requenza, che quindi avrà una espressione analitica del (t) cos π t ed uno spettro del tipo seguente: tipo ( ) s () - - Figura - pettro di una sinusoide oseno di requenza Volendo campionare questo segnale in modo da rispettare il teorema di campionamento, dobbiamo considerare, ossia dobbiamo considerare una requenza di Nyquist / non ineriore alla requenza della sinusoide stessa. Rispettando questa condizione, sappiamo che lo spettro del segnale campionato è una ripetizione periodica di () a cavallo di e dei suoi multipli; in pratica, dobbiamo quindi prendere i due impulsi indicati in igura e riportarli a cavallo di e dei suoi multipli: () Figura - pettro del segnale campionato (rutto del campionamento della sinusoide di cui alla igura ) nel caso venga rispettato il teorema del campionamento. Gli impulsi tratteggiati rappresentano lo spettro del segnale campionato, che ovviamente comprende anche i due impulsi in ±, che coincidono con quelli del segnale di partenza A questo punto, per la ricostruzione, non dobbiamo ar altro che raccogliere tutto quello che troviamo all interno dell intervallo,, in modo da eliminare le repliche di () non centrate nell origine: in questo caso, avendo rispettato il teorema del campionamento, quello che otteniamo in uscita dal iltro di ricostruzione è proprio il segnale di partenza. Adesso immaginiamo di diminuire la requenza di campionamento, per cui la requenza di Nyquist / si avvicina a. Fin quando / rimane superiore ad, non abbiamo problemi, in quanto stiamo ancora sovracampionando: 7

18 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo () 3-3 Figura - Filtraggio passa-basso del segnale campionato nel caso sia stato rispettato il teorema del campionamento L intervallo, contiene ancora solo lo spettro del segnale di partenza. e però scegliamo la requenza di campionamento in modo che / diventi ineriore ad, sorgono i problemi, legati al sottocampionamento: () - Figura Filtraggio passa-basso del segnale campionato nel caso non sia stato rispettato il teorema del campionamento Dato che / è ineriore ad, succede che nell intervallo, non viene più a trovarsi lo spettro del segnale di partenza, ma termini spettrali relativi alle repliche posizionate in ed in -. Evidentemente, questi termini corrispondono ancora ad una sinusoide, ma di requenza ineriore ad : in particolare, è una sinusoide a requenza -. Quindi, non rispettando il teorema del campionamento, l uscita del iltro di ricostruzione è una sinusoide a requenza ineriore a quella originale; la nuova requenza è unzione della che è stata usata. Il enomeno appena descritto può essere anche impostato in modo diverso, al ine di evidenziare alcune importanti osservazioni. Anziché ritenere issata la requenza della sinusoide da campionare e arbitraria la requenza di campionamento, acciamo il contrario: supponiamo di aver issato una certa e vediamo come cambiano le cose, in ase di ricostruzione, al variare della requenza della sinusoide in ingresso. 8

19 ampionamento (parte I) ome caso iniziale, supponiamo di scegliere un valore di tale da rispettare il teorema di campionamento: () Figura 4 -Filtraggio passa-basso del segnale campionato nel caso sia stato rispettato il teorema del campionamento. Lo spettro del segnale da isolare si trova eettivamente contenuto nel cosiddetto intervallo non ambiguo, che va da - / a / Adesso supponiamo di aumentare. he succede? Da un punto di vista dello spettro del segnale campionato, abbiamo un movimento dei vari impulsi: i due impulsi in ± si allontanano dall origine rispetto alla igura precedente; i due impulsi in ±( - ) si avvicinano invece all origine; i due impulsi in ±( ) si allontanano e così via: () 3-3 Figura 5 - -Filtraggio passa-basso del segnale campionato nel caso sia stato rispettato il teorema del campionamento. Rispetto alla igura 4, però, gli impulsi sono più vicini alla requenza di Nyquist, cioè alla requenza di taglio del iltro passa-basso ideale) di ricostruzione Dato che continuiamo a rispettare il teorema del campionamento, l uscita è ancora una sinusoide a requenza, per cui l incremento della requenza in ingresso corrisponde ad un pari incremento della requenza in uscita. e continuiamo ad aumentare, ino a superare il valore /, le cose cambiano: 9

20 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo () 3-3 Figura 6 - -Filtraggio passa-basso del segnale campionato nel caso non sia stato rispettato il teorema del campionamento. Lo spettro del segnale da isolare si trova all esterno dell intervallo non ambiguo, che invece contiene termini derivati dalle repliche spettrali posizionate in e - Nell intervallo, non sono più contenuti gli impulsi corrispondenti ad (), ma sono contenuti l impulso negativo di (- ) e l impulso positivo di ( ). Il risultato in uscita è ancora una sinusoide, ma di requenza ineriore a /. Abbiamo cioè ottenuto che ad un aumento della requenza in ingresso è corrisposta una diminuzione della requenza in uscita. Questo è appunto dovuto al atto che in uscita abbiamo raccolto componenti spettrali diverse da quelle che ci interessavano. E un tipico problema di aliasing. e aumentiamo ulteriormente la requenza, la requenza dell uscita continua a diminuire, in quando prendiamo : a questo punto, otteniamo in uscita una continua. Proseguendo ancora con l aumento di, riprendiamo ad ottenere una sinusoide in uscita con requenza crescente, ma sempre ineriore a /: () 3-3 Figura 7 - Movimento, in requenza, degli impulsi che costituiscono il segnale campionato: all aumentare della requenza della sinusoide in ingresso, gli impulsi corrispondenti al segnale da isolare si allontanano dall origine, mentre quelli derivanti dalle repliche in e - si avvicinano all origine

21 ampionamento (parte I) AMPIONAMENO DI UN EGNALE GENERIO onsideriamo un problema analogo a quello del paragrao precedente: supponiamo di avere a disposizione un dato campionatore che campioni ad una requenza massima preissata. Potremmo trovarci nelle condizioni di dover campionare, mediante questo dispositivo, un segnale la cui banda supera il valore /, il che non ci consente di rispettare il problema del campionamento: () - Figura 8 - pettro di un generico segnale analogico passa-basso che non rispetta il teorema del campionamento, dato che la sua banda monolatera supera la requenza di Nyquist Assumendo, per semplicità, che non ci sia alcun rumore sovrapposto al segnale, ci chiediamo quale, tra le seguenti due alternative, sia la migliore: disinteressarci del atto che non venga rispettato il campionamento e campionare ugualmente oppure preiltrare s(t) nell intervallo, e poi campionare. Nel primo caso, sappiamo ormai bene che il mancato rispetto del teorema del campionamento porta alla sovrapposizione delle repliche spettrali: () - Figura 9 - pettro del segnale campionato del segnale di igura 8 nel caso non venga eettuato un pre-iltraggio: l aliasing pregiudica le inormazioni a ridosso della requenza di Nyquist Il risultato è che il iltro di ricostruzione ci dà un segnale con le inormazioni in alta requenza (zone più annerite nel graico) compromesse.

22 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo L alternativa è invece quella di preiltrare il segnale nell intervallo, e poi campionare. In questo modo, è vero che perdiamo l inormazione eliminata dal pre-iltraggio, ma è anche vero che, in uscita, otteniamo un segnale, esteso ancora in,, con tutta inormazione utile, in quanto privo di aliasing: F () spettro del segnale pre-iltrato - Figura - pettro del segnale ottenuto pre-iltrando passa-basso il segnale della igura 8 () spettro del segnale (pre-iltrato) campionato - Figura - ampionamento del segnale della igura : avendo eliminato le componenti esterne all intervallo [- /, /], viene eliminato l aliasing on questo secondo modo di procedere, quindi, si riesce ad estrarre la massima inormazione che il sistema consente. FILRI DI RIORUZIONE onsideriamo nuovamente il problema del campionamento di una sinusoide. Abbiamo in precedenza analizzato questo problema nei minimi dettagli, partendo però da una ipotesi tutt altro che attuabile nella pratica: quella di avere un iltro di ricostruzione ideale, cioè con unzione di traserimento perettamente rettangolare (e di modulo ) nell intervallo, e nulla all esterno di tale intervallo:

23 ampionamento (parte I) H R () - Figura - Filtro di ricostruzione ideale, corrispondente ad un iltro passa-basso ideale Un iltro del genere 5 consente la ricostruzione peretta del segnale, a patto ovviamente di aver rispettato il teorema del campionamento: la ormula di ricostruzione, già ricavata in precedenza, prevede in pratica che il segnale campionato s (t) venga moltiplicato per una unzione di risposta all impulso (cioè l antitrasormata della H R () riportata in igura) che ha espressione h R (t) sin ( π t) π t Nella realtà, invece, i iltri non godono mai di questa idealità: essi possiedono una banda passante, cioè la banda all interno della quale lasciano passare pressoché intatto il segnale (o comunque con una attenuazione non superiore ad un limite massimo), una banda attenuata, ossia la banda al cui interno le componenti spettrali devono essere attenuate di una quantità superiore ad un limite minimo tollerabile, ed una banda di transizione in cui si ha il passaggio (più o meno rapido a seconda dell ordine dei poli) dalla banda passante a quella attenuata: H R () Figura 3 - lassica unzione di traserimento di un iltro passivo: la banda passante prevede un modulo costante (idealmente ) per la unzione di traserimento; la banda attenuata prevede un modulo costante (idealmente nullo) La unzione di risposta all impulso corrispondente a questo spettro non è più del tipo sin(t)/t. Allora, quando scegliamo la requenza di campionamento, dobbiamo necessariamente tener conto di quale sia l intervallo di requenze che il iltro di ricostruzione lascia passare praticamente invariate: nota questa inormazione, dovremo are in modo che il segnale campionato presenti la 5 la cui unzione di risposta all impulso (pari all antitrasormata della unzione di traserimento) è un classico sin()/ 3

24 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo replica centrale di () (quella centrata in ) tutta contenuta nel suddetto intervallo. Ad esempio, andrebbe bene una scelta del tipo seguente: H R () - Le due linee tratteggiate indicano la porzione di spettro in cui è opportuno che sia allocato lo spettro del segnale che è stato campionato e che quindi si vuol ricostruire. aso particolare: unzione PLO del Matlab erchiamo adesso di capire come sia atto il iltro di ricostruzione usato dal programma Matlab; tale iltro è rappresentato semplicemente dalla unzione PLO del Matlab, la quale unziona nel modo seguente: dato il vettore dei campioni ottenuti appunto dal campionamento del segnale di partenza, la unzione riporta, sul piano cartesiano, tali campioni e poi semplicemente li unisce con dei segmenti. t Figura 4 - Azione della unzione PLO del Matlab: essa congiunge semplicemente i campioni del segnale In questo modo, il segnale che viene riportato sul video è una spezzata composta dai segmenti che congiungono (e quindi interpolano) i vari campioni. E abbastanza intuitivo rendersi conto di come sia atta la risposta all impulso di tale iltro di ricostruzione: si tratta semplicemente di un rettangolo isoscele, di base (periodo di campionamento) e altezza unitaria: 4

25 ampionamento (parte I) - t Figura 5 - Funzione di risposta all impulso corrispondente alla unzione PLO Moltiplicando ciascun triangolo per il valore del corrispondente campione e sommando i vari prodotti, si ottiene il segnale ricostruito: t Figura 6 - Azione di ricostruzione esercitata da un interpolatore lineare, ossia un interpolatore con unzione di risposta all impulso di tipo triangolare: ogni triangolo è collocato in corrispondenza degli istanti di campionamento ed è scalato di una quantità pari al campione cui si rierisce Nota la unzione di risposta all impulso, ci possiamo quindi ricavare la unzione di traserimento del iltro, che sarà la sua trasormata di Fourier. Per calcolare tale trasormata, ci basta tener conto che un triangolo isoscele di base ed altezza è il risultato della convoluzione di due rettangoli, centrati entrambi in t, di base ed altezza unitaria: convoluzione t - t Allora, possiamo scrivere che h MALAB (t) rect t *rect t 5

26 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo dove il attore moltiplicativo / serve ad ottenere un triangolo di altezza unitaria. Per ottenere la corrispondente unzione di traserimento, ci basta trasormare: al prodotto di convoluzione nel tempo corrisponderà un prodotto, in requenza; ricordando allora che la trasormata sin( π ) di ciascuno dei due rettangoli è (quindi con gli zeri in corrispondenza di ± e π multipli) otteniamo sin ( π ) H MALAB ( ) π Diagrammando questa unzione, abbiamo quanto segue: ( ) Questa unzione (con gli zeri sempre in corrispondenza di ± e multipli) è tutt altro che un iltro passa-basso ideale nell intervallo, ; pur trascurando le code secondarie, che comunque decrescono abbastanza rapidamente 6, questo iltro presenta due problemi ondamentali: il primo è che esso lascia passare tutte le componenti di requenza ineriore a e non a /, come sarebbe opportuno, pur applicando una attenuazione notevole a quelle comprese tra / ed. Questo comporta una ricostruzione del segnale, pur nell ipotesi di aver rispettato il teorema di campionamento, che dà un esito diverso a seconda di dove è posizionato lo spettro del segnale che è stato campionato. iò che possiamo auspicare è che il segnale che è stato campionato abbia una banda molto piccola rispetto ad ; il secondo problema riguarda ancora una volta l aliasing, secondo, però, un signiicato leggermente diverso da quello considerato ino ad ora: sappiamo che lo spettro del segnale campionato (cioè del segnale in ingresso al iltro di ricostruzione) presenta ininite repliche dello spettro del segnale analogico di partenza, centrate in, ±, ± e così via; il particolare andamento di H MALAB ( ) comporta allora che le repliche centrate su ± vengano parzialmente atte passare e vadano perciò a sommarsi 7 alla replica centrale (che è l unica di nostro interesse). 6 A questo proposito, è bene ricordare che lo smorzamento delle code della unzione sin ()/ avviene molto più rapidamente che nella unzione sin()/, data ovviamente la presenza dell operatore quadrato 7 Nel discorso che stiamo acendo, la somma è diversa dalla sovrapposizione: si considerano inatti termini spettrali che vengono eettivamente lasciati passare dal iltro, ma senza sovrapporsi ad altri termini spettrali, quindi senza generare aliasing nel signiicato con cui lo abbiamo inteso ino ad ora. D altra parte, questa somma è comunque deleteria, in quanto le inormazioni di 6

27 ampionamento (parte I) Per limitare al minimo entrambi questi inconvenienti, la soluzione è evidente: bisogna are in modo che la banda del segnale analogico che è stato campionato sia molto più piccola della requenza di campionamento. In tal modo, si ottiene un duplice risultato: intanto, lo spettro che ci interessa ottenere in uscita comprende requenze che la unzione sin ( π ) lascia passare più o meno invariate (ricordiamo che il lobo principale della ( π ) suddetta unzione è approssimativamente piatto per le requenze molto basse); in secondo luogo, le componenti spettrali, relative alle repliche centrate su ± vengono suicientemente attenuate da non procurare grossi problemi. Possiamo renderci conto molto bene di quanto appena detto svolgendo una simulazione MALAB in cui il segnale da campionare sia semplicemente una sinusoide. onsideriamo, ad esempio, una sinusoide di requenza 5 Hz. Il teorema del campionamento ci dice che dobbiamo campionare almeno a khz. cegliamo, ad esempio, 5 khz, cui corrisponde. msec. ostruiamo allora un vettore in cui riportiamo i valori che la unzione cos( π 5 t) assume per tk, dove k è ovviamente un numero naturale positivo. Prendendo k,...,99, ossia costruendo un vettore di campioni, Matlab ornisce la igura seguente: i nota subito il raccordo tra i vari segmenti, ma la ricostruzione è tutto sommato accettabile. Il motivo è che la banda del segnale analogico originale (banda che coincide, in questo caso, con la requenza della sinusoide) soddisa ai requisiti di cui si parlava prima. Aumentiamo adesso la requenza della sinusoide a khz, quindi abbastanza vicino al limite, rappresentato dalla requenza di Nyquist /.5 khz. Il diagramma ornito da Matlab è il seguente: nostro interesse si compongono con altre inormazioni che invece non ci interessano, per cui il risultato inale è ancora una ricostruzione non peretta del segnale. In questo senso, anche questo enomeno si può descrivere come aliasing. 7

28 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo Questo segnale non assomiglia più ad una sinusoide: il motivo è che il iltro di ricostruzione ha lasciato passare due componenti spettrali, una (quella di interesse) a khz e l altra (dovuta alla replica spettrale centrata su 5kHz) a 3 khz: () -3 khz - khz khz 3 khz La composizione di queste componenti non è ovviamente una sinusoide pura. Quindi, ciò che possiamo osservare è che, pur avendo rispettato il teorema del campionamento, la ricostruzione del segnale è tutt altro che buona semplicemente a causa della non idealità del iltro di ricostruzione. ra l altro, la igura appena riportata suggerisce come interpretare l andamento ricavato per il segnale ricostruito: inatti, noi abbiamo due impulsi, di ampiezza diversa (si tenga conto inatti dell andamento della unzione di traserimento del tipo sin ()/ ), centrati simmetricamente rispetto alla requenza /.5 khz (e, ovviamente, vale il simmetrico per le requenze negative). Uno spettro di questo tipo è tipico di una portante sinusoidale, a requenza.5 khz, modulata d ampiezza, in DB- (quindi con portante soppressa) da una sinusoide a 5 khz. Abbiamo cioè una portante alla requenza di Nyquist modulata in DB- dalla sinusoide che abbiamo campionato all inizio. Questo spiega l andamento del segnale ricostruito riportato nella penultima igura. Proseguendo adesso con la simulazione, possiamo trovare conerma di quanto detto in precedenza e, in particolare, di quanto succede se, mantenendo costante la requenza di campionamento, aumentiamo la requenza della sinusoide da campionare. 8 - (khz) - -5 khz 5 khz

29 ampionamento (parte I) Per esempio, se prendiamo.5khz, ossia il limite massimo per, otteniamo quanto segue: In questo caso, la scelta di è tale che sia la replica centrale di () (spettro della sinusoide che è stata campionata) sia quella posizionata in comprendano un impulso proprio in /; tali due impulsi si sommano (costruttivamente) e danno origine al segnale appena rappresentato. Questo è il segnale di massima requenza che noi possiamo ricostruire; inatti, in base alle considerazioni atte in precedenza, se poniamo 3.5 khz, anziché ottenere un ulteriore aumento di requenza della sinusoide in uscita, otteniamo una diminuzione: Ovviamente, permane ancora quell eetto di distorsione che prima abbiamo descritto come una modulazione in DB-. Per ridurre al minimo tale eetto, dobbiamo allontanare gli impulsi, il che si ottiene prendendo ad esempio 4.5 khz: 9

30 Appunti di Elaborazione numerica dei segnali - apitolo Prima di proseguire con i nostri discorsi, acciamo un altra interessante simulazione, che in pratica ripete quanto atto poco a, con la dierenza di usare, come segnale da campionare, non più un oseno, ma un eno. In particolare, prendiamo.5khz, ossia il limite massimo di requenza imposto dal teorema del campionamento (dato che abbiamo issato 5kHz). La ricostruzione ornita da Matlab è la seguente: Questo segnale, dall andamento apparentemente assurdo, nasconde in realtà un trucco : inatti, la scala delle ordinate è graduata in -4, il che signiica che il segnale ricostruito è nullo. Perché? Il motivo è evidente: la scelta di è tale che sia la replica centrale di () (spettro della sinusoide che è stata campionata) sia quella posizionata in comprendano un impulso proprio in /, ma quello dovuto alla replica in è negativo (in quanto lo spettro di un in presenta notoriamente negativo l impulso a requenza negativa), per cui compensa l altro (la somma dei due impulsi è distruttiva) e determina una uscita nulla. 3