Capitolo 6 Strato Fisico- Le Modulazioni Numeriche

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1 Capitolo 6 Strato Fisico- Le Modulazioni Numeriche 1

2 Modulazione e Demodulazione numerica segnale numerico segnale analogico modulatore numerico segnale numerico mezzo trasmissivo demodulatore numerico affetto da errori affetto da distorsioni e rumore segnale analogico 2

3 Modulazione numerica: banda base e banda traslata banda base utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza contiguo all origine X(f) banda traslata utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier contenuta in un intervallo di frequenza non contiguo all origine X(f) f f Mezzi trasmissivi in banda base (es.: linea bifilare) Mezzi trasmissivi in banda traslata (es.: trasmissioni radio) 3

4 Schema di modulazione in banda traslata segnale numerico segnale numerico modulatore numerico in banda traslata demodulatore numerico (banda traslata) segnale analogico in banda traslata mezzo trasmissivo segnale analogico in banda traslata 4

5 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (1/8) Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico: Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU Potenza luminosa entrante in una fibra ottica + 5 V P 0-5 V t t Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE 5

6 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (2/8) 0 T 2T 5T asse dei tempi segnale numerico t b(n) (sequenza di simboli) sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es ; -5 1 ) impulsi 1 t di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nt a(0)g(t) a(1)g(t-t) a(2)g(t-2t) a(3)g(t-3t)

7 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (3/8) Esempio: x(t) P t simboli: 0 1 ampiezze: P 0 0 g(t) forma di impulso: 1 t 0 T segnale analogico: 7

8 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (4/8) Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente: alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili, senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2,..., a 1} intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T velocità di emissione dei simboli: f s =1/T 8

9 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (5/8) Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all intervallo (-T/2, +T/2), detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell alfabeto [ a 0, a 1, a 2,..., a a-1 ] 9

10 Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}. b(n) a(n) Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0. Esempi: α = 2 α = 3 α = a Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (6/8) -1 a 0-1 simboli ampiezze di impulso 0 a 0 1 a a -1 a a-1 a +1/3-1/3-1 Senza perdita di generalità,nel caso di α=2 assumeremo a 0 =1, a 1 =-1. 10

11 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (7/8) onda PAM PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso) simboli diversi differenti valori della ampiezza degli impulsi larghezza di banda dell onda PAM larghezza di banda del segnale g(t) 11

12 Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (8/8) Esempi di segnali PAM Ordine dell alfabeto α Ampiezze di impulso a i (i=0,1,...,α-1) 2 [+1, -1] Forma di impulso g(t) 1 segnale PAM x(t) [+1, 0, -1] -T/2 0 +T/2 1 0 T 2T [+1, +1/3, -1/3, -1] -T/2 0 +T/2 1 0 T 2T T/2 0 +T/2 0 T 2T 12

13 Prestazioni delle Modulazioni Numeriche PAM 13

14 Modulazione numerica Obiettivi: trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo f m ; ottenere elevata efficienza di banda, definita come: Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo f s, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d impulso g(t). 14

15 Schema di principio di un modulatore PAM Segnale dalla sorgente (rappres. PAM ideale) Segnale PAM ideale Filtro formatore di impulso con risposta impulsiva g(t) Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) t 0 T 2T t 15

16 Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano Canale y(t) = x(t) * c(t) lineare e permanente C(f) = FT [c(t)] + passa-basso C(f) = 0 per f > f m Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore) n(t) z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita dal canale T 2T rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza uniforme W n (f) = N 0 (Watt/Hz) rumore Gaussiano bianco 16

17 Demodulatore PAM Filtro di ingresso al demodulatore G R (f) Campionamento negli istanti t = kt Decisione criterio di decisione z(t) segnale in uscita dal canale w(t) = y(t) * g R (t) + η(t) componente utile = r(t) + η(t) rumore filtrato w(kt) â(k) sequenza stimata delle ampiezze trasmesse Esempio: w(kt) +1,21 +0,66-1,35 +1,17 ^ a(k) ^ b(k) Il criterio qui applicato è il seguente: w(kt) 0 a(k) ^ = +1 ; w(kt) < 0 a(k) ^ = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata. 17

18 Modulazione numerica MODULATORE Segnale dalla sorgente DEMODULATORE sequenza â(k) Decisione w(kt) Filtro formatore di impulso G(f) Campionamento negli istanti t = kt w(t) = y(t) * g R (t) + η(t) CANALE Canale lineare e permanente C(f) y(t) n(t) + Filtro di ingresso al demodulatore G R (f) z(t) = y(t) + n(t) = = x(t)*c(t) + n(t) 18

19 Componente di segnale utile all ingresso del campionatore w(t) = y(t)*g R (t) + n(t)*g R (t) = r(t) + η(t) segnale utile rumore (filtrato) con risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) G R (f) Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli Il segnale utile r(t) è ancora un segnale PAM con forma di impulso h(t) 19

20 Demodulazione del segnale PAM in assenza di rumore 20

21 Demodulazione in assenza di rumore Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kt), k =..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, } Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 η(t)=0, n k Interferenza intersimbolica (ISI) coincide con a(k) a meno della costante (guadagno) h(0) componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI) 21

22 Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist: si ha sempre w(kt) = a(k) Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore). 22

23 Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo (1/2) Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori ±T/2. Esempio: 1 h(t) 1 w(t) -T -T/2 +T/2 +T +2T -T -T/2 +T/2 +T +2T Il segnale ricevuto all uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro. 23

24 Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo (2/2) PROBLEMA Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita). Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) G R (f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per. 24

25 Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza Esempio: H(f) costante H(f+1/T) T H(f) H(f-1/T) H(f-2/T) f -1/2T 0 +1/2T -2/T -1/T 0 +1/T +2/T f 25

26 Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di: Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di f N non può mai dare luogo a una costante. Banda di Nyquist H(f) -1/2T 0 +1/2T f 26

27 Forma d impulso di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist Una particolare forma di impulso h 0 (t) i. limitato in banda ii. che soddisfa le condizioni di Nyquist è quella la cui trasformata di Fourier H 0 (f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T): h 0 (t) H 0 (f) T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T t -1/2T 0 +1/2T f 27

28 Esempio: Forma d impulso di Nyquist a banda limitata Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h 0 (t) +1 h 0 (t) H 0 (f) T +1 0 r(t) T t -1/2T 0 +1/2T f t

29 Forma d impulso di Nyquist a coseno rialzato T γ fattore di roll-off, 0 < γ 1 H(f) γ = 1 γ = 0.6 γ = 0.3 γ = 0 0 f N 2f N 29

30 Forma d impulso di Nyquist a coseno All aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso ideale) a 1 Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell impulso si smorzano più rapidamente. rialzato 1 h(t) γ=1 γ = 0.6 γ= 0.3 γ =0 t -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T Minore criticità nel campionamento in ricezione. La banda occupata aumenta da f N a f N (1 + g) 30

31 Esempio: Forma d impulso di Nyquist a coseno rialzato Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, ( g = 0 e g = 1 ) h(t) h(t) +1 γ = 0 γ = T t 0 T t +1 r(t) +1 r(t) 0 t 0 t -1-1 Valori di γ di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6 Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli 31

32 Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo Se la forma dell impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale). Esempio: Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kt), per k 0] T Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi ±1] +1 T -1 Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli 32

33 Segnale PAM multilivello I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli) sorgente binaria velocità di simbolo binario f b conversione di alfabeto 2 α velocità di simbolo modulatore PAM ad α livelli canale in banda base (freq. max. f m ) Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist). 33

34 Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello All aumentare del numero di livelli a del segnale PAM utilizzato abbiamo che: i. Aumento dell efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb. ii. Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso. 34

35 Demodulazione del segnale PAM in presenza di rumore gaussiano 35

36 Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione {w(kt), k =..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, } Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco (Segnale all ingresso del campionatore di ricezione) Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kt si ha Variabile con a valori possibili Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza σ η 2 36

37 Decisione in presenza di rumore Gaussiano. Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3) w(kt)=a(k)+η(kt) Problema: Misurato w(kt) w* all uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una buona decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w*? Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD) Misurato w(kt) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0.. aa-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],, p[w* a(k)= aa-1]}. In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]} 37

38 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Decisore a minima distanza Euclidea (2/3) w(kt)=a(k)+η(kt), Poiché la componente di rumore η(kt) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0 aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) dal valore misurato w(kt) w*. Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà: a(k)=argmin{(w*- ai) } IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea 38

39 Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3) w(kt)=a(k)+η(kt) Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario). Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore a soglia che decide a(k)=+1 quando w(kt) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kt)<0, in accordo alla relazione a(k)= (2-PAM) Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d errore Pe del decisore MLD la quantità: Pe P(a(k) a(k)). 39

40 a(k) Probabilità d errore in presenza di rumore gaussiano Caso 2-PAM w(kt) p [w(kt) a(k) = +1]= p η [η=w(kt)-1] p [w(kt) a(k) = -1]= p η [η=w(kt)+1] a(k) = -1 η(kt) > +1 w(kt) = a(kt) + η(kt) > 0 â(kt) = +1 a(kt) w(k) > errore 0 Densità di probabilità gaussiana Probabilità di errore (area tratteggiata in figura) 40

41 Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata 41

42 Modulazione QAM (analogica) Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica di ampiezza definito dallo schema seguente: x(t) cos(2πf 0 t) x(t) y(t) cos(2πf 0 t) (portante in fase) sfasatore cos(2πf 0 t + π/2) π/2 (portante in quadratura) oscillatore frequenza f 0 2 segnali modulanti, in banda base [- f m,f m ] y(t) cos(2πf 0 t + π/2) + s(t) segnale modulato QAM : s(t) = x(t) cos(2πf 0 t) + + y(t) cos(2πf 0 t + π/2) somma di due segnali che occupano la stessa banda: f 0 ± f m

43 Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2) Segnale QAM s(t) ricostruzione portante f 0 sfasatore π/2 2s(t) cos(2πf 0 t) 2cos(2πf 0 t) pass a- bass o ideal e [- f m,f m ] 2cos(2πf 0 t+π/ 2) 2s(t) cos(2πf 0 t + π/2) pass a- bass o ideal e [- f m,f m ] x(t) y(t)

44 Demodulazione del segnale QAM (2/2) Segnale all ingresso del demodulatore: Segnale all uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)): Termine proporzionale al segnale modulante x(t) Termini che occupano la banda 2f 0 ± f m (eliminati dal filtraggio) termine nullo [Trattazione identica per il demodulatore relativo al segnale y(t)]

45 Modulazione QAM numerica Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico: conversione di alfabeto 2 α = 2 υ PAM ad α livelli conversione serie/parallelo segnale binario (velocità di simbolo binario f b ) segnali binari f b /2 conversione di alfabeto 2 α = 2 υ velocità di simbolo: PAM ad α livelli modulatore QAM analogico s(t)=x(t)cos(2πfot)+ y(t)cos(2πf0t+π/2) segnale modulato QAM 45

46 Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6) Sia (x(t),y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel piano. Negli istanti caratteristici di campionamento t = kt ciascuna delle due coordinate di (x(kt),y(kt)) assume una delle α ampiezze di impulso possibili. Risulta così individuato un insieme di α 2 punti, detto costellazione di segnale (signal set) relativa al segnale QAM. 46

47 Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/6) Esempio 1: α = 2 2 = 4 livelli, con ampiezze di impulso +1, +1/3, -1/3, -1. La costellazione è costituita da un insieme di 16 punti disposti a forma di reticolo regolare a maglie quadrate. y +1 +1/3-1 -1/3 0 +1/3 +1-1/3 x modulazione 16-QAM -1

48 Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/6) Esempio 2: α = 2 1 = 2 livelli. Esempio 3: α = 2 3 = 8 livelli. Modulazione 4-QAM Modulazione 64-QAM ( 4-PSK, QPSK ) y + 1 y x x - 1-1

49 Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/6) Gli α 2 = 2 2υ punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca con le 2 2υ parole binarie distinte formate da 2υ bit. Ogni T secondi vengono trasmessi 2υ bit del segnale di ingresso. υ bit υ bit una ampiezza di impulso PAM (α = 2 υ livelli) x(kt) una ampiezza di impulso PAM (α = 2 υ livelli) y(kt) un punto della costellazione (x(kt),y(kt))

50 Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/6) Esempio 4: codifica di costellazione: Modulazione32-QAM parola binaria a x a y y ,5 d +2,5 d ,5 d +2,5 d ,5 d +2,5 d ,5 d +2,5 d ,5 d +1,5 d ,5 d +1,5 d ,5 d -2.5 d ,5 d -2,5 d d d x

51 Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/6) Modulazione QAM numerica con signal set a 8 punti disposti su una circonferenza di raggio 1, equidistanziati. Modulazione 8- PSK Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK) deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in coordinate polari (r,ϕ) sono differenziate soltanto in base alla fase ϕ (r = 1 = cost). Una possibile codifica di costellazione è: parola di ingresso a x a y

52 Schema per la trasmissione di segnale numerico in banda traslata al demodulatore s(t) canale lin. e perm. passa-banda ideale (banda f 0 ± f m ) + filtro di ingresso al demodulatore passa-banda ideale (banda f 0 ± f m ) CANALE DI TRASMISSIONE segnale modulato: s(t) = x(t) cos(2πf 0 t) + y(t) cos(2πf 0 t + π/2) n(t) rumore gaussiano bianco con spettro di densità di potenza W n (f) = N 0 costante segnale ricevuto: z(t) = s(t) + η(t) rumore gaussiano filtrato banda: [f 0 ± f m ]U [-f 0 ± f m ] banda: [-f m, f m ]

53 Componenti del rumore gaussiano Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t), di spettro di densità di potenza N 0 W η (f) N 0 vale la seguente decomposizione: - (f 0 + f m ) - f 0 - (f 0 - f m ) 0 (f 0 - f m ) f 0 (f 0 - f m ) f η(t) =η x (t) cos(2πf 0 t) + η y (t) cos(2πf 0 t + π/2) η x (t) e η y (t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti analogiche di bassa frequenza di n(t), aventi uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-f m,f m ] (banda base); uguale potenza σ η2, uguale a sua volta alla potenza di η(t). ll rumore gaussiano η(t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui η x (t) e η y (t) sono i segnali modulanti. 53

54 Demodulazione in presenza di rumore gaussiano Il segnale ricevuto ha l espressione: z(t) = s(t) + η(t) = [x(t) + η x (t)] cos(2πf 0 t) + [y(t) + η y (t)] cos(2πf 0 t + π/2) All uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali: d x (t) = x(t) + η x (t), d y (t) = y(t) + η y (t) Negli istanti di campionamento t=kt (e in assenza di ISI) si ha d x (kt) = a x (k) +η x (kt), d y (kt) = a y (k) + η y (kt) Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto R=( d x (kt), d y (kt)) differisce in generale dal punto trasmesso T=(a x (k), a y (k) )

55 Decisione in presenza di rumore gaussiano Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD) Ricevuto il punto R, si decide in favore del più verosimile punto trasmesso T ovvero quello a cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R T i], i=0,.. α 2-1 }. Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R. y O T x R T vettore rappresentativo del punto trasmesso T R vettore rappresentativo del punto ricevuto R TR vettore rappresentativo del rumore

56 L applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del signal set delle regioni di decisione associate ai punti della costellazione. La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal P y Regioni di decisione set. Esempio: Modulazione QAM Q x Punto Q Punto P (regione illimitata) 56

57 Regioni di decisione e probabilità di errore Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato) quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione relativa al punto trasmesso T. y Esempio: Punto trasmesso: T Vettore rumore: TR Punto ricevuto R Regione a cui appartiene R: Punto ipotizzato come trasmesso: T (decisione errata) T T R x La probabilità di decisione errata diminuisce con l ampliamento delle regioni di decisione (maggiore potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore).

58 Banda occupata dal segnale modulato QAM (1/2) L intervallo T tra istanti caratteristici dei due segnali PAM è legato alla velocità di simbolo f b del segnale binario da trasmettere come segue: dove 2ν è il numero di simboli binari associati alla trasmissione di un singolo simbolo QAM (cioè di un punto della costellazione che contiene N = 2 2ν punti). La frequenza massima f m (ossia la banda occupata dal ciascuno dei due segnali PAM) vale quindi dove γ è il roll-off del filtro sagomatore

59 Banda occupata dal segnale modulato QAM (2/2) Nella successiva modulazione QAM di ampiezza i due segnali modulati PAM (e quindi anche la loro somma che costituisce il segnale modulato QAM) occupano una banda di estensione 2f m intorno a f 0. Quindi la banda WQAM del segnale modulato QAM è pari a