Indice. A Riassunto formule principali su AM 91

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1 Indice 5 Modulazioni AM Che cosa si intende esattamente per modulazione? Modulazione di ampiezza Definizione Calcolo densità spettrale di potenza per segnali AM Percentuali di modulazione Ricevitore a rivelazione di inviluppo Efficienza di modulazione Conclusioni: AM e sovramodulazione Demodulazione coerente: sistemi AM-DSB-SC Indice di modulazione Modulazioni single-sideband Analisi modulazione SSB nel dominio del tempo Demodulazione segnali SSB Prestazioni AM in presenza di rumore Prestazioni sistemi in banda base Sistemi AM tradizionali a ricezione coerente Sistemi AM-DSB-SC e AM-SSB con ricezione coerente Ricezione incoerente (AM tradizionale) Riassunto finale su prestazioni AM A Riassunto formule principali su AM 91 63

2 64 Capitolo 5. Modulazioni AM

3 Capitolo 5 Modulazioni AM La modulazione AM (Amplitude Modulation) la più semplice forma di modulazione. E stata la prima ad essere utilizzata (trasmissioni radio a modulazione d ampiezza). 1895: primi esperimenti radio di Marconi. 1901: primo messaggio telegrafico transatlantico (Marconi). 1906: prime vere trasmissioni AM in broadcast. 1920: prima radio commerciale AM. 5.1 Che cosa si intende esattamente per modulazione? Significa partire da un segnale m(t) in banda base (detto segnale modulante) e modificarlo in modo da: 1. Spostare lo spettro attorno ad una certa frequenza f c, detta portante (o carrier). 2. Essere in grado di ricostruire il segnale di informazione m(t), in ricezione. 5.2 Modulazione di ampiezza Definizione Iniziamo a dare la definizione di segnale modulato in ampiezza. Utilizzeremo il formalismo del segnale analitico. Dato un segnale modulante m(t), si impone: s(t) = A c (1 + m(t)) in termini di inviluppo complesso. Il segnale modulato sarà dato dal corrispondente segnale reale, cioè: s(t) = Re [ s(t) e j2πfct] da cui: s(t) = A c (1 + m(t)) cos(2πf c t) Cerchiamo di capire l andamento nel tempo del segnale modulato AM. Consideriamo la figura 5.1. Iniziamo supponendo che m(t) sia normalizzato in modo da assumere valori in [-1, +1] (caso tipico per questo tipo di modulazione). Di conseguenza, s(t) ha un andamento compreso nell intervallo [ 2A c, +2A c ]. Definizione di segnale modulato AM 65

4 66 Capitolo 5. Modulazioni AM Figura 5.1: Esempio di modulazione di ampiezza. In alto c è il segnale modulante m(t), che assume valori tra 1 e +1. In mezzo (1 + m(t)), che assume quindi valori tra 0 e 2. In basso c è il segnale modulato: A c (1 + m(t)) cos(2πf c t) Calcolo densità spettrale di potenza per segnali AM Calcoliamo lo spettro di potenza di un segnale modulato in ampiezza, sfruttando un risultato precedentemente dimostrato per gli spettri degli inviluppi complessi, cioè: G s (f) = 1 4 [G s(f f c ) + G s ( f f c )] Densità spettrale di potenza segnale AM Calcolo dunque G s (f), cioè la densità spettrale di potenza dell inviluppo complesso corrispondente ad un segnale modulato in ampiezza. Si ottiene: G s (f) = A2 c 4 [δ(f f c ) + G m (f f c ) + δ(f + f c ) + G m (f + f c )] (5.1) Ipotesi: consideriamo il segnale modulante m(t) come un processo casuale con le seguenti caratteristiche: Stazionario; Ergodico; A valor medio nullo; Con densità spettrale di potenza nota e in banda base.

5 5.2. Modulazione di ampiezza 67 Dimostrazione risultato (5.1) Partiamo dall inviluppo complesso: s(t) = A c (1 + m(t)) e calcoliamone la funzione di autocorrelazione: R s (τ) = E [ s(t) s(t + τ)] = A 2 c E [(1 + m(t)) (1 + m(t + τ))] si ottiene: R s (τ) = A 2 c E [1 + m(t + τ) + m(t) + m(t) m(t + τ)] = = A 2 c + A 2 c {E [m(t + τ)] + E [m(t)] + E [m(t) m(t + τ)]} Per ipotesi di stazionarietà e valor medio nullo: m(t + τ) = m(t) = 0 e inoltre per definizione: E [m(t) m(t + τ)] = R m (τ) funzione di autocorrelazione di m(t) e dunque: R s (τ) = A 2 c [1 + R m (τ)] da cui ricavo: G s (f) = F [R s (τ)] = F [ ] A 2 c(1 + R m (τ)) = A 2 c [δ(f) + G m (f)] Dato dunque un generico spettro del segnale modulante m(t) in banda base, del tipo di quello in alto in figura 5.2, si ottiene uno spettro dell inviluppo complesso del tipo di quello in basso in figura 5.2. Notare che, essendo m(t) reale, G m (f) e G s (f) sono funzioni pari, Figura 5.2: Spettro di un generico segnale modulante m(t) in banda base (sopra) e corrispondente spettro dell inviluppo complesso (sotto).

6 68 Capitolo 5. Modulazioni AM e dunque, se: allora: G s (f) = A 2 c [δ(f) + G m (f)] G s ( f f c ) = G s (f + f c ) da cui: G s (f) = 1 4 [G s(f f c ) + G s ( f f c )] = 1 4 [G s(f f c ) + G s (f + f c )] = = A2 c 4 [δ(f f c) + G m (f f c ) + δ(f + f c ) + G m (f + f c )] Abbiamo quindi dimostrato la (5.1), cioè che: G s (f) = A2 c 4 [δ(f f c) + G m (f f c ) + δ(f + f c ) + G m (f + f c )] La figura 5.3 mostra un andamento qualitativo di questo spettro. Importante. Si noti che: Figura 5.3: Spettro potenza segnale modulato AM. Il contenuto spettrale di m(t) è stato spostato attorno alle frequenze f c ; L occupazione spettrale è raddoppiata (si è passati da B m in banda base a 2B m in banda traslata); E presente una riga spettrale che non porta informazione. Calcolo potenza media segnali AM Dalla teoria sul segnale analitico avevamo in generale: Nel caso poi di modulazione AM abbiamo: P s = 1 2 P s s(t) = A c (1 + m(t)) Calcoliamo dunque la potenza dell inviluppo complesso, cioè P s. Ottengo: P s = A 2 c < 1 + m(t) 2 >= A 2 c [1 + < m 2 (t) > +2 < m(t) > ] }{{}}{{} P m =0

7 5.2. Modulazione di ampiezza 69 Potenza media segnale AM Se ipotizzo un segnale a media nulla < m(t) >= 0, allora: P s = A 2 c (1 + P m ) P s = P s 2 = A2 c 2 (1 + P m) Si dovranno fare spesso calcoli di questo tipo. congruenza tra le varie formule ottenute: 1. Calcoli nel dominio delle frequenze: P s = + = A2 c 2 [ + G s (f) df = 2 2. Calcoli nel dominio del tempo: 0 + A 2 c 0 δ(f f c ) df + s(t) = A c (1 + m(t)) cos(2πf c t) + P s = < s(t) 2 >= A 2 c < (1 + m(t)) 2 cos 2 (2πf c t) >= I risultati tornano. = A 2 c < (1 + m 2 (t) + 2m(t)) cos 2 (2πf c t) >= 0 Verifichiamo dunque per esercizio la 4 [δ(f f c) + G m (f f c )] df = ] G m (f f c ) df = A2 c 2 (1 + P m) = A 2 c[< cos 2 (2πf c t) > +2 < m(t) cos 2 (2πf c t) > + < m 2 (t) cos 2 (2πf c t) > ] = }{{}}{{}}{{} = 1 =0 = P m ( 1 = A 2 c m) 2 P = A2 c 2 (1 + P m) Percentuali di modulazione Definiamo ora le percentuali di modulazione in questo modo: Percentuale di modulazione totale = A max A min max[m(t)] min[m(t)] 100 = 2A c 2 Percentuale di modulazione negativa = A c A min A c 100 = min[m(t)] 100 Percentuale di modulazione positiva = A max A c A c 100 = max[m(t)] 100 Scriviamo qui di nuovo l espressione di un segnale modulato AM: s(t) = A c (1 + m(t)) cos(2πf c t) 100 Se max[m(t)] = +1 e min[m(t)] = 1 si dice che il segnale AM è modulato al 100%. Solitamente si vuole che: 1 + m(t) > 0, cioè m(t) > 1 per non avere sovramodulazione. Infatti in questo caso in ricezione è possibile usare un semplice rivelatore di inviluppo, come descritto tra poco. Notare che questo richiede che la percentuale di modulazione negativa sia al più il 100%, mentre in teoria quella positiva può essere > 100%. Condizione di assenza di sovramodulazione

8 70 Capitolo 5. Modulazioni AM Ricevitore a rivelazione di inviluppo Il rivelatore di inviluppo è mostrato in figura 5.4. Si tratta di un circuito che segue l inviluppo del segnale in ingresso. Matematicamente, è un circuito che estrae all uscita Figura 5.4: Circuito rivelatore di inviluppo. un segnale proporzionale al modulo dell inviluppo dell ingresso: V out (t) = s(t) = A c (1 + m(t)) In generale, dato un segnale in banda traslata s(t), un ricevitore di inviluppo fornisce in uscita il segnale: x inviluppo (t) = s(t) cioè fornisce il modulo dell inviluppo complesso. Ad esempio per una modulazione AM si ha: s(t) = A c (1 + m(t)) x inviluppo (t) = s(t) = A c 1 + m(t) e dunque in assenza di sovramodulazione, cioè per: (1 + m(t)) > 0 x inviluppo (t) = A c (1 + m(t)) Se si è in condizione di assenza di sovramodulazione, cioè per: allora: 1 + m(t) > 0 per qualsiasi t V out (t) = A c (1 + m(t)) cioè si ricostruisce perfettamente m(t). Se invece si è in presenza di sovramodulazione: 1 + m(t) < 0 per qualche t si ha un segnale che crea sovramodulazione. Si nota infatti che se 1 + m(t) < 0, il segnale ricostruito tramite una rivelazione di inviluppo non è più il segnale di partenza. Si ha una distorsione significativa del segnale di partenza, in quanto: V out (t) = A c (1 + m(t)) A c (1 + m(t)) Dato che nella stragrande maggioranza dei casi pratici il segnale m(t) presenta una sorta di simmetria sui valori positivi e negativi delle ampiezze, in sostanza la condizione di assenza di sovramodulazione, con le convenzioni da noi adottate, è semplicemente: m(t) 1 La figura 5.5 mostra un esempio di segnale m(t) che crea sovramodulazione. La figura 5.6 mostra l effetto della demodulazione di inviluppo di tale segnale. Si noti come il segnale demodulato non sia una copia fedele di m(t).

9 5.2. Modulazione di ampiezza 71 Figura 5.5: Esempio di segnale m(t) che crea sovramodulazione. Figura 5.6: Segnale m(t) della figura 5.5 modulato in ampiezza (sopra) e effetto della demodulazione di inviluppo (sotto). Si noti come a causa della sovramodulazione, il segnale demodulato non sia una copia fedele di quello di ingresso Efficienza di modulazione Abbiamo visto che (supponendo come al solito che < m(t) >= 0) abbiamo: P s =< s 2 (t) >= 1 2 A2 c A2 c < m 2 (t) > dove: La prima parte indica la potenza relativa alla riga della portante;

10 72 Capitolo 5. Modulazioni AM La seconda parte è la potenza utile che porta l informazione, cioè m(t). Efficienza di modulazione La potenza della riga di portante è in un certo senso una potenza sprecata. Si definisce allora l efficienza di modulazione come il rapporto tra le due quantità, che risulta pari a: E = <m2 (t)> 1+<m 2 (t)> Notare che, se non si vuole sovramodulare, cioè se: max[ m(t) ] 1 allora max[m 2 (t)] 1 e dunque max[< m 2 (t) >] 1 < m 2 (t) >= 1 corrisponde al caso limite di un onda quadra che assume valori ±1. In tal caso l efficienza di modulazione è del 50%. In tutti gli altri casi, l efficienza di modulazione è inferiore. La massima efficienza di modulazione che si può ottenere se non si vuole la sovramodulazione è quindi pari al 50%. Nei casi pratici, l efficienza è inferiore, come mostrato ad esempio qui di seguito per un segnale modulante sinusoidale. Esempio: segnale sinusoidale Sia m(t) un segnale sinusoidale: m(t) = cos(2πf m t) Calcoliamo l efficienza di modulazione supponendo di non avere sovramodulazione. Avrò: < m 2 (t) >=< cos 2 (2πf m t) >= 1 2 Efficienza di modulazione segnale sinusoidale quindi E = < m2 1 (t) > 1+ < m 2 (t) > = = Per un segnale sinusoidale l efficienza è del 33%, e questo è un valore tipico per segnali reali, tipo segnale musicale Conclusioni: AM e sovramodulazione Per la modulazione AM tradizionale, cioè per: s(t) = A c (1 + m(t)) cos(2πf c t) se si dimensiona il segnale m(t) in modo da non avere sovramodulazione, si può usare un ricevitore molto semplice, a rivelazione di inviluppo, il cui schema a blocchi è quello mostrato in figura 5.7. L efficienza di modulazione è tuttavia al più del 50%, e tipicamente inferiore. Cioè si spreca almeno il 50% della potenza per trasmettere il segnale di portante. Si tratta del classico esempio di scelta tra semplicità del ricevitore e utilizzo efficace della potenza.

11 5.3. Demodulazione coerente: sistemi AM-DSB-SC 73 Figura 5.7: Schema a blocchi ricevitore AM a rivelazione di inviluppo. 5.3 Demodulazione coerente: sistemi AM-DSB-SC Ci poniamo ora l obiettivo di ridurre o annullare la potenza relativa alla portante, accettando sovramodulazione. Ipotizziamo di poter ricostruire al ricevitore un segnale con modulo e fase uguale alla portante (ad esempio tramite un PLL = Phase Locked Loop). Un ricevitore di questo tipo si chiama coerente. La figura 5.8 mostra lo schema a blocchi Figura 5.8: Demodulatore AM coerente. di un ricevitore AM coerente. Analizziamone ora il funzionamento. s P LL (t) è un segnale in fase con la portante (e di ampiezza generica K). Ottengo: ( ) x(t) = s RX (t) s P LL (t) = k A c (1 + m(t)) cos 2 (2πf c t) = = ka c 2 (1 + m(t))(1 + cos(4πf ct)) Il filtro passa-basso elimina il segnale a frequenza doppia 2f c, ottenendo in uscita: x F (t) = ka c (1 + m(t)) 2 In uscita si ottiene quindi un segnale identico (salvo costanti) al segnale modulante. Notare che adesso da x F (t) è possibile ricostruire perfettamente m(t), senza nessun tipo di richiesta su m(t). Al limite si può avere: s(t) = A c m(t) cos(2πf c t) che viene detta modulazione AM-DSB-SC. SC = suppressed carrier (cioè non si ha la riga della portante). DSB = double-sideband (spettro bilaterale, si tornerà su questa questione più avanti).

12 74 Capitolo 5. Modulazioni AM Infatti, rifacendo conti del tutto simili a quelli appena fatti, si ottiene per una demodulazione coerente di un segnale modulato AM-DSB-SC: x F (t) = ka c 2 m(t) Densità spettrale AM-DSB-SC cioè si riesce a ricostruire esattamente il segnale di partenza. Notare che (sempre facendo calcoli del tutto analoghi a quelli già svolti per AM tradizionale) si ottiene la seguente densità spettrale di potenza per AM-DSB-SC: G s (f) = A2 c 4 [G m(f f c ) + G m (f + f c )] Notare che non compare nessuna delta in frequenza. Questo significa che non si spreca potenza per la portante, cioè si raggiunge un efficienza di modulazione del 100% (E = 1): E = < m2 (t) > 1+ < m 2 (t) > = < m2 (t) > < m 2 (t) > = 1 Conclusione: il ricevitore coerente permette di demodulare correttamente un segnale anche con forte sovramodulazione o (al limite) di tipo AM-DSB-SC, ottenendo un migliore utilizzo della potenza (fino a E = 1). Questo risultato si ottiene a scapito di un aumento di complessità del ricevitore rispetto al ricevitore di inviluppo. Considerazioni pratiche Un circuito di aggancio di fase (PLL) è facile da realizzare con la tecnologia attuale, ma non lo era all inizio delle trasmissioni radio. Gli standard per la trasmissione AM radio (attorno a 1 MHz) sono tuttavia basati su AM standard (con portante e senza sovramodulazione) e sono dunque compatibili con un ricevitore di inviluppo. Tuttavia in tutti i ricevitori moderni si usano comunque i PLL, anche se il segnale è AM standard, in quanto si riescono ad ottenere prestazioni migliori Indice di modulazione Si vuole ora introdurre una notazione che permetta di descrivere sia AM standard che AM-DSB-SC. Sia dunque: s(t) = A c (1 + m(t)) cos(2πf c t) e sia x(t) il segnale che porta informazione, supposto normalizzato in modo che max [ m(t) ] = 1. Si introduce il concetto di indice di modulazione: dove m è detto indice di modulazione: m(t) = m x(t) m = 1 per AM standard senza sovramodulazione. m 1 per AM-DSB-SC. Ci possono essere casi intermedi, in cui m > 1, ma si lascia volutamente una parte della portante per facilitare il circuito di recupero di fase.

13 5.4. Modulazioni single-sideband Modulazioni single-sideband L allocazione di banda (soprattutto nelle trasmissioni via etere) è molto costosa, e dunque si cercano metodi per limitare il più possibile la banda utilizzata sul canale. Si è visto che la modulazione AM occupa sul canale il doppio della banda del segnale modulante. Esiste una tecnica che permette di dimezzare la banda occupata sul canale, basandosi sul fatto che un segnale reale ha spettro simmetrico rispetto all asse delle ordinate (funzione pari). Consideriamo un generico segnale modulante reale m(t) in banda base. In quanto segnale reale, il suo spettro è simmetrico in frequenza. Osserviamo che, per lo meno in linea di principio, la conoscenza delle sole componenti a frequenza positiva permette di conoscere tutto il segnale. Posso infatti ricostruire la parte delle frequenze negative per simmetria (vedi figura 5.9). Consideriamo adesso una normale modulazione AM-DSB-SC: Figura 5.9: Ogni segnale m(t) reale ha spettro pari in frequenza. Pertanto le frequenze negative non portano nessuna informazione. s(t) = A c m(t) cos(2πf c t) Almeno in linea teorica, la parte evidenziata in figura 5.10 è inutile per la trasmissione del segnale, poiché è simmetrica rispetto all altra metà (le modulazioni AM precedenti sono dette DSB perché vi sono entrambe le sideband ). Figura 5.10: La parte evidenziata in grigio è inutile per la trasmissione del segnale. Allora è possibile eliminare metà della banda (ad esempio con un filtro opportuno), senza perdere informazione. Si ottiene la modulazione detta AM-SSB, da Single Side Band. Un possibile schema del trasmettitore è mostrato in figura Esistono due possibili schemi: Modulazione SSB AM-SSB-USB (USB = Upper Side Band) (vedi figura 5.12); AM-SSB-LSB (LSB = Lower Side Band) (vedi figura 5.13). Vantaggi:

14 76 Capitolo 5. Modulazioni AM Figura 5.11: Possibile schema di trasmettitore SSB (Upper Side Band). Figura 5.12: Illustrazione costruzione segnale AM-USB nel dominio della frequenza. Si filtra il segnale AM-DSB-SC con un filtro passa-alto con frequenza di taglio f c. Figura 5.13: Illustrazione costruzione segnale AM-LSB nel dominio della frequenza. Si filtra il segnale AM-DSB-SC con un filtro passa-basso con frequenza di taglio f c. Si occupa metà banda rispetto a AM-DSB-SC (e si vedrà che le prestazioni in termini di SNR sono le stesse). Svantaggi:

15 5.4. Modulazioni single-sideband 77 Gli apparati TX e RX sono più complicati; In particolare, non è possibile usare il rivelatore di inviluppo, quindi è necessaria una demodulazione coerente. La modulazione AM-SSB è usata ad esempio per: Radioamatori; Sistemi radio per la navigazione Analisi modulazione SSB nel dominio del tempo Analizziamo ora le modulazioni SSB in maniera più rigorosa nel dominio del tempo. Questo approccio servirà a capire come può essere fatto il ricevitore di un sistema SSB. Si consideri dunque un segnale modulante reale in banda base m(t). Introduciamo il segnale analitico corrispondente a m(t). Notare che questo è un approccio anomalo, in quanto m(t) è in banda base, e dunque solitamente non si usa il segnale analitico. Tuttavia è possibile definire il segnale analitico per qualunque segnale, anche in banda base, semplicemente applicando la definizione. Si faccia riferimento alla figura In generale, dato m(t) sappiamo che il corrispondente segnale analitico può essere scritto come: m (t) = m(t) + j ˆm(t) (5.2) (vedi figura 5.14, a metà). Si consideri adesso il nuovo segnale analitico definito come: s (t) = A c m (t) e j2πf ct = A c (m(t) + j ˆm(t)) e j2πfct (5.3) ed il corrispondente spettro (vedi figura 5.14, in basso). Consideriamo ora il corrispondente segnale reale: [ s ] s(t) = Re (t) = Re {A } c [m(t) + j ˆm(t)] e j2πf ct = A c [m(t) cos(2πf c t) ˆm(t) sin(2πf c t)] (5.4) che avrà lo spettro mostrato in figura Allora il segnale reale così ottenuto: s USB (t) = A c [m(t) cos(2πf c t) ˆm(t) sin(2πf c t)] è effettivamente il segnale SSB-USB corrispondente al segnale modulante m(t). Abbiamo dunque trovato un modo per generare un segnale SSB-USB lavorando nel dominio del tempo. Lo schema di questo modulatore è mostrato in figura Ricordando quanto ottenuto nel capitolo sul segnale analitico, la trasformata di Hilbert del segnale m(t) si ottiene come segue: ˆm(t) = m(t) 1 πt cioè tramite un filtraggio con risposta all impulso: h Hilbert (t) = 1 πt Il filtraggio non è di per sé fisicamente realizzabile (non è causale) e dunque deve essere opportunamente approssimato.

16 78 Capitolo 5. Modulazioni AM Figura 5.14: Spettro di potenza di un generico segnale m(t) in banda base (sopra), spettro di potenza del corrispondente segnale analitico (5.2) (in mezzo) e spettro di potenza del nuovo segnale analitico (5.3)(in basso). Figura 5.15: Spettro di potenza del segnale (5.4). Figura 5.16: Schema di modulatore SSB-USB nel dominio del tempo Demodulazione segnali SSB Dimostriamo ora che un segnale AM-SSB può essere demodulato tramite un demodulatore coerente (del tutto analogo a quello visto per AM-DSB). Si consideri infatti l espressione (ad esempi per USB): s USB (t) = A c [m(t) cos(2πf c t) ˆm(t) sin(2πf c t)]

17 5.5. Prestazioni AM in presenza di rumore 79 Moltiplicando per un coseno si ottiene: che può essere riscritto come: ] A c [m(t) cos 2 (2πf c t) ˆm(t) sin(2πf c t) cos(2πf c t) A c 2 {m(t) [1 + cos(4πf ct)] ˆm(t) sin(4πf c t)} Dopo un filtraggio passa-basso sulla banda del segnale modulante, si cancellano i termini attorno alla frequenza 2f c, ottenendo: A c 2 m(t) e dunque si ricostruisce perfettamente il segnale modulante m(t). Non è invece possibile usare un ricevitore in inviluppo. Infatti per un ricevitore di inviluppo si ha: x inviluppo (t) = s(t) ma in questo caso s(t) = s USB (t), quindi: s USB (t) = A c [m(t) + ˆm(t)] x inviluppo (t) = A c [m(t) + ˆm(t)] x inviluppo (t) = A c m 2 (t) + ˆm 2 (t) che non è una ricostruzione del segnale modulante m(t). 5.5 Prestazioni AM in presenza di rumore Iniziamo ora l importante argomento dello studio delle prestazioni di sistemi di modulazione in presenza di rumore. In particolare, si vogliono considerare le prestazioni dei vari sistemi AM in presenza di rumore. I vari sistemi saranno confrontati in funzione di: Potenza ricevuta; Densità spettrale di rumore al ricevitore Prestazioni sistemi in banda base Per confrontare i vari tipi di sistemi, si prenderanno come riferimento di confronto le prestazioni di un sistema di trasmissione non modulato in banda base (vedi figura 5.17). Con le ipotesi viste nel capitolo sulle trasmissioni in banda base, si ottiene il Figura 5.17: Schema a blocchi sistema di trasmissione non modulato in banda base.

18 80 Capitolo 5. Modulazioni AM rapporto segnale-rumore per il sistema di riferimento in banda base: SNR out = SNR BB = P RX N 0 B m Si suppone cioè di avere come riferimento una trasmissione in banda base, con (vedi figura 5.18): Potenza di segnale ricevuta P RX ; Banda occupata dal segnale B m ; Densità spettrale di rumore all ingresso del ricevitore N 0 /2; Filtraggio al ricevitore ideale (passa-basso ideale con banda B m ). Figura 5.18: Esempio di spettro di potenza segnale in banda base (sopra) e risposta in frequenza filtro ideale usato nel ricevitore (sotto). SNR sistema di riferimento in banda base Allora il rapporto segnale-rumore del sistema in banda base è dato da: ( S N ) BB = P RX N 0 B m Questo valore verrà usato come riferimento per tutti i sistemi AM. Si ricorda che il risultato appena mostrato si ottiene supponendo un filtro di ricezione passa-basso ideale, cioè di tipo rettangolare in frequenza su una banda pari a quella del segnale che porta informazione m(t), cioè su una banda che indichiamo come B m. Questa ipotesi sul filtro passa-basso di ricezione è la stessa ipotesi che si farà anche in tutti i sistemi di ricezione per segnali modulati che studieremo nelle pagine successive. Lo schema di principio è mostrato in figura Questo schema di riferimento sarà adottato sia per i sistemi AM che per i successivi PM/FM (trattati nel prossimo capitolo). Parametri e definizioni: P RX : potenza del segnale modulato all ingresso del ricevitore;

19 5.5. Prestazioni AM in presenza di rumore 81 Figura 5.19: Schema di riferimento catena di trasmissione e ricezione sistema analogico. Rumore additivo n(t): gaussiano bianco con densità spettrale di potenza N 0 /2; B m : banda del segnale modulante, cioè del segnale m(t) che porta informazione; B T : banda del segnale modulato; (S/N) in : SNR all ingresso del ricevitore, calcolato sulla banda del segnale modulato B T (attenzione!!); (S/N) out : SNR all uscita del ricevitore, calcolato sulla banda B m. E il parametro più importante, poiché definisce la qualità del segnale per l utente finale Sistemi AM tradizionali a ricezione coerente Si inizia ora a studiare le prestazioni di un sistema in modulazione AM tradizionale con uno schema di ricevitore AM coerente, cioè si considera lo schema di figura Il filtro Figura 5.20: Schema ricevitore coerente di un sistema AM. IF (Intermediate Frequency) è un filtro passa-banda che, idealmente, lascia passare solo le frequenze del segnale modulato (vedi figura 5.21). Ha due diverse funzioni: Limitare la banda di rumore; Selezionare il canale voluto all interno di un set di canali in multiplazione di frequenza (FDM, Frequency Division Multiplexing), argomento sul quale si tornerà più avanti. Esprimiamo i vari segnali in gioco: s RX (t) = A c (1 + m(t)) cos(2πf c t)

20 82 Capitolo 5. Modulazioni AM Figura 5.21: Filtro IF. Importante: n(t) = x n (t) cos(2πf c t) y n (t) sin(2πf c t) r(x) = s RX (t) + n(t) n(t) ha densità spettrale di potenza N 0 /2; x n (t) e y n (t) hanno densità spettrale di potenza pari a N 0 (si riveda la teoria sulla rappresentazione in fase e quadratura del rumore gaussiano in banda traslata); Si intende il filtro IF con banda uguale a quella del segnale modulato, ovvero B T. Il rapporto segnale-rumore in ingresso, calcolato sulla banda di trasmissione B T, è dato da: ( ) S = P RX = P RX = 1 ( ) S N in N 0 B T 2N 0 B m 2 N BB E in sostanza il rapporto SNR all ingresso dello stadio di ricezione che lavora alla frequenza della portante (dopo il filtro IF). E una quantità che tornerà utile solo più avanti. A noi in realtà interessa (S/N) OUT sul segnale demodulato, cioè il rapporto segnale-rumore sul segnale fornito all utente del sistema di trasmissione. Il segnale dopo il mixer è poi dato da: r m (t) = r(t) k cos(2πf c t) dove: e dunque: r(t) = A c [1 + m(t)] cos(2πf c t) + x n (t) cos(2πf c t) y n (t) sin(2πf c t) r m (t) = (A c [1 + m(t)] + x n (t)) k cos 2 (2πf c t) y n (t) k cos(2πf c t) sin(2πf c t) cioè: r m (t) = k 2 (A c[1 + m(t)] + x n (t)) (1 + cos(4πf c t)) k 2 y n(t) sin(4πf c t) Dobbiamo ora calcolare: Si suppone che: y out (t) = r m (t) h(t)

21 5.5. Prestazioni AM in presenza di rumore 83 Il filtro elimini tutte le componenti a 2f c ; Il filtro faccia passare il segnale utile m(t) senza distorsione; Il filtro limiti il rumore x n (t). Quindi: e: k 2 (A c[1 + m(t)] + x n (t)) (1 + cos(4πf c t)) k }{{} 2 y n(t) sin(4πf c t) }{{} =0 =0 y out (t) = k 2 (A c(1 + m(t)) + x n (t) h(t)) Dato dunque il segnale all uscita del sistema, calcoliamone il rapporto segnale-rumore. Componente utile: è la componente relativa al solo segnale che porta informazione, e cioè, tralasciando la parte continua che non porta in formazione, si ottiene il seguente segnale: Componente di rumore: k 2 A c m(t) che ha potenza: k 2 (x n(t) h(t)) k 2 4 A2 c < m 2 (t) > Attenzione: x n (t) ha densità spettrale di potenza N 0 e dunque x n (t) h(t) ha potenza 2N 0 B m, come si vede dalla figura La potenza associata alla componente di rumore Figura 5.22: Densità spettrale di potenza di x n (t) (in alto) e risposta in frequenza del filtro di ricezione (in basso). è dunque complessivamente: ( ) k 2 < 2 (x n(t) h(t)) >= k2 4 < (x n(t) h(t)) 2 >= k2 4 2N 0B m = k2 N 0 B m 2 Il rapporto SNR in uscita è dunque dato da: cioè: ( S N ) out = Potenza segnale demodulato Potenza rumore = ( ) S = A c < m 2 (t) > N out 2N 0 B m k 2 4 A c < m 2 (t) > k 2 4 2N 0 B m

22 84 Capitolo 5. Modulazioni AM SNR AM standard con ricevitore coerente Si vuole ora esprimere il rapporto SNR in uscita in funzione della potenza di segnale ricevuto all ingresso del ricevitore, data da, come visto in precedenza: da cui possiamo ottenere: e sostituendo otteniamo: P RX = A2 c 2 ( S N ) A 2 c = ( ) 1+ < m 2 (t) > 2P RX 1+ < m 2 (t) > out = P RX N 0 B m <m 2 (t)> 1+<m 2 (t)> Abbiamo dunque ottenuto l importante formula che dà le prestazioni di un sistema AM standard con ricevitore coerente in presenza di rumore. Riassumendo, abbiamo ottenuto: Sistema di riferimento in banda base: ( S N ) BB = P RX N 0 B m Sistema AM standard: ( ) S = P RX < m 2 ( ) (t) > S N out N 0 B m 1+ < m 2 (t) > = N BB < m 2 (t) > 1+ < m 2 (t) > }{{} E dove si ricorda che E è l efficienza di modulazione. Importante: il sistema AM standard a ricezione coerente ha prestazioni peggiori del sistema in banda base per un fattore pari all efficienza di modulazione (che si ricorda essere sempre inferiore a 1): ( ) ( ) S S = E N N dove E è l efficienza di modulazione. Inoltre valgono le seguenti relazioni: ( ) ( ) S S N N out BB dove: ( S N ) in in = 1 2 = 1 ( ) 1 S 2 E N ( ) S = P RX N BB N 0 B m BB out Sistemi AM-DSB-SC e AM-SSB con ricezione coerente SNR sistemi AM-DSB-SC con ricevitore coerente Passiamo ora a considerare un sistema di trasmissione AM-DSB-SC. Ripetendo esattamente gli stessi calcoli appena fatti, in presenza di rumore e di ricezione coerente si ottiene che il rapporto segnale-rumore in uscita vale semplicemente: ( S N ) out = P RX N 0 B m = ( ) S N BB

23 5.5. Prestazioni AM in presenza di rumore 85 cioè è pari a quello del sistema di riferimento in banda base. SNR sistemi SSB con ricevitore coerente Si dimostra che anche per sistemi SSB, sempre con ricezione coerente: ( S N ) out ( ) S = N in ( ) S = N Dunque i sistemi AM-SSB hanno le stesse prestazioni del formato AM-DSB-SC in termini di SNR, ma occupano metà della banda sul canale. BB Ricezione incoerente (AM tradizionale) Passiamo ora a considerare la ricezione incoerente, cioè la ricezione di un segnale AM standard, senza sovramodulazione, tramite rivelatore di inviluppo. Lo schema del ricevitore è mostrato in figura Facendo riferimento alla figura, ho che: Figura 5.23: Ricevitore non coerente per modulazione AM. s RX (t) = A c (1 + m(t)) cos(2πf c t) n(t) = x n (t) cos(2πf c t) y n (t) sin(2πf c t) r(t) = s RX (t) + n(t) Quindi: r(t) = (A c [1 + m(t)] + x n (t)) cos(2πf c t) y n (t) sin(2πf c t) dove x n (t) e y n (t) sono i processi di rumore in fase e quadratura, con una potenza legata alla banda del filtro IF. Come visto in precedenza, il rivelatore di inviluppo genera un segnale proporzionale al modulo dell inviluppo complesso di r(t), cioè in questo caso di: e dunque si ha: r(t) = A c (1 + m(t)) + x n (t) + j y n (t) r R (t) = k r(t) = k A c (1 + m(t)) + x n (t) + j y n (t) Primo caso: SNR in elevato Se SNR in è elevato, si dimostra che posso approssimare il segnale all uscita del ricevitore di inviluppo come: r R (t) ka c (1 + m(t)) + x n (t) (5.5) Si nota dunque che l espressione diventa analoga alla ricezione coerente e, grazie al successivo filtro passa-basso, si otterranno dunque le stesse prestazioni. In conclusione possiamo dire che in presenza di SNR in elevato, il ricevitore di inviluppo ha le stesse prestazioni del ricevitore coerente.

24 86 Capitolo 5. Modulazioni AM Dimostrazione della (5.5) Posso scrivere: r R (t) = k A c (1 + m(t)) + x n (t) + j y n (t) = = k (A c (1 + m(t)) + x n (t)) 2 + (y n (t)) 2 = = ka 2 c (1 + m(t)) (1 + m(t)) x ( ) n(t) xn (t) 2 ( yn (t) + + A c Se si ipotizza che il rapporto segnale-rumore in ingresso sia elevato, le quantità: ( ) xn (t) 2 ( ) yn (t) 2 e A c risultano essere trascurabili rispetto al resto dell espressione e si possono semplificare. Allora possiamo scrivere: r R (t) ka c (1 + m(t)) 2 + 2(1 + m(t)) x n(t) = A c = k A c (1 + m(t)) 1 + A c A c 2 x n (t) (1 + m(t)) A c Sviluppiamo in serie di Taylor l espressione sotto radice con: 1 + x 1 + x 2 da cui: r R (t) ( 1 k A c (1 + m(t)) m(t) = k A c (1 + m(t)) + k x n (t) ) x n (t) = A c Graficamente, utilizzando la notazione dei fasori, la situazione è mostrata in figura Se n è piccolo rispetto a S RX, la lunghezza (cioè l inviluppo) del vettore risultante dalla A c ) 2 Figura 5.24: Rappresentazione tramite fasori della (5.5). somma vettoriale del segnale più rumore è principalmente influenzata dalla componente di rumore in fase, mentre quella in quadratura genera un effetto trascurabile sulla lunghezza. Secondo caso: SNR in basso Se (S/N) in è basso, non posso fare l approssimazione precedente e conviene allora scrivere il rumore gaussiano tramite una notazione in modulo e fase che vedremo nel dettaglio quando parleremo di FM: x n (t) + j y n (t) = R n (t) e jθ(t)

25 5.6. Riassunto finale su prestazioni AM 87 Allora il rivelatore di inviluppo fornisce il segnale: r R (t) = k A c (1 + m(t)) + R n (t)e jθ(t) (5.6) L ipotesi (S/N) in basso equivale a dire sostanzialmente che R n (t) è confrontabile, o addirittura superiore ad A c. Siamo dunque graficamente nella situazione di figura 5.25, e dunque si può scrivere: Figura 5.25: Rappresentazione tramite fasori della (5.6). r R (t) k(a c (1 + m(t)) cos(θ n (t)) + R n (t)) Da questa espressione si nota che, oltre a comparire nuovamente un termine di rumore additivo dato da R n (t) (che dunque verrà filtrato dal seguente filtro passa-basso) compare anche un termine moltiplicativo sul segnale, dato da cos(θ n (t)). Questo termine non viene direttamente filtrato dal seguente passa-basso, e peggiora drasticamente le prestazioni. In conclusione. La ricezione incoerente (di inviluppo): Ha le stesse prestazioni del caso coerente quando il rapporto segnale-rumore di ingresso è sufficientemente elevato; Ha prestazioni inaccettabili quando il rapporto segnale-rumore di ingresso scende sotto ad una determinata soglia. Osservazione: nella trattazione precedente, compare il parametro SNR in. In particolare, è richiesto SNR in 1 affinché il sistema lavori sopra soglia critica per il funzionamento in ricezione di inviluppo. Ricordiamoci che: ( S N ) in = 1 2 ( ) 1 S E N out 5.6 Riassunto finale su prestazioni AM La tabella 5.1 riassume le prestazioni dei sistemi AM visti in questo capitolo. Ecco le varie grandezze che compaiono nella tabella: B m è la banda occupata dal segnale modulante m(t); Si ipotizza che e che il ricevitore disponga di un filtro passa-basso ideale anch esso con banda B m ;

26 88 Capitolo 5. Modulazioni AM B t è la banda occupata dal segnale modulato; P RX N 0 B m è il rapporto segnale-rumore del sistema equivalente in banda base; ( ) S N è il rapporto segnale-rumore in uscita dal ricevitore. out Tipo di trasmettitore Tipo di ricevitore B t ( S N AM standard inviluppo o coerente 2B m P RX N 0 B m ) out <m 2 (t)> 1+<m 2 (t)> AM-DSB-SC solo coerente 2B m P RX N 0 B m AM-SSB solo coerente B m P RX N 0 B m Tabella 5.1: Riassunto prestazioni dei vari sistemi AM. Seguono tre figure che comparano le prestazioni dei vari sistemi AM. La figura 5.26 compara le prestazioni dei vari sistemi AM. Dalla figura si vede bene come i sistemi AM standard con ricezione incoerente abbiano un comportamento a soglia. Figura 5.26: Riassunto prestazioni modulazioni AM. La figura 5.27 mostra lo stesso grafico ma con SNR espressi in db. La figura 5.28 mostrala la penalità di AM standard rispetto a AM-DSB-SC. Infatti, fissato un certo (S/N) out, AM standard ha bisogno di una potenza ricevuta maggiore per ottenerlo.

27 5.6. Riassunto finale su prestazioni AM 89 Figura 5.27: Riassunto prestazioni modulazioni AM con SNR espressi in db. Figura 5.28: Penalità di AM standard rispetto a AM-DSB-SC.

28 90 Capitolo 5. Modulazioni AM

29 Appendice A Riassunto formule principali su AM Si riportano in questa appendice le formule principali che sono state ottenute in questo capitolo. Tali formule possono essere utili per lo svolgimento degli esercizi delle esercitazioni. Si ricorda che è fondamentale, ed è compito dello studente, conoscere a fondo sia le ipotesi sotto le quali sono state ottenute le varie formule, sia il significato esatto dei vari parametri. Per facilitare il ritrovamento di queste formule all interno del capitolo, quando sono state ottenute, sono state messe all interno di un riquadro per evidenziarle meglio. AM standard, densità spettrale segnale modulato: G s (f) = A2 c 4 [δ(f f c) + G m (f f c ) + δ(f + f c ) + G m (f + f c )] Efficienza di modulazione: E = < m2 (t) > 1+ < m 2 (t) > Prestazioni AM standard con ricevitore coerente ideale: ( ) S = P RX < m 2 ( ) (t) > S N out N 0 B m 1+ < m 2 (t) > = E N BB Prestazioni AM-DSB-SC con ricevitore coerente ideale: ( ) S = P ( ) RX S = N N 0 B m N out BB 91